小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的培育

顏春紅

摘 要 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要價(jià)值在于培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，促進(jìn)學(xué)生思維方式的改進(jìn)。在教學(xué)中教師可以進(jìn)行頂層設(shè)計(jì)，從整體出發(fā)統(tǒng)籌規(guī)劃，讓學(xué)生明確活動(dòng)結(jié)構(gòu);通過多維關(guān)聯(lián)由此及彼、由表及里、由目引綱幫助學(xué)生再現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu);通過回顧整理探討結(jié)構(gòu)建構(gòu)過程、經(jīng)歷結(jié)構(gòu)重建過程，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在不斷累積、層級(jí)進(jìn)階的學(xué)習(xí)活動(dòng)中感悟結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、重建結(jié)構(gòu)，培育結(jié)構(gòu)性思維。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)性思維 活動(dòng)結(jié)構(gòu) 知識(shí)結(jié)構(gòu) 認(rèn)知結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)性思維指“人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中，從結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，利用整體和部分的關(guān)系，有序地思考，從而更清晰地表達(dá)、更有效地解決問題的思維方式”[1]。在小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中教師要通過解讀數(shù)學(xué)知識(shí)體系，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在整體的視角下觀照數(shù)學(xué)知識(shí)、進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，理解整體和部分的關(guān)系，學(xué)會(huì)有序思考、清晰表達(dá)，培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，進(jìn)而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)力自然生長(zhǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、頂層設(shè)計(jì)，明確活動(dòng)結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，頂層設(shè)計(jì)指在開展數(shù)學(xué)活動(dòng)前對(duì)活動(dòng)所進(jìn)行的統(tǒng)籌規(guī)劃與整體考慮。教學(xué)實(shí)踐表明，好的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)必須有明確的活動(dòng)主題、確定的活動(dòng)內(nèi)容、明晰的活動(dòng)路徑。教師需要從整體出發(fā)，精心規(guī)劃與設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在具有良好結(jié)構(gòu)的活動(dòng)中有序思維，有層次認(rèn)知，在理解并掌握知識(shí)的同時(shí)，培育結(jié)構(gòu)性思維。

1.明確主題，強(qiáng)化活動(dòng)目標(biāo)

清晰明確的主題使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)有了方向和目標(biāo)，用主題驅(qū)動(dòng)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，在直觀操作與理性思考的不斷轉(zhuǎn)換中探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

如教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行四邊形”時(shí)，教師出示長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等平面圖形，先讓學(xué)生說出分類依據(jù)及圖形名稱，接著提問：我們以前已經(jīng)認(rèn)識(shí)并研究過長(zhǎng)方形、正方形和三角形，今天要研究平行四邊形，你想研究平行四邊形的什么？學(xué)生說出想研究平行四邊形的特征。研究平行四邊形的特征就是學(xué)生即將開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的研究主題，主題確定了，數(shù)學(xué)活動(dòng)的方向和任務(wù)明確了，數(shù)學(xué)活動(dòng)目標(biāo)也就得到了強(qiáng)化。

2.篩選內(nèi)容，突出探究要素

有了明確的主題，使數(shù)學(xué)活動(dòng)有了導(dǎo)向性。接著就應(yīng)該考慮如何引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，從哪些方面著手研究，如何避免無效活動(dòng)，保障單位時(shí)間效益。教師需要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)主題對(duì)活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行篩選，突出探究活動(dòng)的要素。

繼續(xù)以“認(rèn)識(shí)平行四邊形”教學(xué)為例，教師讓學(xué)生先回憶三角形有哪些特征，接著提出問題：根據(jù)你們的經(jīng)驗(yàn)，平行四邊形的特征可以從哪些方面進(jìn)行研究？學(xué)生回答：邊、角、頂點(diǎn)、底、高。教師讓學(xué)生從這幾方面著手在小組內(nèi)選擇素材進(jìn)行研究。

這樣設(shè)計(jì)使學(xué)生借助以往研究圖形特征的經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)選擇研究?jī)?nèi)容，將關(guān)注點(diǎn)放在了邊、角、頂點(diǎn)、底和高幾個(gè)重要元素上，使數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與提升落到實(shí)處，使小組活動(dòng)的開展更加高效，也增加了學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)研究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生真正站在課堂中央，讓學(xué)習(xí)能力自然生長(zhǎng)。

3.規(guī)劃路徑，推動(dòng)研究進(jìn)程

規(guī)劃研究路徑是為學(xué)生學(xué)習(xí)搭建支架的重要方法，教師要順應(yīng)知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)特征和學(xué)生的實(shí)際需求，組織合理的研究序列，突出研究環(huán)節(jié)之間的邏輯線索，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入到研究活動(dòng)中，以“思”促“做”，以“做”啟“思”，逐步揭示事實(shí)或現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了圖書館購(gòu)書情境，讓學(xué)生提出問題并列出三道乘法算式128×6，45×16和128×16后，引導(dǎo)學(xué)生比較這三道算式，思考如何研究三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算。學(xué)生通過討論得出：可以結(jié)合三位數(shù)乘一位數(shù)及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法得到三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。因此，研究路徑便是：（1）交流128×6和45×16的意義并用豎式計(jì)算;（2）介紹計(jì)算過程及每一步計(jì)算結(jié)果所表示的意思，如45×16用16個(gè)位上的6和十位上的1分別與45相乘，得到270個(gè)一和45個(gè)十，再把兩步相乘結(jié)果相加;（3）總結(jié)提煉兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過程是“先分后合、兩乘一加”;（4）用“先分后合、幾乘一加”的步驟計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)，并解釋每一步算理。

規(guī)劃研究路徑讓學(xué)生的研究活動(dòng)有了明確的指向及清晰的操作方法，使學(xué)生的研究活動(dòng)有條不紊地進(jìn)行，提高了活動(dòng)的效率，也使學(xué)生的思維顯得有序列、有層次。

二、多維關(guān)聯(lián)，再現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系非常緊密，每一部分都不是孤立存在的，每一部分新知識(shí)都是前面知識(shí)的延續(xù)與發(fā)展，又是后面知識(shí)的基礎(chǔ)和鋪墊。但這些知識(shí)又因?yàn)閷W(xué)生的年齡特征與認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的影響被分散安排在不同年級(jí)、不同冊(cè)數(shù)、不同單元中，呈現(xiàn)出散點(diǎn)狀態(tài)。在教學(xué)中有必要站在整體角度，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生與形成過程，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)有意義的知識(shí)建構(gòu)。

1.由此及彼，厘清知識(shí)脈絡(luò)

由此及彼指的是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，不僅關(guān)注單個(gè)或者同類事物及其屬性本身，而且關(guān)注多個(gè)或者不同類型事物及其屬性之間的關(guān)系。”[2]讓學(xué)生由此及彼展開聯(lián)想和想象，可以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，厘清知識(shí)的脈絡(luò)，達(dá)到舉一反三的效果。

如學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”后，學(xué)生知道周長(zhǎng)表示“一周邊線的長(zhǎng)”，就能根據(jù)這樣的定義求長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓及不規(guī)則圖形等平面圖形的周長(zhǎng)，又由各種平面圖形的特殊性，總結(jié)出長(zhǎng)方形、正方形、圓形的周長(zhǎng)計(jì)算公式，類推出平行四邊形、等邊三角形、等腰梯形的周長(zhǎng)計(jì)算方法。

2.由表及里，理解知識(shí)本質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，選擇合適的直觀素材引導(dǎo)學(xué)生投入探究活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷觀察比較、猜測(cè)驗(yàn)證、分析推理、抽象概括的過程，不斷從眾多的直觀現(xiàn)象中抽象分離出共同屬性，建立對(duì)概念、規(guī)則、命題等正確認(rèn)識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì)。

如“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)，在探究例題 + 的計(jì)算結(jié)果時(shí)，教師放手讓學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)通過折紙、畫圖、化小數(shù)、通分等方法得到了結(jié)果是 ，再引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)折紙、畫圖、通分其實(shí)是相通的，都是為了將 轉(zhuǎn)化成 ，也就是將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再相加;接著通過一系列操作、計(jì)算發(fā)現(xiàn)用通分的方法將異分母分?jǐn)?shù)相加減轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)相加減更具有普適性。之所以通分成分母相同的分?jǐn)?shù)，是為了讓算式中的分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同。最后，結(jié)合整數(shù)、小數(shù)加減法的算理，溝通分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的聯(lián)系：相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減。由表及里，逐層推進(jìn)，將孤立的知識(shí)點(diǎn)納入到完備的知識(shí)系統(tǒng)中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.由目引綱，形成知識(shí)體系

這里所說的由目引綱是指通過對(duì)與某一知識(shí)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)的比較、列舉，而向前、后、左、右延伸，連線、結(jié)網(wǎng)、筑塊，從而形成層次分明、邏輯嚴(yán)密的知識(shí)體系。

如“圓面積計(jì)算”的教學(xué)，先讓學(xué)生回憶我們是如何研究平面圖形面積的，引發(fā)學(xué)生的思考，激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)使他們明確，以往平面圖形的面積計(jì)算都是將新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊的知識(shí)，通過尋找兩種圖形之間的關(guān)聯(lián)而得到新圖形的面積計(jì)算公式。接著讓學(xué)生選擇素材，小組合作分一分、拼一拼、算一算，把圓形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形計(jì)算面積。學(xué)生將圓形轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形、三角形并引入極限思想推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式。在一系列練習(xí)后提出問題：既然圓形面積計(jì)算公式也是通過轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形進(jìn)行推導(dǎo)，是否意味著這些平面圖形之間存在著一定的聯(lián)系？通過動(dòng)態(tài)演示、觀察比較，得到這些平面圖形都可以看成是特殊的梯形：平行四邊形可以看成上下底相等的特殊梯形;三角形可以看成上底為0的梯形;圓形轉(zhuǎn)化為近似長(zhǎng)方形，而長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，梯形面積計(jì)算公式適用于所學(xué)的所有平面圖形的面積計(jì)算。

學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中建立起聯(lián)系緊密、結(jié)構(gòu)合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，感受知識(shí)的整體與結(jié)構(gòu)、邏輯與關(guān)聯(lián)。長(zhǎng)此以往，內(nèi)化為學(xué)生的思維方式，思考問題就會(huì)更加全面理性，結(jié)構(gòu)性思維的養(yǎng)成也就水到渠成了。

三、回顧整理，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

布魯納認(rèn)為：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡(jiǎn)單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”[3]回顧整理，可以讓學(xué)生在理解、掌握知識(shí)的同時(shí)，更關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成過程，從而建構(gòu)并完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.探討結(jié)構(gòu)建構(gòu)過程

數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)是從觀察生活現(xiàn)象開始的，思考這些現(xiàn)象中存在的規(guī)律、現(xiàn)象背后所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以及探究規(guī)律、探尋本質(zhì)的過程，并通過數(shù)學(xué)語言有條理地表達(dá)出來，讓學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)放在知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程上，起到培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的作用。

如“間隔排列”的教學(xué)，在課的最后讓學(xué)生思考是如何開展研究活動(dòng)的，并用語言表達(dá)出來。當(dāng)學(xué)生表達(dá)不完整時(shí)，教師將研究歷程中的幾張關(guān)鍵圖片按序呈現(xiàn)在屏幕上，引導(dǎo)學(xué)生完整表達(dá)：（1）從禮盒圖發(fā)現(xiàn)紅花和黃花一個(gè)隔著一個(gè)排列;（2）在兔子樂園中認(rèn)識(shí)一一間隔排列規(guī)律，知道兩端相同，兩種物體數(shù)量相差1;（3）研究為什么每組兩種物體數(shù)量相差1，感悟一一對(duì)應(yīng)思想;（4）動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)兩端相同和兩端不同的區(qū)別;（5）回憶一一對(duì)應(yīng)方法在以前學(xué)習(xí)中的應(yīng)用;（6）呈現(xiàn)不同的封閉隊(duì)形并拉直，尋找與一一間隔排列兩端不同現(xiàn)象之間的異同點(diǎn)。

通過獨(dú)立思考后的交流與表達(dá)，梳理研究的過程與方法，整合研究的內(nèi)容，弄清知識(shí)的來龍去脈，溝通間隔排列與其他知識(shí)方法之間的縱橫聯(lián)系，感知知識(shí)的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)和整體融通，讓經(jīng)驗(yàn)在思考中獲得提升，讓思維在結(jié)構(gòu)中走向深刻。

2.經(jīng)歷結(jié)構(gòu)重建過程

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是對(duì)知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造。當(dāng)一節(jié)課、一個(gè)單元或一學(xué)期的課程即將結(jié)束時(shí)，需要讓學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行再創(chuàng)造，制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖便是一種再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)過程。讓學(xué)生回顧所學(xué)并根據(jù)自己的理解制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，不僅可以使學(xué)生再次體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的過程及前后知識(shí)之間的序列關(guān)系，而且是對(duì)客觀知識(shí)結(jié)構(gòu)的重建和對(duì)學(xué)生個(gè)體主觀認(rèn)知結(jié)構(gòu)的創(chuàng)造。

如在四年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”這一單元后，教師安排學(xué)生制作單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。有學(xué)生對(duì)例題的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行一一列舉，有學(xué)生圍繞單元知識(shí)重難點(diǎn)進(jìn)行制作，有學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)次序?qū)⒅R(shí)作成序列，有學(xué)生做成知識(shí)網(wǎng)狀圖。學(xué)生在制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的過程中讓內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維與外顯的實(shí)踐操作有機(jī)融合，將客觀存在的知識(shí)結(jié)構(gòu)依賴學(xué)生各自對(duì)知識(shí)的理解與內(nèi)化在頭腦中進(jìn)行主動(dòng)重建。通過制作知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，學(xué)生從對(duì)知識(shí)的直觀理解、點(diǎn)狀理解、淺層理解走向超越自我的關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解、整體性理解。再通過班級(jí)學(xué)生群體對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的分析、表達(dá)、交流、評(píng)價(jià)，不僅讓教師看到、聽到學(xué)生外化的思維，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也能糾正學(xué)生個(gè)體的錯(cuò)誤理解、彌補(bǔ)學(xué)生個(gè)體思維的不足，完善學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

培育結(jié)構(gòu)性思維，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)力生根、發(fā)芽、生長(zhǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的重要目標(biāo)，但結(jié)構(gòu)性思維不是靠一兩節(jié)課、一兩個(gè)學(xué)期的教學(xué)就能培育成的，而需要多次、反復(fù)、長(zhǎng)期的引導(dǎo)與點(diǎn)撥，讓學(xué)生在不斷累積、層級(jí)進(jìn)階的學(xué)習(xí)活動(dòng)中感悟結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、重建結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的過程，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，提升終身學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]