數學大概念及其提取

夏繁軍 胥慶 王建華

【編者按】 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在前言中指出了2017年版課標相比于2003年的實驗版課標“修訂的主要內容和變化”。其中，有一條是“以學科大概念為核心，使課程內容結構化”。這一思想可以看成是2017年版課標的指導思想，“發展學生數學學科核心素養”的課程目標和“關注（跨課時、跨章節的）單元、主題的教學目標”“從整體上把握課程”的教學建議都是其具體體現。什么是數學大概念？如何提取數學大概念？如何設計指向數學大概念的問題？如何依據數學大概念開展“單元—課時”教學？本期《專題研究》欄目的3篇文章，嘗試回答這些問題。

摘要：教育領域內的大概念又稱大觀念，是指在某一學科中居于重要地位，對學科其他內容具有統攝力、關聯性的概念。數學教學中的大概念可以分為單元大概念、學科大概念、跨學科大概念、哲學大概念四個層級。數學大概念包括數學的核心概念、重要技能、主要思想方法、解決問題的一般思路、數學觀念等類型。數學大概念的提取一般來源于學科（包括學科核心概念及其本質、重要技能、主要思想方法）、課程標準、解決問題的一般思路、學生學習觀念四個方面的分析。以《集合》單元為例具體說明如何提取數學大概念。

關鍵詞：大概念;數學大概念;課標;單元知識結構;集合

當前，面對時代知識量、信息量的驟增與學生學習時間、精力的有限，精選教學內容，聚焦少數核心概念和觀念，保證教學實施的科學性與有效性，是基礎教育亟須解決的關鍵問題。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）提出“以學科大概念為核心，使課程內容結構化”，成為實現“少而精”的教學指導思想。本文重點談談什么是數學大概念以及如何提取數學大概念，為依據數學大概念設計和實施教學奠定基礎。

一、什么是數學大概念？

（一）大概念的內涵

大概念理論可以溯源到20世紀60年代布魯納提出的“一般觀念”和“課程結構”以及1964年菲尼克斯提出的學科“代表性概念”。

1998年，埃里克森明確指出：大概念是一種抽象概括，是在事實基礎上產生的深層次的、可遷移的觀念，是對概念之間關系的表述。

2004年，威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學設計（第二版）》中，對大概念進行了系統的描述，把大概念歸納為：代表一種重大的觀念，居于課程的核心，貫穿很多單元的學習;通過聯結及組織許多事實信息、技能、經驗來提供意義的廣度，以作為理解之關鍵;指向學科的核心概念，為問題的研究提供一個概念“透鏡”;意義需要被揭示;有極大的遷移價值，在一段時間內，可應用到許多其他探究主題或問題、同一學科課程或跨學科課程，直到今后的生活中，具有超越課堂的持久性價值;需要深入探討的、抽象的、易于誤解的觀念;對學生學習有吸引力。

此后，蘭寧、克拉克、懷特里等學者對大概念也都有過系統的論述。

2009 年，在蘇格蘭舉辦的一次中小學科學教育國際研討會形成了一份重要報告——《科學教育的原則和大概念》。哈倫等科學家提出了科學教育中的大概念體系，強調科學教育不是知識片段的堆積，而是有結構、有聯系的模型。這份報告推動了中小學科學課程結構的改革，使大概念的課程設計得到了更多的關注。

教育領域內的大概念又稱大觀念，是指在某一學科中居于重要地位，對學科其他內容具有統攝力、關聯性的概念;是對眾多知識的篩選與整合，可以是一個概念、一個觀點。位置上，大概念處在學科的中心，集中體現學科課程特質的核心思想方法;功能上，大概念有助于一門課程的結構化，聚焦大概念的學習能促進學習者對知識的深層理解與遷移，實現“少就是多”“貫穿一致”的學習理念。

（二）大概念的類型與層級

李松林把大概念系統看作一個由橫向的三個類型（結論與結果、方法與思想、作用與價值）和縱向的四個層次（學科課時內、學科單元內、學科單元間、跨學科）有機結合而成的網絡化結構。

李剛、呂立杰提出：概念的體系符合金字塔型知識結構，從底層到頂層分別是科學事實和現象、（統攝性較低的）具體概念和方法、核心概念和方法、跨學科主題以及哲學觀點;其中，科學小概念包括前兩層內容，科學大概念包括后三層內容。

埃里克森等人將知識結構分為五個層級。一是主題事實。二是概念。與事實相比，概念具有普遍性，是從實例、事實中抽象出來的，多使用一兩個詞或短語表述。三是概括。表述兩個或兩個以上概念之間關系的句子。四是原理。與概括一樣，原理是對概念之間關系的表述，但更加穩定，如物理定律、數學公理。五是理論。一個推論或者一組解釋現象或實踐的概念性觀點。他們認為，在課程設計上，不必區分概括和原理，它們都是對概念之間關系的表述，都屬于大概念。

奧蘇貝爾認為：概念不是一段孤立的詞句，而是一個層次性的結構，知識之間有上、下位關系。進一步地，肖沃爾特根據科學概念有邏輯且互相關聯的特征，構建了由7層概念組成的科學概念結構：知覺感受、直接概念、事實概念、定律概念、創設概念、原理概念及理論概念。7層概念有上、下位之分，理論概念是層次最高的概念，包括了各類下位概念以及概念之間的聯系。由此可知，科學概念不僅是對客觀事物的本質描述，而且是一種更復雜的概念體系，其中包含了事物的內在屬性、深層結構以及事物之間的邏輯關系，即概念的學習是一個有層次結構且互相聯系的復雜系統。

實際上，概念有不同的類型和層級，概念之間有上位、下位和并列等關系，形成了一個復雜系統（網絡結構）;而大概念是其中相對上位的概念，需要下位概念的支撐。

綜上，我們認為，數學教學中的大概念可以分為單元大概念、學科大概念、跨學科大概念、哲學大概念四個層級;數學大概念包括數學的核心概念、重要技能、主要思想方法、解決問題的一般思路、數學觀念等類型，每種類型都有高低不同的層級。這里值得一提的是，數學大概念是比數學核心素養更上位的概念，數學大概念包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學核心素養，但不止于此。

二、如何提取數學大概念？

國內學者對如何提取大概念有很多研究。

邵朝友、崔允漷指出，大觀念（大概念）主要還是來自內容標準。確定內容標準后，可用四種常見策略來確定大觀念（大概念）：（1）尋找內容標準中一再出現的名詞或重要的短語，將此作為大觀念（大概念）;（2）用追問的方式確定大觀念（大概念）;（3）用配對的方式產生大觀念（大概念），即對內容標準中的概念進行配對;（4）用歸納的方式獲得大觀念（大概念）。

劉徽綜合不同學者的觀點，結合我國教育的實際情況，給出尋找學科大概念的八個路徑：課程標準、學科核心素養、專家思維、概念派生、生活價值、知能目標、學習難點、評價標準。

鄧靖武提出了提煉學科大概念的三個途徑：（1）基于學科視角，聚焦學科本質提煉學科概念;（2）基于課程標準，依據學科教材確定學科大概念;（3）基于學生的發展需求，構建大概念統攝下的單元知識層級結構。

學科不同，提取大概念的方法和路徑會有所差異。結合數學學科的特點以及學生學習的規律，我們認為，數學大概念的提取一般來源于四個方面的分析：學科（包括學科核心概念及其本質、重要技能、主要思想方法）、課程標準、解決問題的一般思路、學生學習觀念。

另外，可以對主題和學習內容做一些追問，如內容的本質是什么、為什么學習、學習什么、怎樣學習、學習這一內容和不學習有什么區別、哪些觀念對學生一生的發展有用。這些看似“不著邊際”的問題正是學生學習的困惑，也是我們尋找大概念的適切途徑。

下面，以高中數學《集合》單元為例，具體說明如何提取數學大概念。

第一步，明確課標對單元學習的總體定位。

課標指出：“在高中數學課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具。本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗。”

根據這一定位，教材引導學生利用集合語言對初中的一些重要概念進行再抽象并用符號表示對象（集合的元素），對一些重要內容（特別是方程、不等式、函數）進行“再表述”。如此，在提高數學表達抽象化程度的過程中，提升學生的抽象思維水平，從而為高中學習做好準備。

第二步，明確課標對單元學習的具體要求。

課標明確了《集合》單元的學習內容，包括集合的概念與表示、集合的基本關系、集合的基本運算。“集合的概念與表示”的學習要求是：“通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系;針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合;在具體情境中，了解全集與空集的含義。”“集合的基本關系”的學習要求是：“理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。”“集合的基本運算”的學習要求是：“理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集;理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集;能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用。”

由此可以分析出，本單元的重點內容包括：元素與集合之間的關系，描述法表示集合;集合之間的包含與相等關系;并集、交集、補集的含義，利用集合語言表示關系和運算。

第三步，畫出單元知識結構圖。

根據《集合》單元的學習內容及要求，可以畫出如下頁圖1所示的知識結構圖。

第四步，分析單元內容的本質及其中蘊含的思想。

人教B版高中數學必修第一冊第一章給出的集合定義是：在數學中，我們經常用“集合”來對所研究的對象進行分類，把一些能確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合。這與康托在著作《超窮數理論基礎文稿》開篇的第一段話中給出的集合定義是類似的：集合M是我們在直覺上和思想上能夠明確區分的那些對象m（稱為M的元素）的全體。但是，康托的這個定義遭到了很多的質疑，許多哲學家、數學家提出了很多悖論，比如，羅素提出了“理發師悖論”。后來，德國數學家策梅羅在論文《關于集合論基礎的研究》中給出了集合的形式化定義：用大寫字母A表示集合，小寫字母x表示元素，元素x屬于集合A，表示為x∈A。在這個基礎上，策梅羅通過9條公理，限定了集合的性質和運算。此后，德國數學家弗蘭克爾作出少量的修改，形成了現在的ZF集合論公理體系。其中，第1條外延公理是：對于兩個集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，則這兩個集合是同一個集合，記作A≡B。因此，從這個意義上說，集合是由元素唯一確定的，這就是集合的本質。

雖然對于現代數學，集合包含的元素具有一般性，但是在本質上，集合源于對數量與數量關系的抽象，甚至可以認為，集合概念的確立實現了數量與數量關系抽象的最高層級。

數學研究源于對現實世界的抽象，通過基于抽象結構的符號運算、形式推理、模型建構等，理解和表達現實世界中事物的性質、關系和規律。抽象是一種重要的數學核心素養。數學研究對現實世界的抽象大體可以分為兩類：一類是對數量和數量關系的抽象，一類是對圖形和圖形關系的抽象。因此，數學也被稱作研究數量關系和空間形式的科學。數學研究對數量和數量關系的抽象大概可以分為三個階段：從數量到數字，實現從感性具體到理性具體;從數字到字母，實現從理性具體到理性一般;第三階段：從字母到集合，實現從個體到結構。集合中的元素可以是非常抽象的東西，集合概念完全舍棄了事物的一切物理屬性，得到抽象的數學結構。

第五步，分析單元學習的價值。

我們可以從研究問題的角度認識學習“集合”的必要性。要研究問題，首先要有研究對象，研究對象在數學里就可以叫作元素，根據分類標準把能確定的不同的一類元素放在一起就組成一個集合。因此，集合源于對問題的分類。事實上，康托是在研究三角級數收斂時，發現不同的三角級數可以收斂于同一個點，為了對這些級數進行區分，引入了集合概念。

進而，根據數學研究的一般路徑，對單個集合，要研究集合的性質，即這一類對象的特征，這就要用特征性質描述集合中的元素。對多個集合，就要研究集合之間的關系，包含與非包含是兩種常見的關系，這些關系是通過分析元素與集合之間的關系得到的;還要研究它們的運算和運算律，集合的三種運算（交、并、補）都要研究集合中元素的特征。因此，“元素分析法”就成為集合研究的根本方法。

此外，集合成為數學概念雖然只有200多年的歷史，但是已經成為現代數學幾乎所有領域的基本概念，集合的語言（元素、集合、對應、屬于、包含、相等、映射等）也成為現代數學甚至是現代科學常用的基本語言，為研究各類問題提供了交流的基礎。

第六步，確定單元中的大概念。

基于以上分析，集合的概念（本質，“是什么”）、集合的語言（工具性，“為什么”）、集合的研究方法（元素分析法，“怎樣研究”）都是《集合》單元中的大概念。此外，集合的研究內容還包括集合之間的關系和運算。

關系不僅是一個數學大概念，也是一個哲學大概念。數學中的關系包括數量關系、位置關系。數量關系包括大小關系、相等關系、對應關系、函數關系等;位置關系包括平行、垂直、對稱等。

運算是一個數學大概念，也是一種數學核心素養。數學上的運算通常包括集合的運算、實數（一元數）的運算、復數（二元數）的運算、向量的運算等。

另外，集合內容的學習還給學生鋪設了一條暗線，即學會研究問題的一般思路：實例→抽象得到數學定義→表示→性質→關系→運算→應用。這也可以遷移到函數、不等式、數列、三角、向量、概率等數學對象的研究上。

而在跨學科學習觀念上，主要是集合語言的理解和運用、對問題分類研究的意識。

由此，給出《集合》單元中大概念的抽象層級（如圖2所示）。

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*本文系北京市教育科學規劃2021年度一般課題“大概念和學習進階視角下高中數學單元教學實施策略研究”（編號：CDDB21315）的階段性研究成果。