SE(3)上航天器姿軌耦合固定時間容錯控制

梅亞飛,廖瑛,龔軻杰,羅達

1.國防科技大學 空天科學學院,長沙 410073

2.上海衛星工程研究所,上海 201109

在空間技術日新月異發展的背景下,對空間飛行器的機動性、準確性等提出了更高的新要求。相對運動航天器的姿態和軌道的建模與控制問題在空間交會對接、編隊飛行航天器等領域一直是研究的熱點。由于相對運動航天器姿態運動和軌道運動具有強耦合非線性等特點,傳統的將姿態和軌道運動分成獨立兩通道控制的思想忽略了二者之間耦合的影響,雖然滿足了一些實際航天任務的需求,但對于有高精度需求的航天任務,分而治之的方法將顯得無能為力[1]。因此,尋求航天器姿軌一體化控制具有理論指導和工程實踐意義。

由于航天器長期處于強輻射、超低溫等惡劣的太空環境,執行機構因老化或其他不可抵抗的誘因難免會出現各種各樣的故障,此時基于執行機構都正常工作的常規控制理論難以應對各類故障,最終可能會導致系統的崩潰或失效。另外,航天器自身也會面臨內部和外部的不確定性干擾,造成未建模動態誤差,模型的不確定性也給控制系統的設計帶來了巨大的挑戰。因此,針對上述故障和干擾的情形選擇合適的容錯控制策略顯得尤為重要,這也為航天器長期在軌服務運行提供了有力保障。

目前針對航天器姿態控制系統和執行器故障下的容錯控制問題已受到廣泛關注和研究[2-4]。但對于航天器姿軌一體化控制系統,當相對姿態和位置執行機構同時出現各類故障時,相關的六自由度容錯控制算法設計還有很大的理論空白[5]。航天器姿軌一體化建模與控制方法目前主要分為3類：第1類是基于向量代數的方法,此方法采用的是姿態和軌道運動先獨立建模后耦合聯立方程的思想,難以從根本上解決姿軌耦合問題[6]；第2類是基于有限螺旋位移理論,該方法引入了李群、辛幾何、微分流形等現代數學理論工具,使得剛體運動能夠脫離具體模型,在統一的位形空間下表示[7-8]；第3類是基于共形幾何代數的方法,該方法采用具有閔氏內積結構的五維向量空間,來描述三維歐氏空間的幾何與運動問題[9],由于其計算復雜度很高,目前少有學者研究。容錯控制主要包括主動容錯控制和被動容錯控制2類,其中考慮執行器故障屬于被動容錯控制中的完整性設計范疇,目前也是容錯控制領域的熱點研究方向,取得了豐富的研究成果[10-12]。國內外關于航天器的位姿一體化容錯控制研究還很少,可供借鑒的研究成果并不多,董宏洋[13]基于對偶四元數研究了執行機構故障情況下的航天器位姿一體化容錯控制,數值仿真結果驗證了其算法的有效性。

飽和現象是執行機構在實際工作中必然存在的一種非線性現象。飽和現象給航天器姿軌一體化控制器的設計增加了難度,使得控制系統的分析和設計更加復雜,如果在控制器設計過程中忽略了飽和特性,輕則可能會造成控制系統性能下降,重則甚至會導致系統失穩,任務失敗的后果。劉聰等[11]基于線性矩陣不等式設計了考慮執行器飽和的一體化不等式跟蹤容錯控制器設計,并通過數值仿真驗證了其算法的有效性。

在有限螺旋位移理論中,基于對偶四元數和李群SE(3)的位姿一體化建模是主要研究內容,由于對偶四元數具有計算效率高、非奇異、簡潔等優點,不少學者將其用于姿軌一體化建模,目前航天器對偶四元數動力學模型大都是基于Brodsky和Shoham[14]引入對偶質量算子的方法。雖然基于對偶四元數的航天器姿軌一體化建模方法應用很廣泛,但對偶四元數也有其局限性。基于對偶四元數的模型用8個參數來描述三維運動,因此需要單位化約束,有時對這個約束處理不當會產生問題。而且由于單位四元數對應的群作用是左乘和右乘,所以四元數描述姿態不具有唯一性,嚴重時會產生退繞現象[15]。李群SE(3)的幾何框架描述剛體運動相較于傳統的歐氏空間中的描述方法更加自然和簡潔,分析結果也更加真實、可信,設計的控制器也更加簡潔,因而近些年來逐漸受到關注。相關學者[1,8,16-18]在SE(3)上描述了剛體航天器姿軌耦合一體化運動,利用李群與李代數的指數映射函數和對數映射函數的關系把運動旋量經過變換轉換為相應的航天器姿軌運動方程,并在此基礎上設計各種簡潔的控制器,實現了位姿跟蹤控制目標。本文也是在李群SE(3)的框架下建立航天器姿軌耦合一體化模型,便于后文容錯控制器的設計。

模糊逼近能夠充分利用模糊語言的信息能力,構造也較為容易,能以任意精度逼近非線性函數。當執行器出現故障時,系統的不確定性增加。對于參數不確定系統,可以通過Lyapunov方法構造自適應律,利用基于等價性原理的自適應控制替代模型中的不確定參數,最后為被估計的參數設計自適應控制律使得閉環系統穩定。這種主流的自適應控制方法由于設計思路簡單、易于理解,目前在航天器控制領域得到了廣泛的應用[19]。對于執行機構故障的相對運動航天器系統就是這樣一類含有模型不確定性和參數不確定性的系統,采用基于模糊自適應的容錯控制方法可以解決上述問題,使得閉環系統穩定。固定時間控制是在有限時間控制的基礎上發展而來的,二者區別只是滑模面的形式不同,前者可以不依賴于初始狀態實現固定時間收斂,而后者收斂時間與初始狀態相關。雙冪次快速終端滑模控制作為固定時間控制的一種,可用來實現系統的固定時間穩定性,并在航天器控制領域有了一定的應用[20-21]。

綜上所述,考慮執行器故障和控制輸入飽和情形下,實現航天器姿軌一體化高精度快速容錯控制具有重要的研究意義。本文以主從編隊航天器為研究對象,首先推導執行器故障情況下的航天器姿軌一體化誤差動力學模型；然后采用模糊自適應方法設計雙冪次快速終端滑模控制器實現固定時間容錯控制,并運用Lyapunov方法對系統的穩定性進行嚴格的數學證明。

1 數學基礎及相關定義

首先,在介紹航天器姿軌一體化模型之前,引入相關數學概念及其定義。

對任意的列向量x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,定義如下的向量：

1) |x|α=[|x1|α,|x2|α,…,|xn|α]T。

6)λ(A)為矩陣A的特征值集合,其中,λmin(A)為矩陣A的最小特征值；λmax(A)為矩陣A的最大特征值。

2 SE(3)上航天器姿軌一體化模型

自然界中剛體運動的構型空間是SE(3),其可以緊湊地表示剛體的平動和旋轉運動。

2.1 單剛體航天器姿軌一體化模型

航天器的位姿構型可以用李群SE(3)中的一個元素g表示為[1]

(1)

式中：R∈SO(3)為航天器從體坐標系到慣性坐標系的旋轉矩陣；b∈R3為地球質心到航天器質心在慣性坐標系下的位置坐標向量。

航天器的姿軌速度矢量定義為

(2)

式中：v為線速度；ω為角速度。速度矢量均在航天器體坐標系中建立。為了方便建立航天器姿軌一體化運動學和動力學方程,介紹李群SE(3)及其對應的李代數需要滿足的映射關系如下：

1)g=g(R,b)∈SE(3)的伴隨矩陣可以表示為

(3)

式中：[·]∧表示對向量取李代數,此處表示對向量取反對稱矩陣。

(4)

(5)

(6)

根據上述定義,慣性坐標系下航天器姿軌一體化運動學方程可以表示為

(7)

航天器本體坐標系下的姿軌一體化動力學方程可以表示為

(8)

式中：m、J分別為航天器的質量和轉動慣量；Fg、Mg分別為航天器的重力梯度力和重力梯度力矩；Fc、Mc分別為航天器的控制力和控制力矩；Fd、Md為航天器的干擾力和干擾力矩。Fg、Mg的具體形式為

(9)

(10)

式中:μ=398 600.44 km3·s-2為地球引力常數；J2=1.082 63×10-3為地球扁率攝動；Re=6 378.14 km為地球平均半徑。

綜上,航天器姿軌一體化動力學方程可以表示為

(11)

2.2 相對運動航天器姿軌一體化模型

假設目標航天器的位姿構型為go,其中目標航天器可以是真實存在的也可以是虛擬的。跟蹤航天器的實際位姿構型為gb,則跟蹤航天器與目標航天器的實際相對位姿構型[16]為

(12)

若跟蹤航天器期望的位姿構型為gd,則跟蹤航天器與目標航天器的期望相對位姿構型為

(13)

那么跟蹤航天器的跟蹤誤差為

(14)

通常期望的相對位姿構型為一常值,期望的相對線速度與相對角速度為零,即跟蹤航天器與目標航天器以某一固定構型保持相對靜止。

跟蹤航天器姿軌位置跟蹤誤差可以表示為

(15)

式中：ρe為航天器軌道位置跟蹤誤差；φe為航天器姿態位置跟蹤誤差。

跟蹤航天器姿軌速度跟蹤誤差可以表示為

(16)

式中：ve為航天器線速度位置跟蹤誤差；ωe為航天器角速度位置跟蹤誤差。

則he在SE(3)下可以表示為

(17)

通過李群與李代數之間的對數映射可以解得

(18)

式中：

(19)

ρe=S-1(φe)be

(20)

(21)

根據李群與李代數的關系可以推導當期望的相對速度為零時,跟蹤航天器的相對速度誤差和相對加速度誤差的表達式為

(22)

(23)

綜上,可得相對運動航天器姿軌一體化運動學方程為

(24)

由文獻[15]可知,G(ηe)的表達式為

(25)

將式(11)代入式(23),得航天器相對運動姿軌一體化動力學方程為

(26)

在實際航天任務中,慣量矩陣Ξ由于燃料消耗和外部擾動存在不確定性,因此實際慣量矩陣Ξ可以表達為

Ξ=Ξ0+ΔΞ

(27)

式中：Ξ0為標稱慣量矩陣；ΔΞ是慣量不確定部分。則慣量矩陣Ξ的逆可以表示為

(28)

式(26)可以進一步表示為

(29)

綜上,相對運動航天器姿軌一體化運動模型可以表示為

(30)

2.3 執行機構故障數學模型

執行機構的各種故障可用數學模型描述為

ui(t)=

(31)

上述故障模型可以統一表示為

(32)

2.4 控制輸入飽和數學模型

因為在實際物理可實現的控制系統中,執行器的驅動能力必然是有限的,在航天器系統中飛輪和推力器不可能輸出任意大的控制力矩和控制力,當控制指令信號超出實際執行機構的幅值約束時,執行機構的輸出將會保持在最大幅值附近,不會再隨控制指令信號增大而增大。

執行器飽和特性可以表述為

sat(u)=δu+u

(33)

式中：u為待設計的控制器；δu為超出飽和幅值限制的控制信號,其定義為

(34)

式中：ui為第i個執行機構的控制輸出；uimax、uimin分別為第i個執行機構的控制輸出的最大值和最小值。

2.5 考慮輸入飽和及執行機構故障情況下相對運動航天器姿軌一體模型

根據式(30)～式(33),考慮輸入飽和及執行機構故障相對運動航天器姿軌一體化動力學方程可以表示為

(35)

3 姿軌一體化容錯控制器設計

在采用雙冪次快速終端滑模面的基礎上,設計了模糊自適應固定時間穩定控制器。該控制器結構簡單,參數也易整定,可實現跟蹤航天器在故障情形下仍能夠在固定時間內完成對目標航天器的高精度位姿跟蹤,實現真正意義上的六自由度容錯控制。

3.1 模糊逼近方法

模糊逼近方法能夠充分運用模糊語言信息逼近任意非線性連續函數,其在非線性函數的擬合方面具有很好的效果,可以以任意精度逼近非線性連續函數,下面給出模糊逼近系統的結構及其基本理論[22]。

模糊系統的輸入為X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn, 對輸入變量的每個分量都設計M條模糊規則,則整個系統就有nM條模糊規則,每條模糊規則的具體表達式為

(36)

若模糊系統采用單值模糊器,中心平均解模糊器和乘積推理機,則可以得到模糊逼近系統的輸出為

(37)

(38)

z=Wβ

(39)

式中：β為基函數,其具體形式為

(40)

基于上述對模糊逼近系統的介紹,跟蹤航天器的外部總擾動用模糊逼近來估計可以表示為

(41)

式中：W*為模糊逼近系統的最優權值矩陣；ε為該系統的有界逼近誤差。

(42)

則最優權值矩陣的估計誤差為

(43)

3.2 假設條件

為了便于后文控制器的設計與分析,需提出如下假設。

假設1模糊逼近系統的輸出有界,系統外部總擾動的估計值有界,可以表示為

(44)

式中：dm為一個正常數。

假設2模糊逼近系統的估計誤差有界,可以表示為

(45)

式中：εm為一個正常數。

假設3模糊逼近系統的最優權值矩陣估計誤差有界,可以表示為

(46)

式中：Wm為一個正常數。

假設4執行機構存在故障,但故障后仍滿足約束rank(DE)=6,即在故障發生后,冗余的推力器仍能夠組合輸出足夠的控制量完成給定的任務。

備注1因為航天器的質量、轉動慣量、故障幅值、模糊逼近系統的輸入變量和系統的外部擾動及都是有界的,故假設1合理,同時假設2、假設3具有模糊逼近系統擬合任意非線性連續函數的性質,假設4不考慮欠驅動系統,因此也是合理的。

3.3 模糊自適應固定時間穩定容錯控制器設計

為了實現固定時間穩定的控制目標,采用雙冪次快速終端滑模控制,選取的滑模面形式如下：

S=ξe+C1sigα1(ηe)+C2sigα2(ηe)

(47)

為了使得相對運動航天器在系統故障情況下仍能在固定時間內收斂到期望狀態,模糊自適應滑模控制器的設計如下：

(48)

最優權值矩陣的自適應更新律為

(49)

式中：γ>0為一個與控制無關的輔助參數。

3.4 穩定性分析

為便于穩定性的證明和分析,給出相關引理。

引理1[15]給定一個連續正定函數V(x):Rn→R,對于任意非零初始狀態,若滿足如下不等式：

(50)

式中：ρ1>0;ρ2>0;υ1>1;υ2∈(0,1)。那么V(x) 可以在有限時間內收斂到平衡狀態,系統到達平衡點的時間T滿足

(51)

引理2[1]矩陣G(ηe)的所有特征值都是正值。

引理3[15]對?xi∈R(i=1,2,…,n),其中01,有下面不等式成立：

(52)

定理1對于相對運動航天器系統,當非線性系統(式(47))到達滑模面S=0時,系統的狀態ηe、ξe可以在固定時間內收斂到平衡點。

證明當系統到達滑模面S=0時,可得

ξe=-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe)

(53)

選擇如下Lyapunov函數：

(54)

對V求導可得

(55)

(56)

下面證明滑模面(式(48))可以在固定時間內到達平衡點附近,提出定理2。

定理2對于執行機構故障信息已知的相對運動航天器系統(式(35)),當采用滑模面(式(47))與模糊自適應控制律(式(48)、式(49))時,系統的滑模面S可以在固定時間內收斂到包含零點的小區域內。

證明：選擇如下Lyapunov函數：

(57)

對V1求導可得

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)+

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)

(58)

將式(49)的自適應律代入式(58),可得

(59)

結合引理3的式(52)可知：

(60)

綜上可得

(61)

式中：Δ的定義為

(62)

由假設2和假設3可知Δ滿足如下不等式：

(63)

(64)

則式(61)可以化簡為

(65)

式(65)進一步可以寫為

(66)

(67)

(68)

T′=min{T1,T2}

(69)

由于如下不等式成立：

(70)

I6(-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe))=-α2·

(71)

4 數值仿真與分析

為了驗證本文算法對執行機構故障的容錯能力,首先給出航天器執行機構的安裝方式。跟蹤航天器的姿態控制的執行機構為反作用飛輪,軌道控制的執行機構為推力器。采用4個反作用飛輪和4對推力器的控制布局方式,實現航天器姿軌一體化容錯控制。4個反作用飛輪采用傳統的三正交一斜裝的安裝方式,其配置結構如圖1所示[13]。

圖1 飛輪配置結構[13]

8個推力器兩兩對稱安裝在立方體每條棱的中點,采用推力過質心的安裝方式,其配置結構如圖2所示。

圖2 推力器配置結構

在仿真開始前,先定義模糊逼近系統的輸入表達式為

(72)

7個模糊隸屬度函數選取如下：

(73)

在仿真中,假設跟蹤航天器與目標航天器的質量和轉動慣量相同,其數值為

(74)

目標航天器圍繞地球進行軌道運動,其軌道六要素如表1所示。

表1 目標航天器軌道六要素

假設目標航天器沿著理想的軌道運動,它的運行軌道由離線計算產生,初始時刻目標航天器的體坐標系與軌道坐標系重合,其初始位姿狀態及初始速度分別為

go=

(75)

(76)

式中：位置矢量均為在慣性坐標系下的表示,單位為km；速度矢量均為在航天器體坐標系下的表示,單位分別為km/s、rad/s。

跟蹤航天器相對目標航天器的初始位姿和初始速度參數定義見表2。

表2 跟蹤航天器與目標航天器的初始相對狀態

跟蹤航天器與目標航天器的期望相對位姿構型與相對速度見表3。

表3 跟蹤航天器與目標航天器的期望相對狀態

考慮到實際工況中,由于受燃料消耗及其他因素的影響,慣量矩陣會隨著時間不斷變化,故假設慣量矩陣偏差和外界擾動數值如下：

(77)

仿真過程中,反作用飛輪和推力器的飽和約束為:執行器力矩、力的最大輸出值分別限制在[-1,1] N·m和[-10,10] N以內,控制器的參數選取見表4。

表4 控制器參數

飛輪和推力器的具體故障形式見表5。

表5 執行機構故障形式

仿真結果與分析均是在MATLAB/SIMULINK 環境下完成。由于總干擾中包含控制器輸出信息,可能存在代數環問題,故在控制器的反饋通道中加入單位延遲環節,以避免可能出現的代數環。

圖3為姿態跟蹤誤差結果,從圖中可以看出誤差曲線在17 s之內快速收斂到平衡狀態,且收斂精度最終保持在5×10-5(°)之內。

圖3 姿態跟蹤誤差

圖4為角速度跟蹤誤差結果,從圖中可以看出誤差曲線也可以在17 s之內快速收斂到平衡狀態,且收斂精度最終保持在5×10-6(°)/s之內。

圖4 角速度跟蹤誤差

圖5為位置跟蹤誤差結果,從圖中可以看出誤差曲線可以在96 s之內快速收斂到平衡狀態,且收斂精度最終保持在1.5×10-5m之內。

圖5 位置跟蹤誤差

圖6為速度跟蹤誤差結果,從圖中可以看出誤差曲線可以在105 s之內快速收斂到平衡狀態,且收斂精度最終保持在4×10-5m/s之內。

圖6 速度跟蹤誤差

圖7、圖8分別為飛輪和推力器在故障后的實際輸出力矩與力的大小結果,可以看出,執行機構的輸出曲線很好地反映了故障的形式與大小,系統到達穩態后執行機構還存在輸出是為了繼續克服故障與內外擾動的影響。

圖7 飛輪輸出

圖8 推力器輸出

圖9為模糊逼近方法對系統總擾動的估計結果,從圖中可以看出其對姿態運動和軌道運動的估計效果都很好,可以準確地估計出系統的內外干擾與故障大小,很好地解決了控制輸入飽和的問題,因此姿態與軌道運動的收斂精度都很高。仿真結果也再次驗證了模糊逼近方法的萬能逼近特性,從而可以減少對精確模型的依賴程度,更便于控制器的設計。

圖9 模糊逼近方法總擾動估計

圖10為采用傳統的PID控制方法的姿軌位置與速度跟蹤誤差曲線,從圖中可以看出,在收斂速度和控制精度上PID控制方法都不及本文控制方法,收斂速度明顯慢于本文的固定時間滑模控制,在穩態精度上也與本文方法存在量級上的差距,因此可證明本文提出的固定時間姿軌耦合容錯控制方法更適用于實際有快速性和高精度要求的航天任務。

圖10 PID控制姿軌跟蹤誤差

綜上,本文所設計的模糊自適應固定時間穩定控制器應用于姿軌一體化跟蹤時具有很好的控制性能,能夠滿足快速性和高精度的任務需求,且對于執行器失效的故障情況具有良好的容錯能力。

5 結 論

1) 基于李群SE(3)的姿軌一體化建模形式簡單,可應用于解決實際航天工程中六自由度的建模問題。

2) 模糊自適應控制方法可以很好地估計總擾動及部分故障信息,精度很高,下一步可以考慮引入模糊逼近方法估計的誤差補償項,進一步提高軌道運動的控制精度。

3) 雙冪次快速終端滑模實現了固定時間容錯控制,相比于傳統的PID控制,快速性更好,控制精度更高,可以很好地解決執行器失效的故障情況,且具有潛在的工程應用價值。