懸索橋吊索斷裂動力響應分析的有限元模擬方法研究

邱文亮，吳廣潤

（大連理工大學土木工程學院，遼寧大連 116024）

拉、吊索是纜索承重橋（斜拉橋、懸索橋以及中下承式拱橋）中最重要的承重構件，其基本力學性能和耐久性能對結構安全和正常使用產生巨大影響.拉、吊索通常設計有防護措施，具有較高的安全系數，但是橋梁在長期服役期間，拉、吊索出現病害進行維修更換的案例層出不窮，極端荷載作用下橋梁發生斷索的報道也屢見不鮮[1].例如，2011 年10 月，印度尼西亞Kutai Kartanegara 懸索橋一根吊索斷裂引發吊索連續斷裂，最后結構整體倒塌[2].事故發生時工人正在對吊索進行維護保養，造成11 人死亡、30 多人失蹤.2019 年10 月，臺灣宜蘭縣南方澳大橋一根吊索斷裂，引發結構劇烈振動和相鄰吊索連續斷裂，最后主梁整體崩塌[3].纜索承重橋拉、吊索突然斷裂后剩余結構的內力、變形和剛度將重分配，同時產生顯著的動力效應.合理地分析斷索事故對橋梁結構服役性能的影響，首先需要對斷索動力過程進行準確模擬.

現有規范針對橋梁斷索計算僅給出指導性規定，如美國后張法預應力協會（Post-Tensioning Institute，PTI）給出兩種斷索分析方法：一種是擬動力分析方法，該方法采用靜力分析方法加上1 個2.0 的動力放大系數；另一種是動力分析方法.國內已有研究發現，在擬動力分析中橋梁不同構件和截面使用相同動力放大系數不合理，動力分析計算出的結構斷索響應更能反映真實情況[4-8].吳慶雄等[9]通過接觸碰撞和單元刪除的方式進行了拱橋吊桿斷裂過程動力分析.曲兆樂等[10]對比了全動力分析方法和半動力分析方法兩種模擬斜拉橋拉索斷裂失效動力過程方法的特點.懸索橋與斜拉橋、拱橋的結構形式不同，在斷索動力分析中主纜振動和吊索沖擊作用均起到重要作用，斷索造成懸索橋連續倒塌及結構破壞機理也不同.此外，懸索橋斷索分析中涉及吊索斷裂模擬方式和影響結構動力響應的因素也有待進一步探究.

基于拆除構件法，本文詳述了瞬時剛度退化法、瞬時加載法以及等效卸載法，3 種模擬吊索斷裂動力過程的基本原理.以某自錨式混凝土懸索橋為工程背景，采用有限元軟件ABAQUS 建立了全橋模型，對懸索橋斷索動力分析方法和影響因素展開研究.

1 懸索橋斷索動力分析方法

拆除構件法又稱為變換荷載傳遞路徑法，廣泛應用于建筑結構構件失效和連續倒塌分析[11-12].該方法不考慮構件破壞原因，只關注構件失效后剩余結構響應.橋梁斷索后結構的初始響應由幾何突變后構件振動引起，基于拆除構件法懸索橋斷索有限元動力分析可以采用剛度退化法、瞬時加載法和等效卸載法.

1.1 剛度退化法

懸索橋是多自由度體系結構，其基本動力學平衡方程為：

式中：M 為結構質量矩陣；X 為結構位移矩陣；C（t）為結構阻尼矩陣，分析中采用線性瑞利阻尼；K（t）為結構總剛度矩陣，構件失效會導致K（t）改變；P（t）為施加在結構上的荷載矩陣.如圖1 所示，破斷拉索從開始失去內力到完全失去承載力所經歷的時間定義為斷索持續時間Δt.

圖1 結構整體剛度矩陣隨時間變化Fig.1 Change of structural stiffness during the cable rupture process

在有限元分析中，通過瞬時剛度退化法進行吊索斷裂模擬有兩種方式：一種是移除失效吊索；另一種是改變失效吊索剛度.無論采取哪種方式均能改變結構總剛度矩陣，使斷裂吊索的內力轉變成慣性力施加于剩余結構上，進而引起結構產生動力響應.

1.2 瞬時加載法和等效卸載法

與剛度退化法模擬吊索斷裂過程的機理不同，改變結構動力學平衡方程中荷載矩陣也可以模擬斷索動力過程.通過施加動荷載來進行懸索橋斷索動力分析有兩種方式[6]：一種是斷裂吊索依然保留在結構上的突加荷載法，如圖2（a）所示；另一種是移除斷裂吊索的等效荷載卸載法，如圖2（b）所示.

圖2 突加荷載法和等效荷載卸載法Fig.2 Demonstration of the instantaneously loading method and unloading equivalent force method

采用突加荷載法模擬吊索斷裂，首先在失效吊索兩端施加一對隨時間變化的拉力，記為F1（t），如圖3（a）所示.由于失效吊索仍保留在分析模型中，其拉力會隨著F1（t）的增長而增加，直至結構達到平衡狀態，此時吊索拉力等于所施加外力.采用等效荷載卸載模式模擬吊索斷裂，首先需要移除吊索，同時在移除吊索兩端施加一對與拉索內力大小相等方向相反的拉力，記為F2（t），如圖3（b）所示.等結構振動穩定后再將F2（t）減小為0.

圖3 施加荷載時程曲線Fig.3 Time-history curves of the applied load

懸索橋進行斷索動力分析時主纜振動的影響不可忽略，而斷索前主纜初始狀態直接影響斷索后主纜振動.瞬時加載法和等效卸載法兩種模式有各自的優點和局限性.瞬時加載法在全橋計算模型上保留了失效吊索，可以較真實地反映斷索前的狀態，但有限元模型中包含了斷索后結構中并不存在的單元，并且確定F1需要多次迭代.等效荷載卸載法在斷索分析時刪除了失效吊索，可以更好地捕獲斷裂后的結構狀態.

1.3 斷索動力響應的影響因素

懸索橋吊索斷裂引起結構響應的動力效應與Δt密切相關，從結構動力學基本知識可推斷，斷索后結構最大動力響應會隨著Δt 增大而減小.吊索斷裂伴隨著復雜的機械作用和內力重分配，引起吊索斷裂的原因不同（例如銹蝕、火災、車輛撞擊和爆炸），吊索斷裂過程中其拉力隨時間變化會有極大差異.吊索可能會在很短的時間內發生斷裂，吊索承載力會在瞬間喪失，吊索斷裂也可能是一個逐漸損失承載力的過程.為了描述斷索過程中吊索拉力隨時間變化的關系，假定吊索斷裂獨立于其誘發原因，通過Δt和吊索拉力損失函數lrel（t）描述吊索斷裂的不確定性[13].吊索拉力損失函數采用冪指數函數，數學表達式為：

式中：α 為損失函數指數因子.相同Δt 內吊索不同模式的斷裂過程可通過改變α 實現，如圖4 所示.當α=1 時，吊索內力損失函數為線性關系，內部鋼絲在Δt 內均勻地發生斷裂.

圖4 斷裂吊索拉力損失函數Fig.4 Tension loss function of the failed hanger

采用上述假定，失效拉索內力變化關系為：

式中：E（t0）為拉索彈性模量；A 為拉索面積.

已有橋梁斷索案例表明，斷裂吊索的破斷位置存在很大的不確定性，統計數據表明[14]：大部分拉、吊索斷裂部分集中在錨固區根部，少部分斷裂位置集中在索體.采用剛度退化法進行斷索分析時設定兩種工況：工況1 表示失效吊索單元全部刪除；工況2表示只將斷裂部位的吊索單元刪除.為了考慮同一根吊索斷裂位置對斷索后動力響應的影響，工況2劃分為3 種情形，如圖5 所示.

圖5 吊索破斷位置Fig.5 Failure position of the hanger

2 工程背景及有限元簡介

2.1 工程概況

選取某自錨式混凝土懸索橋為工程背景，該橋總寬度為27 m，計算跨徑為70 m+200 m+70 m，如圖6（a）所示.橋塔為“門”式鋼筋混凝土框架結構，索塔高54.5 m，寬30.6 m.主纜對稱布置，主跨矢跨比為1 ∶5.5，邊跨矢跨比為1 ∶15.7，吊索間距為5 m，全橋共130 根.主纜由32 根169φ5.2 mm 預制平行鋼絲索編排而成，吊索由127φ5.2 mm 平行高強鍍鋅鋼絲組成.主梁采用混凝土箱梁，單箱4 室如圖6（b）所示.梁高2.5 m，頂板厚0.23 m，底板厚0.22 m，中腹板厚0.35 m，邊腹板厚0.45 m.主纜和吊索采用高強鍍鋅鋼絲，極限強度為1 670 MPa，彈性模量為2×105MPa.主梁和橋塔采用C50 混凝土，軸心抗壓強度標準值為35 MPa，軸心抗拉強度標準值為3 MPa.

圖6 某混凝土自錨式懸索橋Fig.6 Geometry of a typical self-anchored suspension bridge

2.2 有限元模型

全橋有限元空間模型采用ABAQUS2016 建立，如圖7 所示.主梁、橫梁以及橋塔采用空間梁單元模擬，可考慮扭轉質量和扭轉剛度.主纜和吊索使用桁架單元模擬，可考慮纜索張力對其彎曲剛度的影響.為了更精確地計算主纜線形和考慮主纜局部振動影響，兩個吊索之間主纜劃分為4 個單元.吊索夾具使用質量單元建模，質量集中在夾具所在主纜節點上.考慮到索塔的群樁基礎對斷索分析影響極小，模型中索塔底部采用固結約束.依據梁底布置的支座類型，主梁通過限制自由度來施加邊界約束.分析模型基頻為0.41 Hz，振型特征是主梁一階對稱豎向彎曲，分析模型一階扭轉頻率為1.01 Hz.

圖7 全橋有限元空間模型Fig.7 Three-dimensional finite element（FE）model of the bridge

2.3 荷載和斷索工況

本研究中懸索橋進行斷索動力分析，主要關注斷索后結構動力響應，因此僅考慮結構恒荷載.加勁梁、橋塔、主纜和吊索的自重是通過將其橫截面積乘以密度自動算出.橋面上二期鋪裝和附屬物的荷載集度為108 kN/m，主纜上保護層的荷載集度為0.37 kN/m.1～9 號、57～65 號吊索夾具重量為12 kN，10～17 號、49～56 號吊索夾具重量為16 kN，18～48 號吊索夾具重量為10 kN.

公路橋涵設計通用規范（JTG D60—2015）規定，懸索橋任何一根吊索的斷裂都不應引起結構整體坍塌.近代懸索橋相鄰吊索的間距一般不大，在卡車碰撞和爆炸等極限情況下存在多根吊索同時斷裂的可能[15-16].本文考慮單根吊索和單邊兩根相鄰吊索同時斷裂兩種極限情況.為簡化分析將橋梁結構劃分為5個區域，如圖8 所示，各區域分別選取單根吊索和單邊相鄰兩根吊索進行斷索動力分析.

圖8 斷索工況Fig.8 Hanger-loss scenarios

3 分析結果

3.1 結構的斷索時程響應分析

基于剛度退化法，將失效吊索單元完全刪除（工況1），圖9 給出了7 號吊索斷裂后結構動力響應時程曲線.從結果可以看出，Δt 取0.001 s 吊索瞬間斷裂后結構響應劇烈波動，Δt 取0.1 s 斷索后結構動力響應極值顯著下降.如圖9（a）所示，7 號吊索瞬間斷裂，相鄰的6 號吊索應力最大值為826 MPa，達到了其初始值的2.11 倍，Δt 取0.1 s 時6 號吊索應力最大值下降607 MPa.如圖9（b）所示，7 號吊索瞬間斷裂后主梁彎矩最大值為17.2 MN·m，Δt 取0.1 s 主梁彎矩最大值下降7.6 MN·m.如圖9（c）所示，7 號吊索瞬間斷裂后主梁扭矩最大值為31.9 MN·m，Δt 取0.1 s 主梁扭矩最大值下降16.5 MN·m.

圖9 7 號吊索斷裂后結構動力響應時程曲線Fig.9 Time-history curves of structural dynamic responses subjected to the breakage of hanger 7

Δt 取0.001 s，采用剛度退化法模擬7 號吊索分別在工況1 和工況2 情況下斷裂，表1 給出了結構動力響應極值.結果表明，采用剛度退化法模擬斷索時，吊索單元是否全部刪除會影響結構斷索動力響應，通過刪除吊索斷裂部位處單元模擬斷索時同一吊索斷裂位置對動力響應影響不明顯.如表1 所示，工況2-1、工況2-2、工況2-3 下結構斷索動力響應極值基本相同，工況2 下吊索應力最大值在比工況1下的結果下降了約5%，主梁彎矩最大值增加了約5.8%，主梁扭矩最大值增加了約28.4%.

表1 7 號吊索在不同斷索工況下結構動力響應極值Tab.1 Structural maximum responses subjected to the sudden breakage of hanger 7 with different scenarios

Δt 取0.001 s，采用突加荷載法和等效卸載法模擬7 號吊索斷裂，圖10 給出了斷索后結構動力響應時程曲線.從圖10 中可以看出，突加荷載法計算出的吊索應力和主梁扭矩極值大于等效卸載法計算結果，突加荷載法計算出的主梁彎矩最大值小于等效卸載法計算結果.如圖10 所示，采用突加荷載法和等效卸載法計算出的吊索應力最大值分別為952 MPa 和826 MPa，主梁彎矩最大值分別為11.3 MN·m和17.2 MN·m，主梁扭矩分別為39.2 MN·m 和31.9 MN·m.結合表1 可以看出，等效卸載法與剛度退化法（工況1）計算結果相同.

3.2 Δt 和lrel（t）對結構響應動力效應的影響

為定量描述Δt 對結構響應動力效應的影響，定義動力放大系數（η），數學表達式為：

式中：S0表示斷索前所關注構件內力（應力、剪力、彎矩或位移）；Sd表示斷索后構件動力響應極值；Ss表示斷索后結構處于穩定狀態時構件內力.

在敏感性分析中，設定Δt 位于0.001 s 和10 s之間.采用剛度退化法（工況1）模擬7 號吊索斷裂，圖11 給出了斷索持續時間與結構響應（相鄰吊索應力、斷索位置處主梁彎矩和扭矩）動力放大系數之間的關系.可以看出，動力放大系數隨Δt 的增大而減小.相應的曲線變化規律可以劃分為3 個階段：Δt ＜0.01 s（1/240 的結構振動基本周期）時，η 的數值達到最大且幾乎保持不變，結構響應的動力效應達到最大；Δt 從0.01 s 增加到1 s 時，η 急劇下降，結構響應動力效應隨之減弱；Δt 大于＞1 s（2/5 的結構振動基本周期）時，η 逐漸接近于1，此時可忽略結構響應的動力效應.

圖11 斷索持續時間與動力放大系數的關系Fig.11 Relation between Δt and DAF

采用等效卸載法模擬7 號吊索斷裂，圖12 給出了吊索拉力損失函數指數因子與結構響應動力放大系數之間的關系.從圖12 可以看出，損失函數指數因子α 顯著影響結構斷索響應動力效應，并且影響程度與Δt 密切相關.α 取1 時，結構斷索響應的動力效應最小.結構Δt＜0.01 s 時，α 對結構斷索響應動力放大系數幾乎沒有影響；Δt 在0.01～0.1 s 之間時，α 對結構斷索響應動力放大系數影響程度逐漸增強；當Δt 從0.1 s 增加到5 s 時，α 對結構斷索響應動力放大系數影響程度逐漸減弱.如圖12 所示，Δt 取0.1 s 時，隨著α 從0.01 增加到10，吊索應力η 先從1.89 減小到1.24，再增加到2.24，主梁彎矩η 從3.42減小到1.75，隨后增加到3.81，主梁扭矩η 先從2.19減小到1.33，再增加到2.34.

圖12 吊索拉力損失函數指數因子與動力放大系數關系Fig.12 Relation between α and η

3.3 吊索斷裂位置和根數對斷索動力響應的影響

依據圖8 中劃分的工況，圖13～圖15 給出了吊索斷裂位置和根數對結構動力響應的影響.圖13 給出了不同位置單根吊索以及單邊相鄰兩根吊索瞬間斷裂后，剩余吊索應力最大值和動力放大系數.結果表明，長吊索（區域3 位置處吊索）應力最大值小于短吊索（區域1 或區域5 位置處吊索）應力最大值.兩根吊索同時斷裂比單根吊索斷裂引起的吊索動力響應最大值有大幅度增長，但對應的動力放大系數有所下降.如圖13（a）所示，單根吊索斷裂后吊索應力最大值為738～900 MPa，單邊相鄰兩根吊索同時斷裂后，剩余吊索應力最大值為1 041～1 271 MPa.如圖13（b）所示，單根吊索斷裂引起吊索應力動力放大系數為2.2～2.55，兩根吊索同時斷裂引起吊索應力放大系數為2.12～2.25.

圖13 斷索根數和位置對吊索應力影響Fig.13 Relation between the number and location of the failed hanger the dynamic response of hangers'tensile stress

圖14 為不同位置單根吊索以及單邊相鄰兩根吊索瞬間斷裂后，主梁彎矩極值和動力放大系數.結果表明，斷索引起主梁彎矩動力放大系數波動劇烈，邊跨跨中（區域2）和中跨跨中（區域5 處）位置處的吊索斷裂后主梁彎矩較大.如圖14（a）所示，區域2位置處，單根和兩根吊索瞬間斷裂引起的主梁彎矩極值分別為17.2 MN·m 和18.6 MN·m.區域5 位置處，單根和兩根吊索瞬間斷裂引起的主梁彎矩極值分別為16.6 MN·m 和32.3 MN·m.如圖14（b）所示，單根吊索斷裂后主梁彎矩動力放大系數在2.24～4.16 之間，兩根吊索后主梁彎矩動力放大系數處于1.65～3.02 之間.

圖14 斷索根數和位置對主梁彎矩影響Fig.14 Relation between the number and location of the failed hanger and the dynamic response of girder's bending moment

圖15 為不同位置單根吊索以及單邊相鄰兩根吊索瞬間斷裂后主梁扭矩極值和動力放大系數.結果表明，斷索引起的主梁扭矩不可忽視，兩根吊索同時斷裂比單根吊索斷裂引起的主梁扭矩最大值有大幅度增長.如圖15（a）所示，單根吊索斷裂后主梁最大彎矩為25.9～31.9 MN·m，兩根吊索同時斷裂后主梁最大彎矩為47.9～62.1 MN·m.如圖15（b）所示，單根吊索斷裂后主梁扭矩動力放大系數為2.02～2.43之間，兩根吊索同時斷裂后主梁彎矩動力放大系數為1.86～2.37 之間.

圖15 斷索根數和位置對主梁扭矩影響Fig.15 Relation between the number and location of the failed hanger and the girder’s torsional moment

4 結論

通過對懸索橋斷索動力分析的有限元模擬方法展開研究，得到以下結論：

1）剛度退化法、突加荷載法和等效卸載法3 種模擬懸索橋吊索斷裂過程的方法，每種方法都有其優點和局限性.進行懸索橋斷索動力分析時，剛度退化法簡單有效；等效卸載法既可真實反映斷索前的結構狀態，又可較好地捕獲斷索后結構響應；突加荷載法施加的外荷載需要多次迭代確定，分析模型中存在的斷裂吊索對計算結果有一定影響.

2）懸索橋斷索響應動力效應與Δt 以及lrel（t）密切相關.α 取1，吊索拉力損失函數是線性關系，結構斷索響應動態效應最小.α ＜1 時，結構斷索響應的動態效應最小值隨著α 增加而減小.α ＞1 時，結構斷索響應的動態效應最小值隨著α 的增加而增加.吊索拉力損失函數為線性關系，Δt ＜0.01 s（1/240的結構振動基本周期）時，結構斷索響應的動態效應達到最大且趨于穩定，Δt ＞1 s（2/5 的結構振動基本周期）時，結構響應的動態效應可忽略不計.

3）同一吊索斷裂位置對結構動力響應的極值幾乎沒有影響，不同吊索斷索位置和根數顯著影響懸索橋的動力響應.單邊相鄰兩根吊索同時斷裂比單根吊索斷裂引起的結構動力響應更加劇烈，但對應的結構響應動力放大系數有所降低.