指向小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)科表達(dá)

摘 要 小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，重要的是強(qiáng)調(diào)素養(yǎng)的立意，然后是在此基礎(chǔ)上提供載體培養(yǎng)學(xué)生深度思維，凸顯創(chuàng)造力的提升以及建構(gòu)自己獨(dú)特的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。同時(shí)，在學(xué)習(xí)的過程中，也離不開真實(shí)情境以及活動(dòng)的關(guān)照，最終促進(jìn)高階思維能力的發(fā)展以及人格素養(yǎng)的積淀。當(dāng)然，這也是未來課堂的必然選擇。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 深度學(xué)習(xí) 素養(yǎng)立意 工具支持

活動(dòng)關(guān)照

近年來，深度學(xué)習(xí)逐漸成為教學(xué)的熱詞。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)追求本質(zhì)，即追尋知識(shí)的核心要義，并形成與之相匹配的框架結(jié)構(gòu)。隨著社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展，單純的、碎片化的知識(shí)填鴨已經(jīng)不能順應(yīng)時(shí)代要求，深度學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)的意義已經(jīng)超越了單純的知識(shí)習(xí)得，更是旨在發(fā)展學(xué)生廣泛的技能、態(tài)度（能力），培育作為學(xué)習(xí)者的人格（人性）的成長(zhǎng)[1]。我們可以從三個(gè)維度闡釋小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)科表達(dá)：指向?qū)W生主體本身，需要素養(yǎng)的立意;亟需有效支撐，凸顯工具的支持;指向問題解決，要有活動(dòng)的關(guān)照。

一、素養(yǎng)的立意

我們都知道，核心素養(yǎng)主要指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。這樣的學(xué)習(xí)一定不會(huì)是因循守舊的亦步亦趨，而是可以持續(xù)的學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程。

1.問題——好問題超越最完美的答案

緣于真問題的學(xué)習(xí)就是培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，好的問題一定比完美的答案更加重要。從這個(gè)層面來說，素養(yǎng)立意下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是教學(xué)生學(xué)習(xí)，而是讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)問題并為之尋找最佳的解決問題方案。

“平年和閏年”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)一直為我們所熟知，學(xué)生對(duì)它們的判斷方法也是成竹在胸。可是，我們有沒有反問一下自己，除了教材所告知的我們還需要掌握哪些知識(shí)呢？教材的弊端究竟在哪里？學(xué)生不能僅僅是知其然，更重要的是要知其所以然。比如，既然是閏年，那么何為“閏”？這里的“閏”究竟表示何意？《辭海》查閱一下，“閏，余數(shù)”。既然“閏”指向余數(shù)，那么在歷法中出現(xiàn)的“閏月”“閏日”以及“閏秒”是什么意思，也就迎刃而解了。在英文里“閏”還有跳躍的、插入其中的意思，這里實(shí)際指向了閏年的呈現(xiàn)規(guī)律或者是排列特征……所有這些問題，真是讓人腦洞大開。

2.批判——高觀點(diǎn)視野下的立體思維

何為高觀點(diǎn)？高觀點(diǎn)的要義之一就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)并不是孤立的一門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)整體[2]。面向未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上應(yīng)該是一個(gè)立體的學(xué)習(xí)，理應(yīng)以較高階段的數(shù)學(xué)知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)較低階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)系統(tǒng)性、連續(xù)性和結(jié)構(gòu)性[3]。在這里高觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)從感性走向理性，從單一學(xué)科走向?qū)W科融合的辯證過程。這樣的思維是單向度思維的有效突破，也是指向“批判—?jiǎng)?chuàng)新”的過程。

認(rèn)識(shí)了“角”之后，學(xué)生都知道按照大小給角分類，可以分為銳角、直角、鈍角、平角和周角，但是這些角之間究竟有何聯(lián)系？它們之間又有何特征？我們不得而知。當(dāng)學(xué)生將這些角用數(shù)軸表示出來之后（圖1），應(yīng)該有更多的問題需要提出來思考：首先，從圖中不難看出：直角、平角和周角實(shí)際上就是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而銳角以及鈍角表示的是不同的區(qū)間，那么180°到360°之間的區(qū)間有沒有特定的角來表示？又該如何表示？比0°大的角可以統(tǒng)一叫做什么角？反之，在0°左邊的這些角又該如何表示……

3.共同——在合作中達(dá)成的雙向共贏

未來的社會(huì)一定是共享的社會(huì)，這樣的共享在學(xué)習(xí)中指向的是共同學(xué)習(xí)。在這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所有的人圍繞一個(gè)核心問題展開研討，以此問題為研究點(diǎn)向四面八方拓展。

“有趣的面積”的學(xué)習(xí)中，基于共同學(xué)習(xí)，學(xué)生在接受任務(wù)后，從最為普適性的數(shù)格子方法到用更小的物體（比如小紅豆）來進(jìn)行密鋪，每一個(gè)人都感覺到這樣的方法更簡(jiǎn)單、更精確。更令人欣慰的是，他們?cè)谘芯康倪^程中還發(fā)現(xiàn)，這里的小紅豆實(shí)際上就相當(dāng)于數(shù)格子中的格子，就是把一個(gè)大的面積單位轉(zhuǎn)化成若干個(gè)更小的面積單位。以此類推，“豆子”越小算出來的結(jié)果越接近真實(shí)準(zhǔn)確的結(jié)果，也更加接近面積的本質(zhì)含義。

二、工具的支撐

數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中從來都沒有離開過工具，從最原始的結(jié)繩計(jì)數(shù)到傳統(tǒng)學(xué)習(xí)工具，再到現(xiàn)在的多種信息工具……作為工具支撐下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不只是指向選擇工具的過程，還應(yīng)該包括工具的研創(chuàng)過程。在選擇的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)已有工具的弊端，找出已有工具存在的不足或者是缺失，根據(jù)自己的思考，獨(dú)立研創(chuàng)出打上自己烙印的工具，這也是深度學(xué)習(xí)過程中的必然的產(chǎn)物。

1.翻譯——基于工具的文本解讀

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)在復(fù)雜的信息采集中，完成對(duì)信息的深度加工，從而促進(jìn)知識(shí)最為本源的深度解讀。由于數(shù)學(xué)本身的抽象以及復(fù)雜性，在理解的過程中難免會(huì)出現(xiàn)困惑甚至偏差，借助工具深度解讀文本、并且做出最為合理的闡述就顯得尤其重要。在這個(gè)過程中，選擇恰當(dāng)工具的過程即加深理解的過程，也是將知識(shí)逐步進(jìn)行消化與吸收的過程。因此，這個(gè)過程中要透過表層，挖掘出知識(shí)背后所表達(dá)的本真意蘊(yùn)，也就是突出知識(shí)意義的翻譯與二次轉(zhuǎn)化，它也是選擇工具的要義之所在，更是取得事半功倍的關(guān)鍵。

體積和容積是小學(xué)階段學(xué)生比較難掌握，并且經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生混淆的兩個(gè)概念。何為體積？誰又是容積呢？課堂上怎樣才能將概念講透，讓學(xué)生聽明白。這的確是困擾很多教師的一個(gè)難題。俞正強(qiáng)老師以俄羅斯套娃為工具，大娃里面有二娃，二娃里面有三娃……無需更多的語言來描述，從不起眼的六個(gè)套娃中，學(xué)生對(duì)抽象的容積與體積概念一目了然，同時(shí)，還深刻領(lǐng)悟了體積與容積之間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)在是高明[4]。

2.研創(chuàng)——基于數(shù)學(xué)理解的深度呈現(xiàn)

這里的研創(chuàng)包括兩個(gè)層次的意思：創(chuàng)生與進(jìn)階。創(chuàng)生，指向創(chuàng)造出新的工具;進(jìn)階，突出的是原有工具功能的不斷更新。正如前面所述，工具有一個(gè)很重要的特征就是其時(shí)間的折疊，其時(shí)間折疊背后的原理以及數(shù)學(xué)思想則需要我們深度挖掘。只有在這方面深刻理解，才能夠凸顯出作為工具的創(chuàng)生與進(jìn)階的價(jià)值。實(shí)際上這里并不只是強(qiáng)調(diào)研創(chuàng)，更強(qiáng)調(diào)研創(chuàng)背后的數(shù)學(xué)深度理解，從另一個(gè)角度來講，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)理解的一個(gè)重要標(biāo)志。

我們都知道，初學(xué)“角的度量”時(shí)，如何正確讀出量角器上面的刻度，一直是很多學(xué)生過不去的坎。問題究竟在哪里？實(shí)際上“角的度量”的原理無非兩點(diǎn)：其一是重合的過程，即被測(cè)量的角與量角器上面的角完全重合;其二就是讀數(shù)的過程，這樣的讀數(shù)與旋轉(zhuǎn)角的意義不謀而合。學(xué)生在測(cè)量的過程中做到第一點(diǎn)，也就是角的重合不是難題，他們始終不明白的是量角器上的讀數(shù)原理，出錯(cuò)的根源正是上面的兩圈刻度，也就是讀數(shù)之前首先要確認(rèn)角的始邊，即“零刻度線”，之后才能依據(jù)對(duì)應(yīng)的終邊位置讀出角的度數(shù)，它實(shí)際上與小學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)之間存在很大的斷層。于是不斷經(jīng)歷失敗、反復(fù)比較，對(duì)照后進(jìn)行創(chuàng)造性的加工，嘗試將量角器的其中一圈刻度用修正液涂掉，只留下一圈刻度，這時(shí)只剩下一個(gè)“零刻度線”，角的方向問題迎刃而解，后面正確讀數(shù)則是水到渠成了。看似一個(gè)不起眼的操作，背后的數(shù)學(xué)理解值得我們每個(gè)人反思。

3.結(jié)構(gòu)——基于數(shù)學(xué)知識(shí)體系的完備

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是雙線結(jié)構(gòu)：一條是明線，指教材中各個(gè)顯性的知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)零散地存在于教材中;還有一條就是隱線，即知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思維與思想方法，這條隱線將各個(gè)顯性的知識(shí)點(diǎn)有效地勾連起來，點(diǎn)成線、線成面、面成體，織成一張數(shù)學(xué)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)。

基于工具的結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是結(jié)構(gòu)化的思維工具。這樣結(jié)構(gòu)化的工具，不只是在教學(xué)中我們每一位老師心中有數(shù)，更應(yīng)該讓每一位學(xué)生掌握這樣的本領(lǐng)。一個(gè)單元結(jié)束之后可以讓學(xué)生自主整理單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，一個(gè)階段（一個(gè)學(xué)期甚至更長(zhǎng)時(shí)間）后，更應(yīng)該引導(dǎo)他們分門別類整理，依據(jù)數(shù)學(xué)的知識(shí)版塊將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理。

比如學(xué)生學(xué)習(xí)完進(jìn)位加法以后，如果幫助學(xué)生及時(shí)整理成下面的結(jié)構(gòu)（圖2），那么學(xué)生從小就對(duì)知識(shí)的體系了然于心，自然能夠?qū)⑦@樣的方法運(yùn)用于接下來的學(xué)習(xí)中。這樣的過程才是真正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，是學(xué)習(xí)過程中每一位學(xué)生所彰顯出來的最佳狀態(tài)。

三、活動(dòng)的關(guān)照

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是活動(dòng)的過程。從活動(dòng)的實(shí)踐特點(diǎn)分析，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)必然具有真實(shí)性、完整性，以及不因循守舊所帶來的超越性。

1.真實(shí)性——學(xué)科視角下的人文滲透

在真實(shí)的生活中解決實(shí)際問題才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最根本的目的。如何在教學(xué)中提供最為真實(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)支持，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)不可或缺的問題。

在蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)教材中，我們學(xué)習(xí)了“怎樣滾得遠(yuǎn)”，學(xué)生通過練習(xí)知道了斜面成45°時(shí)，物體滾得最遠(yuǎn)。靜下心來好好想一想，既然滾得遠(yuǎn)實(shí)際上就是滾得速度快，那么實(shí)際生活中有沒有“怎樣滾得近”？也就是讓滾動(dòng)的速度越慢越好？通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在城市商場(chǎng)、銀行、公園等公共場(chǎng)所有越來越多的殘疾人通道，這樣的通道斜坡角度如何設(shè)置？為何要設(shè)置為1：12，這個(gè)比值代表的度數(shù)是多少？在這些殘疾人通道中更多地強(qiáng)調(diào)怎樣滾得近，怎樣使速度更慢，這里所彰顯出的人文關(guān)懷是習(xí)題練習(xí)所不能比擬的。

2.完整性——學(xué)程視角下的問題解決

完整性指的是基于學(xué)科視角下的活動(dòng)，是比較完整、具備一定創(chuàng)新性的最佳實(shí)踐，對(duì)學(xué)科活動(dòng)有著充分的設(shè)計(jì)，以及多角度的考量。主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：縱向結(jié)構(gòu)的貫通，實(shí)現(xiàn)與已有知識(shí)的鏈接點(diǎn)，同時(shí)也是下一個(gè)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，主要是同一知識(shí)點(diǎn)在年段上的連貫一體;橫向結(jié)構(gòu)的打通，以此知識(shí)點(diǎn)為圓心，向四面八方拓展，主要是向?qū)W科、生活方面的聯(lián)結(jié);指向?qū)W習(xí)方式的多種并存，這樣的完整性絕不會(huì)是一種方法一路走到底的。

“用字母表示數(shù)”這節(jié)課，并不是首先通過幾個(gè)圖形的拼搭，然后是公式、運(yùn)算律的應(yīng)用練習(xí)，最后用一個(gè)童謠“數(shù)青蛙”結(jié)課那么簡(jiǎn)單。基于完整，教學(xué)活動(dòng)中至少要思考下圖呈現(xiàn)出來的四個(gè)維度的問題（圖3）。

3.超越性——主體視角下的認(rèn)識(shí)實(shí)踐

超越性可以從兩個(gè)不同的維度闡述。首先，由于學(xué)習(xí)的不斷深入、探究的逐步推進(jìn)，活動(dòng)中學(xué)生的理解程度達(dá)到對(duì)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)的超越;其次，挑戰(zhàn)性的話題能夠讓每位學(xué)生的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生出質(zhì)的飛躍，從一開始的混沌、模糊到最后的不斷明晰乃至升華，這是對(duì)學(xué)習(xí)者本身的超越。超越體現(xiàn)在對(duì)學(xué)習(xí)素材的廣度不斷拓展，對(duì)學(xué)習(xí)深度不斷加強(qiáng)，以及學(xué)習(xí)參與度不斷融合的過程。

蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“樹葉中的比”，是一節(jié)常規(guī)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課，由于教師的精心設(shè)計(jì)，讓整個(gè)教學(xué)活動(dòng)凸顯出兩種不同的超越。

尤其是“實(shí)踐2”中的“活動(dòng)內(nèi)容6”和“活動(dòng)內(nèi)容7”這兩個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，這樣的活動(dòng)既需要反思和猜想又需要通過細(xì)致的觀察、類比、推理來加以驗(yàn)證。在這一過程中，學(xué)生不僅主動(dòng)內(nèi)化了比的概念、完善了比的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且親歷了規(guī)律揭示的全過程。

小學(xué)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，是仁者見仁、智者見智的過程。但是，不管怎樣，面向?qū)W習(xí)型社會(huì)的21世紀(jì)，學(xué)習(xí)的重心一定是支持學(xué)生利用工具主動(dòng)獲取信息，批判理解，從而建立自己獨(dú)有的知識(shí)體系的過程、解決真實(shí)問題的過程。這樣呈現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)才是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該有的模樣。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]