復變函數跨學科融合教學探索

郭淑妹 李新娜 郭 杰 (戰略支援部隊信息工程大學基礎部，河南 鄭州 450001)

當今社會，各行各業所需要處理的問題越來越復雜，專業知識之間的聯系也越來越緊密.但是，學生在學習基礎知識的時候，不知道怎樣在專業知識上進行應用，學習起來比較枯燥無味，易失去學習興趣，在專業課上需要用的時候就會感覺“書到用時方恨少”，不能很好地進行應用，這樣不利于學生的長遠發展.一些大學教育越來越專業化和精細化，專業與專業之間慢慢形成了一堵墻，且越往深處發展這面墻就越高，墻內的學生就越難看到專業之外的世界.如今，專業課程的應用也面臨著很多挑戰，因為現在一些前沿的科技發展成果對綜合性知識的需求越來越高，若學科只是在專業知識的基礎上往前發展，是不能走遠的，所以專業學科間的相互融合是科學發展的必然趨勢.所以，培養復合型人才不但契合當今社會發展對各行業人才的根本需求，也體現了高等教育對時代發展的未雨綢繆.

復變函數作為一種強大的工具，廣泛應用在眾多的工程領域.復變函數是我校二年級人工智能、大數據、信息工程等專業學生的必修課.教師如果在課堂教學過程中只注重性質和定理的推導和證明，而忽略復變函數與各專業學科的交叉與融合，學生學習的時候就會覺得理論性太強，考試后也會忘了一部分，在需要應用的時候又會束手束腳，達不到開設這門課程的教學目標，也不利于學校培養應用型、復合型、創新型人才.

在復變函數的教學中，很多教師都在積極進行復變函數的教學改革，試圖改變傳統的教學方式，促進課堂教學質量的提升.在現在的高校教學中，很多教師按照以學生為中心的教學理念進行教學，經過幾年的教學實踐取得了不錯的成果.經過發展和完善，教學理念逐步轉化為以學生的學習為中心、以學生的長遠發展為中心、以學生的學習效果為中心.基于此教學理念，筆者積極探索復變函數課程的教學改革，探究復變函數課程與其他學科的交叉融合點，在教學實踐中將實際案例融入課程教學，促使學生對復變函數知識在專業方面的應用進行探索與思考，解決學生在復變函數應用方面的困惑，提高學生的學習興趣，促進課堂教學質量的提高，使學生獲得發展.

一、課前了解學生的知識背景和專業課程設置

基礎課教師應秉承以學生的學習為中心的教學理念，在設計課堂教學時提前了解學生的知識背景和專業背景.有些省份的學生在高中時學習了一些復數的初步計算知識，有些省份的高中對復數運算沒有做要求，學生為了應試也沒有認真學習高考不涉及的內容，對于復變函數知識相當于沒有接觸.教師了解了學生的知識背景之后就可以在教學中對學生已學知識不講或者少講，對于學生沒有接觸過的新知識就細講和慢講，這樣就可以更清晰地進行教學設計.不同專業的學生所學專業課程不一樣，對于復變函數知識的應用也有所不同，教師就不能千篇一律地進行教學.所以，教師必須先了解學生的知識背景和專業課程，再進行教學設計.基礎課教師不涉及專業課程的教學，但可通過與專業課教師進行座談了解學生在后續課程中所要學習的專業課程，以及復變函數知識在專業課中的應用，以在進行教學設計時清楚專業課程和復變函數的交叉點，對專業知識和復變函數知識進行融合，有針對性地設計教學，根據學生的專業設計不同的教學案例，促使學生進行探究與思考.

二、針對不同專業學生設計不同的教學案例

教師應以學生的長遠發展為中心，在教學的過程中注重學生在后續專業課中的學習和走上工作崗位后的發展.為了讓學生對復變函數知識有很好地理解和掌握，將來能夠更好地學以致用，教學案例的選取應貼近學生專業的前沿，使學生感受復變函數的強大作用和魅力，激發學生學習和探究的熱情，培養他們的創新能力.

比如，在各專業中應用最多的傅里葉變換.傅里葉級數是高等數學課程的內容，在復變函數中學習了歐拉公式之后，經過推導可以得到傅里葉變換，當傅里葉級數的周期為無窮大時就變成了傅里葉變換，二者的關系是由歐拉公式聯系起來的.傅里葉變換在數字信號處理、圖像處理、語音識別等領域具有重要的應用.在工程領域的應用，比較常見的是在信號傳輸過程中，先對信號施行傅里葉變換，由高低頻信息找到最合適的消噪方法，即可以去除信號中的噪聲，得到穩定的信號.

對于通信專業的學生來說，在學習中需要實現對信號的濾波、調制和抽樣.信號經過濾波，可由低頻成分調制高頻，經過頻譜轉移，可以減少碼之間的串擾，提高信號的抗噪聲性能，有益于信號的遠距離傳輸.教師在課堂上可舉2010年第19屆世界杯的例子，當時是在南非舉行，南非人的傳統音樂聲音比較吵，轉播時音效不會太好，如果對現場的音頻做傅里葉變換，就會得到一個展開式，然后找出背景聲音的特征頻率，去掉特征頻率的正弦函數，再還原數據，就實現了沒有嘈雜的背景音樂的現場音效.

對于人工智能專業的學生來說，對圖像的處理越來越智能化，應用傅里葉變換的機會也會越來越多.以紋理圖像的應用為例，將一幅精細的圖像經過低通濾波器進行變換，那么圖像經過傅里葉變換后就只剩下輪廓.現在很多女生經常用到的美顏相機就是這個原理，用傅里葉變換去掉了臉上的斑斑點點，從而變得白皙干凈.同樣，我們也可以使用濾波器恢復圖像，使其達到某個想要的效果，這個原理主要應用于醫療，用來診斷皮膚紋理的病變.

對于大學物理課程，數學課程與其更是緊密相連.復數在電學與場論中具有廣泛的應用，如復數電流、歐姆定律的復數形式、復阻抗等.研究液體對平板的繞流難題，在學習復變函數之后也能變成易解決的問題.復變函數中重要的解析函數在物理中常用來表示無源、無旋向量場.在流量、旋量、線流源、線渦源、偶極子、復勢、電力線方程求解等位線方程和負電位均有應用，并且物理上比較有名的電荷守恒定理就相當于留數定理.

復變函數知識在描述精細的原子結構方面也有應用.傳統的量子力學利用薛定諤方程，在研究氫原子、堿金屬原子和氦原子的基礎上，給出了電子的四個量子數，解釋了原子光譜.但是，薛定諤方程只有在幾個特殊情形下才可以求出方程的解析解和精確解，對于多體系統方程，一般是不能求解的.所以，利用薛定諤方程并不能完整、嚴格地給出電子的四個量子數以及解釋原子光譜.

二次互反律、Gauss-Bonnet公式、Atiyah-Singer指標定理的證明把許多重要的數學結構聯系起來，推動了數學、物理學和自然科學的發展.科學家把數學和力學中的思想方法應用到物理學中，利用新的數學模式研究微觀原子系統.首先，利用復變函數中多值函數的冪函數和對數函數的周期結構(這是實數范圍內函數不具有的性質)，給出了電子的主量子數、角量子數、磁量子數和自旋量子數；然后，修正了舊量子論中的量子化規則；最后，給出了磁通量子化規則.

復變函數在代數中也具有一定的應用.代數課程里，代數基本定理是：任何次數n≥1的復系數多項式f(z)=a0zn+a1zn-1+…+an(a0≠0)在復系數域中至少有一個根.用純代數的方法是很難證明這個定理的，并且很多科學家都認為這種證明并不存在.直到現在，該定理也沒有純代數方法的證明.而當復變函數和拓撲學發展后，其證明就簡單多了，可以利用柯西積分定理、劉維爾定理、儒歇定理、最大模定理、最小模定理進行證明，證明方法這里不再贅述.

三、布置與專業相關的實驗題目和小論文作業

教師應以學生的學習效果為中心，在學生學習過復變函數理論課之后布置實驗題目，利用數學實驗將數學知識可視化、系統化和實用化，強化學習效果.布置實驗題目包括將復數的運算、復變函數的積分、復變函數洛朗級數與泰勒級數的展開、傅里葉變換等可視化.小論文作業要求學生寫對于復變函數貼近課程專業的理解或感悟，或者搜集和整理復變函數知識在專業課程中的一些應用.

在學習復變函數的過程中，一些學生認為復變函數就是高等數學所學知識在復數域上的推廣，學習積極性不高.而復變函數在課程結構上確實幾乎與實函數相同，復變函數的概念都是從高等數學實函數的概念模仿而來，再逐漸發展為成熟的理論，所以概念之間具有很多的共性.學生通過將復變函數的可視化與實函數進行對比，會對復變函數獨特的性質有更深刻的理解.比如，復指數函數具有實指數函數的性質，但是它又是一個周期函數，這是實函數不具有的，正是由于它的周期性，所以才使得復變函數在工程上有許多應用.

布置實驗題目和小論文作業，可讓學生通過完成作業對復變函數的性質和應用有進一步的了解，對數學概念的本質和蘊含在數學理論中的思維方法和數學思想在潛移默化中進行沉淀，使數學素養有所提高.同時，教師通過批改學生的小論文，也能促使自己專業知識的提升，從而達到教學相長的效果.

四、引入過程性考核

基于學習的持續性和應用性，我們應改進期末考試一次成績就決定學生學習效果的情況，引入形成性評價，注重對學生學習過程的考核，防止學生突擊復習，考完就忘.過程性考核可逐漸改變學生對大學考試的認知，使其認識到學習一門數學課程是掌握一種數學工具，是培養理性思維的重要載體，是接受科學美感熏陶的一個途徑.過程性考核包括平時考核和期末考核：平時考核包括平時作業、測驗、章節小結、實驗和小論文，共占40%；期末考試成績占60%.實驗和小論文在過程性考核中所占比例為25%.將實驗和小論文加入過程性考核中，能引起學生重視復變函數與其他學科的融合.在平時的教學過程中，教師還要指導學生閱讀和觀看相關專業中有關復變函數的資料，并進行整理，對于學生提出的問題，應引導學生一步步深入探究，對于學生疑惑的問題，應與學生共同探討，積極熱心地為學生解答.

五、利用網上資源學習學科交叉點

現在互聯網資源很豐富，復變函數課程的教學課時又有限，課堂教學在有限的時間內并不能涵蓋所有知識點，所以教師可以充分利用網絡資源，讓學生把握碎片化時間學習復變函數與專業學科的交叉點，豐富知識儲備，開闊眼界.學生在空閑時間主動學習的積極性一般并不是很高，所以教師可以給學生推薦年輕人比較喜歡的嗶哩嗶哩網站，建議他們觀看《復變函數與場論》《數字信號處理》《數字圖像處理》《信號與系統》等課程里有關傅里葉變換的內容，使學生對學科融合有更直觀的了解.同時，教師可以引導學生觀看物理引擎動態演示傅里葉變換、看得見的量子力學等視頻，激發他們的學習興趣，促使他們提升專業認同感，促進其自主性學習能力的提高.

在科技飛速發展的時代，各個工程領域的發展都不能繞過數學，數學算法的改進是各行業主要的攻堅對象.復變函數作為一門數學基礎課程，其中的理論和方法為多種行業的工程師提供了解決科學問題的新途徑，無論是歐拉公式，還是復變函數的解析函數、留數定理、共形映射等，都為解決非復領域上的問題提供了全新的思路與方法.復變函數在發展的過程中既吸取了其他諸多相關學科的精華，又被多個相關學科所運用，進而促進各學科共同發展.所以，教師在教學中應注重復變函數與其他學科的融合，以培養具有扎實基礎、寬廣知識、過硬素質的復合型人才，使其面對社會的各種復雜問題時具有科學創新的解決方法.這是復變函數課程在以后的教學改革中需要注重的地方，也是高校應堅守的培養復合型人才的教育理念.