淺談初中生數學逆向思維能力的培養

◎陳杰鋒 (揚州市江都區空港中學,江蘇 揚州 225235)

逆向思維又稱為求異思維，包括但不單指由結果到原因的反向思維，所有與人的常規習慣性思維不同的思維活動都可以視為是逆向思維.我們常說要培養學生的創新思維，而其實大多數的創新思維都是以逆向思維為途徑來完成的.在初中數學教學中培養學生的逆向思維，無論是從學科屬性上，還是從學生發展上，或是從教學質效的追求上，都具有積極且重要的意義，應得到教師的重視和積極落實.而同時我們也要意識到，培養學生的逆向思維比起培養其順向思維要難得多，這需要教師尊重學生思維構建的規律，把握好逆向思維培養的原則，并設計實施有效的培養策略.

一、培養逆向思維能力的意義

第一，從數學學科的屬性上看，數學被稱為“思維體操”，可知數學是依靠思維來研究、理解、學習和應用的學科.沒有對應的思維能力，顯然是既學不好數學，也用不好數學的.而思維在路徑上分就有順向和逆向兩類，順向思維就是人的習慣性思維，培養難度不大，或者說基本不用專項培養.而逆向思維是反習慣的，形成難度較大，應成為培養的重點.

第二，從學生的素養發展上看，初中階段是學生抽象思維、邏輯思維發展的黃金期.在這個階段之前，學生主要是發展直觀感性思維，抽象思維則主要是在初中階段發展成型的.而逆向思維則是抽象思維中的重要分支.在這個階段培養學生的逆向思維，對其長遠的學習發展具有奠基意義.

第三，我們反復強調應培養學生的創造能力，正如開篇所言，人的大部分創新、創造，都是以逆向思維為途徑來完成的.因而，培養學生的創新能力、創造意識，就離不開培養逆向思維這個著力點.

第四，教師都有這樣的經驗：我們教學生知識，他們都能夠理解和接收，掌握得不扎實，不是隨學隨忘，就是不久即忘.而逆向思維具有新鮮感和較強的“刺激性”，當我們在引導學生從逆向推導或解析知識的時候，可以給學生留下深刻的印象，使之較牢固地掌握知識.而且，從順、逆兩個方向學習，也使之更深刻地理解知識.

第五，實踐應用能力及解決問題能力也是當前數學教學的重點方向.而實踐的多樣性和問題的復雜性，往往不是使用習慣性思維能夠解決的，逆向思維通常是解決問題和實踐數學的常用思維方法.比如在解析幾何問題中，最常用的畫輔助線、點的方法，其實就是逆向思維——使本來復雜的圖形更加復雜，反而使解決問題變得簡明.

由上可知，培養學生逆向思維具有多元價值，事關數學的學與用，也影響學生的成長發展.

二、培養逆向思維能力的原則

1.生為主體

思維能力是一種內在品質，逆向思維當然也不例外.作為內在品質的一種素養，其形成和發展規律是與已有知識的習得不一樣的.雖然說我們現在反對直接向學生灌輸知識，但其實從傳統的教學方式上看，知識確實是可以通過這種硬教的方式傳遞給學生的.但逆向思維則大多不是通過聽教師講就可以發展起來的，而是需要學生自己經過專項的思維訓練自我構建起來的.所以培養學生的逆向思維，教師首先要把握好師生的角色定位，自己作為組織者、引導者和服務者，而將學生作為學習行為主體，給他們思考的機會和平臺.

2.引思結合

逆向思維是可以因生活經歷而無師自建的.比如司馬光砸缸，司馬光那么小的年齡顯然沒有接受過專項的逆向思維訓練，但他能夠打破常規思路去解決問題，這種逆向思維能力大概是出于生活經驗的天然積累.但是，完全靠經歷去天然形成逆向思維能力，顯然“成才率”過低.真正“天生”具有逆向思維且能夠運用于實踐的，不說是“鳳毛麟角”，也是十分難得.這當然不是我們教師所希望得到的結果.教師的愿望，是通過自己的教育活動，使所有的學生都具有逆向思維意識和能力.要達到這個目標，就不能完全依賴于學生的自主、非自覺發展，而是教師有意識、有計劃地對學生施加引導，把他們帶入逆向思維的環境中去進行訓練，從而有效率、成系統地發展逆向思維.

三、培養逆向思維能力的策略

1.從意識入手

意識是行為的驅動，我們培養學生的逆向思維是為了讓他們用這種能力去服務學習和實踐，如果學生沒有意識到逆向思維的存在、不知道逆向思維的效用，那么自然也就不會在遇到問題時有意想到用逆向思維去解決問題.所以，培養學生逆向思維的第一步是幫助他們建立意識.方法也很簡單，就是以實際的、有趣的逆向思維案例來使學生知道逆向思維的存在并了解其“威力”.比如給學生講：有位大媽去市場買蘋果，稱了三個蘋果，小販說“1斤半，7.5元”，大媽一聽，就知道小販肯定是虛報斤秤了，但自己又沒法證明，于是她說，“太多了，去掉那個最大的蘋果吧”.小販去掉一個大蘋果，再一稱，說“1斤2倆，6元”.大媽一笑，拿起剛才拿出來的大蘋果，“我要這個”，說完付給小販1.5元.學生們聽這樣的故事，哈哈一樂.教師平時多給學生講一些這樣的案例，學生的逆向思維意識就會建立起來了.

2.多互動交流

人的思維能力有差異，有的學生思維開闊，訓練逆向思維比較容易，有的學生則思維比較僵化，在訓練逆向思維的時候經常卡殼.特別是初期對學生進行逆向思維訓練的時候，這種思維差異比較明顯.這樣有很多學生經常跟不上練習的節奏，每次都是最后“收割”別人的現成答案.其逆向思維訓練的效果就比較差.為了保證大多數學生都有效參與訓練，教師可以在教學中采用開放的形式，允許和鼓勵學生進行自由交流互動.這樣一些思維能力水平低的學生往往會得到其他同學的一些啟示，從而打開思路.慢慢地，也能夠摸索出一些逆向思維的規律，逐漸拓寬思維空間.

比如問學生，“哪些時刻鐘面角為30°、60°、90°？”大多學生是從表針的組合形態上去順向思考，很快就“得意洋洋”地答出“11點和1點、10點和2點、9點和3點”這組答案.而思維較寬的學生會從刻度上去思考，發現“時針每轉一圈，都有兩次滿足問題中的幾個角度(這涉及了行程追及問題，可建議有興趣的學生去算)”.因為鼓勵學生自由交流，這些學生就會起到對其他同學的思維激活作用，使本來要停止的探究繼續下去.

3.分類型引導

逆向思維并不單純是指反向思維，對于所有非習慣性思維，我們都將之歸類于逆向思維.那么，逆向思維的類型或路徑就有很多種，既然我們是想較系統地培養學生逆向思維，那么就不應采取那種比較隨機的培養方法，任由學生的思維自由發揮，而是將幾種與數學關聯度較高的逆向思維類型有計劃、有意識地對學生進行引導，使之接觸并掌握這些不同類型的逆向思維方法，從而更有效地去主動控制和使用逆向思維解決問題.

與數學學習和運用相關度比較高的幾種逆向思維類型有：方位對換(如里和外、上和下、左和右、前和后、頭和尾等，與幾何類知識的對應度比較高)、屬性遷移、因果逆向、拓展互補.而心理逆向、性格品質逆向思維等，與數學的相關度不高.

4.結合新授課

前面分析逆向思維的意義時，說到培養學生逆向思維可以提升其掌握知識的深度和牢固度.這主要就是指在新授課的時候，教師帶領學生采用逆向學習法.一般情況我們是帶領學生(或教師直接講授)順向推導，由數學現象、案例等一步一步歸納、提煉出數學定理或公式等.而逆向學習，則是先直接把定理等知識結果擺出來，然后帶領學生去反推或證偽.如果證偽失敗，那么就證明定理或公式是正確的.這種教學方法，既可以訓練學生的逆向思維，又可以起到深化學習的目的.

比如有理數的混合運算，教師直接告訴學生其運算次序是先乘方，再乘除，最后加減，有括號應先進行括號內的運算.然后，給學生幾道練習題，讓他們進行驗證，“如果不按這個次序去計算，答案是否一致？是否有更合理的運算次序？”學生經歷了“亂序”計算體驗之后，最終會認同并牢固記住這個運算次序，其逆向思維也同時得到了體驗性訓練.

5.重實踐訓練

逆向思維除了可提升學生的學習質效外，更重要的培養價值在于提升其解決實際問題的能力.而要使培養學生逆向思維的成果遷移為真正的“實戰”力，其實最好的方法就是多給學生在實踐中使用逆向思維解決問題的機會.比如在帶領學生學習“正數和負數”的時候，我們習慣用溫度計來讓學生直觀地感知0值和正數、負數.而筆者給學生設置了這樣一個問題場景：一個食品冷庫，用一個零下20 ℃到120 ℃范圍的溫度計監控溫度.但工作人員不小心把水銀管和刻度尺錯位了，無法正確判斷溫度.此時，不能很快購來新的溫度計.那么，有什么辦法可以大概修復這個溫度計，使之能夠臨時使用呢？這個實踐問題，考驗學生能否由懂得讀取正負數，變為由定溫(如人的體溫、冰或開水)倒推0值.其實，很多生活實踐問題都具有訓練逆向思維的作用.比如“某單位的日銷售統計表有一個數值被墨水污染了，你能幫助他們恢復嗎？”讓學生使用代數知識進行逆運算.把學生放在實踐情境中去訓練其逆向思維，可以高效實現能力的實用性遷移.

綜上所述，從數學的屬性上、學生的發展上及教學的質效上考慮，培養學生逆向思維能力具有多種積極意義.培養初中學生的數學逆向思維能力，應遵循以學生為主體、引導和思維訓練相結合的原則.在策略上，可注重從意識培養入手，鼓勵互動交流，分類系統導，結合新授課，并重視實踐情境訓練.