基于跟蹤微分器的高超聲速飛行器Backstepping控制

路遙

1. 宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100854

2. 北京航天自動(dòng)控制研究所,北京 100854

高超聲速飛行器(Hypersonic Flight Vehicle, HFV)是指飛行馬赫數(shù)大于5的一類(lèi)飛行器。其具有機(jī)動(dòng)靈活、突防能力強(qiáng)、攔截難度大等特點(diǎn),自其出現(xiàn)以來(lái)便受到各航空航天大國(guó)的高度重視[1-2]。目前,采用乘波體構(gòu)型的吸氣式高超聲速飛行器受到更多的關(guān)注。然而,這類(lèi)高超聲速飛行器模型具有高度非線性、強(qiáng)耦合、參數(shù)不確定等特點(diǎn),且外部飛行環(huán)境惡劣,因此為其設(shè)計(jì)飛行控制系統(tǒng)非常具有挑戰(zhàn)性。

為簡(jiǎn)化問(wèn)題,很多學(xué)者針對(duì)HFV的縱向通道模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)方法研究。通過(guò)對(duì)HFV的氣動(dòng)特性進(jìn)行分析,基于一些合理的假設(shè),HFV的縱向通道數(shù)學(xué)模型可被描述為一類(lèi)仿射型嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)。而B(niǎo)ackstepping方法[3]作為一種常用的非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具,非常適合處理這種類(lèi)型系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此,很多學(xué)者基于Backstepping方法為HFV設(shè)計(jì)飛行器控制器,并取得了很好的效果。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于條件擾動(dòng)否定的自抗擾控制方法；該方法設(shè)計(jì)了一個(gè)先驅(qū)條件擾動(dòng)否定模塊用以選擇性地補(bǔ)償模型中的干擾項(xiàng),以達(dá)到去除有害干擾、保留有益干擾的目的。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于固定時(shí)間干擾觀測(cè)器的預(yù)定性能濾波反步控制策略；該方法采用了可以解決時(shí)變約束的障礙函數(shù),無(wú)需進(jìn)行誤差變換,降低了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[6]針對(duì)一類(lèi)無(wú)鴨翼吸氣式HFV的姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題,提出了一種基于Backstepping的輸入飽和抑制控制方法；該方法通過(guò)引入非線性增益函數(shù)增強(qiáng)了控制量的飽和抑制能力。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面方法；該方法利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知的非線性項(xiàng),并引入一個(gè)魯棒項(xiàng)解決模型中的干擾項(xiàng)。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于輔助誤差補(bǔ)償策略的Backstepping控制方法；該方法采用改進(jìn)的輔助系統(tǒng),保證了控制量達(dá)到飽和時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能。文獻(xiàn)[9]考慮了控制輸入非線性,基于動(dòng)態(tài)逆方法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)Backstepping控制器；該方法設(shè)計(jì)了一個(gè)前饋補(bǔ)償器,已處理控制輸入非線性的影響。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于新型非線性干擾觀測(cè)器的Terminal滑模反步控制器；該方法采用非奇異快速Terminal滑模控制俯仰角和俯仰角速率子系統(tǒng),優(yōu)化了反步法的控制結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[11]提出了一種改進(jìn)的降階動(dòng)態(tài)逆控制方法；該方法設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)阻尼項(xiàng)以提高系統(tǒng)的瞬態(tài)特性。

雖然Backstepping方法已廣泛應(yīng)用于HFV控制器設(shè)計(jì)中,但其自身存在“微分項(xiàng)膨脹”問(wèn)題,在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中必須予以解決。為此,很多學(xué)者采用動(dòng)態(tài)面方法[4,6,7,9,12-14],利用一階低通濾波器得到實(shí)際使用的虛擬控制指令的導(dǎo)數(shù)。這種方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),但在應(yīng)用中也存在著一定的問(wèn)題：在使用動(dòng)態(tài)面方法時(shí),通常在設(shè)計(jì)每一步的控制策略過(guò)程中,考慮的是濾波后的跟蹤誤差,即待跟蹤狀態(tài)與濾波后控制指令之間的誤差,而不是待跟蹤狀態(tài)與理想控制指令之間的實(shí)際誤差。控制器設(shè)計(jì)的理想結(jié)果是使后者更小,但由于動(dòng)態(tài)面方法不能保證濾波后得到的控制指令的一階信號(hào)與理想控制指令的一階信號(hào)之間的誤差大小,因此難以使用其作為反饋量進(jìn)行控制,只能使用前者進(jìn)行替代。但由于濾波后控制指令與理想控制指令之間不可避免地存在一定的誤差,因此每一步濾波后控制指令與實(shí)際值之間的誤差并不能真實(shí)反映實(shí)際的跟蹤誤差。此外,低通濾波器時(shí)間常數(shù)的取值范圍限制了系統(tǒng)的控制增益不能取較大值,這在一定程度上也限制了系統(tǒng)的控制能力[15]。如能使用待跟蹤狀態(tài)與理想控制指令之間的實(shí)際誤差作為反饋量,則有利于分析控制器的實(shí)際跟蹤效果,同時(shí)能夠解除系統(tǒng)控制增益大小的限制。

另一方面,HFV控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中,還必須考慮模型干擾項(xiàng)的影響。由于HFV模型具有參數(shù)不確定的特點(diǎn),因此必須考慮由此造成的不確定性影響；同時(shí),HFV外部飛行環(huán)境復(fù)雜,飛行器不可避免地會(huì)受到外部干擾的影響。在目前已有的研究中,通常對(duì)HFV模型中的不確定項(xiàng)做3種類(lèi)型的假設(shè)：① 不考慮外部干擾的影響,只考慮模型參數(shù)不確定帶來(lái)的影響[12,16]；這種假設(shè)有利于控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析,但顯然不符合實(shí)際。② 系統(tǒng)干擾項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)是有界的[4,9,11,17]；這種假設(shè)考慮了外部干擾因素,但由于組成系統(tǒng)總干擾的因素較多且該假設(shè)涉及到信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù),因此受到部分學(xué)者的質(zhì)疑。③ 系統(tǒng)干擾項(xiàng)的大小是有界的[18-19]；這種假設(shè)是比較合理的,但采用這種假設(shè)的學(xué)者多利用總干擾的上界進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析工作,而不是估計(jì)總干擾的實(shí)際值,因此其實(shí)際控制效果會(huì)受到一定的影響。總的來(lái)說(shuō),以上3種類(lèi)型的假設(shè)均對(duì)系統(tǒng)的總干擾進(jìn)行了一定的約束,如何在不對(duì)系統(tǒng)總干擾進(jìn)行約束的情況下進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)工作,是一個(gè)值得探究的問(wèn)題。

本文提出一種基于Backstepping和跟蹤微分器的HFV跟蹤控制方法。引入待跟蹤狀態(tài)與理想控制指令之間的實(shí)際誤差作為反饋量。利用跟蹤微分器求取信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù),提高了控制器對(duì)控制增益變化的適應(yīng)性；針對(duì)系統(tǒng)中存在的不確定干擾項(xiàng),基于跟蹤微分器設(shè)計(jì)了估計(jì)方法,放寬了對(duì)系統(tǒng)干擾項(xiàng)的限制；此外,控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中還考慮了控制量飽和的情況。基于Lyapunov理論分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后,通過(guò)對(duì)比仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 HFV縱向模型描述

本文以文獻(xiàn)[20]中提出的吸氣式HFV為研究對(duì)象,其縱向通道動(dòng)力學(xué)模型可描述為

式中：V、γ、θ、Q分別表示速度、航跡傾角、俯仰角和俯仰角速度；α、m、g、Iyy分別表示攻角、飛行器質(zhì)量、重力加速度和俯仰通道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；dV、dγ、dQ表示由于氣動(dòng)參數(shù)不確定、模型簡(jiǎn)化以及外部干擾引起的擾動(dòng)項(xiàng)；T、D、L、M分別表示推力、阻力、升力和俯仰力矩,其表達(dá)式為

(2)

(3)

式(3)中的計(jì)算系數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[20]中的附表。考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實(shí)際物理特性,以及文獻(xiàn)[20]中給出的式(3)中各項(xiàng)計(jì)算系數(shù)有效的飛行狀態(tài)范圍,控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中需考慮控制量的容許范圍[20],具體數(shù)值如表1所示。

表1 飛行狀態(tài)和控制量的容許范圍

2 非線性控制器設(shè)計(jì)

控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)為：飛行器的速度V和航跡傾角γ分別跟蹤期望的連續(xù)光滑的參考軌跡Vref和γref。

為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo),基于Backstepping方法設(shè)計(jì)飛行控制器,首先將式(1)所示飛行器模型分為由狀態(tài)V組成的速度子系統(tǒng)和由狀態(tài)γ、θ、Q組成的航跡傾角子系統(tǒng)。由式(1)～式(3)可知,HFV縱向通道動(dòng)力學(xué)模型存在復(fù)雜的強(qiáng)耦合特性。首先是控制量耦合：升降舵偏角δe通過(guò)影響氣動(dòng)阻力D進(jìn)而影響速度子系統(tǒng)動(dòng)態(tài),而燃料空氣混合比φ通過(guò)影響推力進(jìn)而影響航跡傾角子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。對(duì)于此特性,文獻(xiàn)[20]通過(guò)對(duì)模型特性進(jìn)行分析,認(rèn)為升降舵偏角δe對(duì)速度子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的影響可忽略不計(jì)。基于此,2個(gè)子系統(tǒng)可分別進(jìn)行非線性控制器設(shè)計(jì)工作：在進(jìn)行速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)時(shí),只考慮控制量φ的影響,設(shè)計(jì)φ的控制律；然后將φ代入航跡傾角子系統(tǒng),設(shè)計(jì)δe的控制律。除控制量耦合外,升降舵偏角除影響俯仰力矩外,還對(duì)升力有耦合影響,這使得航跡傾角子系統(tǒng)不能表達(dá)為嚴(yán)反饋形式,難以應(yīng)用Backstepping方法設(shè)計(jì)控制器；同時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[20]對(duì)小擾動(dòng)線性化模型特性的分析結(jié)果,這一耦合項(xiàng)帶來(lái)一個(gè)右半平面的零點(diǎn),使得航跡傾角子系統(tǒng)表現(xiàn)為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)此,文獻(xiàn)[20]提出一種增加鴨翼控制舵的方法,根據(jù)鴨翼的安裝位置,使其與尾部升降舵按一定比例聯(lián)動(dòng),以消除尾部升降舵對(duì)升力的影響,本文也采取同樣方式解決這一問(wèn)題。

控制器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于：① Backstepping方法設(shè)計(jì)過(guò)程需要求取虛擬控制量導(dǎo)數(shù),而采用傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面方法實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單,但對(duì)控制增益的變化適應(yīng)性較差,從而影響控制精度；② 控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中需要對(duì)模型中的干擾項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),而模型中的干擾項(xiàng)受多方面因素影響,難以通過(guò)一定的假設(shè)對(duì)其進(jìn)行限制。對(duì)于這2個(gè)問(wèn)題,本文擬采用跟蹤微分器進(jìn)行解決；同時(shí),考慮控制量執(zhí)行機(jī)構(gòu)的物理實(shí)際,在控制器設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮控制量飽和的因素。綜合以上分析,本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制器結(jié)構(gòu)圖

2.1 跟蹤微分器設(shè)計(jì)

目前已有研究中,有很多滑模微分器的方法[21-23]能夠得到信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù),但其要求該信號(hào)的高階導(dǎo)數(shù)需滿足一定的約束條件,且微分器參數(shù)較難調(diào)節(jié)。針對(duì)這些問(wèn)題,文獻(xiàn)[24-25]提出了一種設(shè)計(jì)跟蹤微分器的思路,能夠較好地克服滑模微分器的不足。因此,本文選擇基于文獻(xiàn)[24-25]的思路設(shè)計(jì)跟蹤微分器。首先給出引理1。

引理 1[25]對(duì)于系統(tǒng)：

(4)

(5)

滿足

(6)

即x1(t)平均收斂于v(t),x2(t)弱收斂于v(t)的廣義導(dǎo)數(shù)。

(7)

式中：

(8)

定理1對(duì)于系統(tǒng)

(9)

其解滿足z1(t)→0,z2(t)→0(t→∞)。

(10)

對(duì)式(10)求導(dǎo)可得

?(z2)z2≤0

(11)

基于引理1和定理1,可得如下跟蹤微分器

(12)

2.2 速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

(13)

式中：

(14)

(15)

(16)

(17)

注 3相比于其他干擾項(xiàng)估計(jì)方法[4,9,11,16-19],設(shè)計(jì)的式(15)、式(16)估計(jì)方法未對(duì)干擾項(xiàng)dV進(jìn)行任何限制,從而拓寬了整個(gè)算法的應(yīng)用范圍。

(18)

式中：kV>0為常值控制增益。

2.3 航跡傾角子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

航跡傾角子系統(tǒng)由式(1b)～式(1d)組成,控制器設(shè)計(jì)基于Backstepping方法。

(19)

式中：

易驗(yàn)證在表1所示范圍內(nèi)有g(shù)γ≠0,則虛擬控制量θ的控制律θcmd可設(shè)計(jì)為

(20)

(21)

(22)

此時(shí)有

(23)

采用如下跟蹤微分器估計(jì)θcmd的一階導(dǎo)數(shù)

(24)

(25)

(26)

虛擬控制量Q的控制律Qcmd可初步設(shè)計(jì)為

(27)

式中：kθ>0為常值控制增益。

(28)

(29)

(30)

式中:

考慮到實(shí)際物理系統(tǒng)限制,控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中需要考慮可能出現(xiàn)的控制量飽和問(wèn)題,即δe需滿足表1中給出的約束。對(duì)此,采用如下輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)δe飽和時(shí)的補(bǔ)償信號(hào)χe

(31)

(32)

(33)

(34)

此時(shí)有

(35)

(36)

式中：kQ>0為常值控制增益。

注 5本節(jié)控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中使用了5個(gè)跟蹤微分器,分別對(duì)V、γ、θcmd、Qcmd、Q進(jìn)行估計(jì),數(shù)量上與傳統(tǒng)基于Backstepping方法的HFV控制器相當(dāng)(需要2個(gè)動(dòng)態(tài)面和3個(gè)干擾觀測(cè)器/擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器)。

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)分析閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)的穩(wěn)定性。其中,跟蹤微分器相關(guān)信號(hào)式(17)、式(23)、式(25)、式(29) 和式(35)以及控制量飽和補(bǔ)償信號(hào)χV、χe的有界性已在前面進(jìn)行了分析和證明,在本節(jié)不再贅述。

(37)

對(duì)式(37)求導(dǎo),由式(13)～式(14)、式(18)～式(20)、式(26)、式(30)～式(32)、式(36)可得

(38)

考慮式(17)、式(23)、式(25)、式(29)和式(35),以及不等式xy≤|x||y|,可得

(39)

(40)

(41)

證畢。

4 仿真分析

本節(jié)通過(guò)對(duì)比仿真驗(yàn)證本文所提控制方案的有效性。仿真模型采用式(1)～式(3)所示非線性模型,總體和氣動(dòng)參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[20]附表中提供的數(shù)據(jù)。飛行器的初始狀態(tài)設(shè)置為

仿真過(guò)程中控制輸入需要滿足表1中規(guī)定的飽和約束。

對(duì)比文獻(xiàn)[9]中提出的控制方法,本文所提方法主要有2個(gè)方面的區(qū)別： ① 對(duì)干擾項(xiàng)的估計(jì)方法不同,對(duì)比方法要求干擾項(xiàng)可導(dǎo)且干擾估計(jì)誤差與干擾項(xiàng)導(dǎo)數(shù)的上界有關(guān),本文所提方法無(wú)以上要求； ② 求取虛擬控制量一階導(dǎo)數(shù)的方法不同且控制偏差反饋量不同,對(duì)比方法以待跟蹤狀態(tài)與濾波后控制指令之差作為控制偏差,采用動(dòng)態(tài)面方法求取虛擬控制量的一階導(dǎo)數(shù),本文方法以待跟蹤狀態(tài)與理想控制指令之間的實(shí)際誤差作為控制偏差,基于跟蹤微分器求取虛擬控制量的一階導(dǎo)數(shù)。針對(duì)以上2點(diǎn),設(shè)計(jì)2組對(duì)比仿真實(shí)例分別進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)例1的參考軌跡設(shè)置為

模型氣動(dòng)參數(shù)偏差取-20%。控制器參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 實(shí)例1控制器參數(shù)設(shè)置

實(shí)例1中重點(diǎn)考察速度子系統(tǒng)控制效果,因?yàn)樗俣茸酉到y(tǒng)2種方法的控制律不涉及虛擬控制量的求導(dǎo)運(yùn)算,只存在前述的區(qū)別 ①,這樣可以排除因區(qū)別 ② 帶來(lái)的控制效果影響。實(shí)例1的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 實(shí)例1仿真結(jié)果

實(shí)例1驗(yàn)證了所提方法在干擾項(xiàng)估計(jì)方面的優(yōu)越性。接下來(lái),設(shè)計(jì)實(shí)例2驗(yàn)證前述區(qū)別 ② 帶來(lái)的控制效果影響,同時(shí)驗(yàn)證控制量飽和情況下所提方法的有效性。為消除干擾觀測(cè)器估計(jì)誤差對(duì)控制效果的影響,在實(shí)例2中,2種控制方法都使用本文設(shè)計(jì)的干擾估計(jì)策略。此外,在模型中增加以下外部干擾：

上述外部干擾分別作為組成dV、dγ和dQ的一部分加入至式(1)所示模型中。其余仿真條件和控制器參數(shù)同實(shí)例1中的設(shè)置,仿真結(jié)果如圖3～圖4所示。

圖3 實(shí)例2仿真結(jié)果

圖4 實(shí)例2本文方法其他飛行參數(shù)結(jié)果

綜合圖2～圖5的結(jié)果可知本文所提方法較對(duì)比方法具有更好的控制效果且對(duì)控制參數(shù)變化的適應(yīng)性更好；所提干擾估計(jì)策略能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)干擾項(xiàng)的估計(jì)；當(dāng)控制量出現(xiàn)有限時(shí)間飽和情況時(shí),所提控制方案仍能保證飛行狀態(tài)的穩(wěn)定性。

圖5 實(shí)例2本文方法補(bǔ)償信號(hào)χV、χe曲線

5 結(jié) 論

1) 基于跟蹤微分器設(shè)計(jì)了對(duì)系統(tǒng)干擾項(xiàng)的估計(jì)方法,相較傳統(tǒng)方法放寬了對(duì)系統(tǒng)干擾項(xiàng)的約束；仿真結(jié)果證明所提方法相較對(duì)比方法取得了更好的估計(jì)效果,進(jìn)而提高了控制器的控制效果。

2) 以待跟蹤狀態(tài)與理想控制指令之間的實(shí)際誤差作為控制偏差,基于跟蹤微分器求取虛擬控制量的一階導(dǎo)數(shù),相較動(dòng)態(tài)面方法取得了更好的控制效果,且對(duì)控制增益變化的適應(yīng)性更好。

3) 所設(shè)計(jì)的控制方法能夠在控制量出現(xiàn)有限時(shí)間飽和情況時(shí)保證飛行穩(wěn)定性。