振動運輸機系統的動力學特性研究*

李雄兵，張紅兵，陳 寧

(蘭州交通大學，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

振動運輸機廣泛使用在各種工業領域，利用激振力與摩擦力使物料定向移動，并且在移動過程中通過振動增加物料的松散度以便后續加工處理[1]。肖雄、余佑林等人對HZY型振動運輸機正確的激振方式做了研究，分析了振動的規律以及產生扭轉振動的原因[2]。Han I等人對振動運輸機的法向動力學行為做了研究，發現在法向方向具有非常復雜行為變化并且存在混沌分岔現象[3]。

振動運輸機接觸面的法向運動可以看作為一個塑性碰撞系統中的一類，而塑性碰撞系統也廣泛存在各種機械設備中。羅冠煒等人對單自由度和雙自由度塑性碰撞振動系統的動力學行為進行了研究，發現了塑性碰撞系統的Poincaré映射具有擦邊奇異性，分析了沖擊振動系統的分段性、掠動奇點和各種參數對系統動力學的影響[4-6]。

振動運輸機接觸面與物料間的碰撞也可看作為一個碰摩系統，目前關于碰摩系統的研究成果也較多。翟紅梅、董明晶、段杰等人考慮了沖擊狀態下摩檫力的影響，認為切向的沖量變化量和法向沖量變化量比值為常數，反映了碰撞過程中法向運動對切向運動的影響[7-9]。Arne Nordmark等人分析了初始條件和參數值開放區域之間邊界的存在，對應不同形式的沖擊規律，研究了沖擊規律的光滑性[10-11]。

筆者將在基于完全塑性碰撞的假設下，考慮發生塑性碰撞時振子在切向的動量傳遞量受到法向初始狀態和切向初始狀態共同制約，針對具有塑性碰撞的振動運輸機系統，通過數值仿真分析系統參數對系統動力學行為的影響，最后探討系統控制參數的變化對系統的局部分岔以及通往混沌道路的影響。

1 力學模型及其運動微分方程

振動運輸機力學模型如圖1所示，其中質量體M1表示振動運輸機的承載槽質量，在此認為機架完全固定，M2表示承載槽上物料的總質量；KX和KY分別為承載槽和機架支架切向和法向的彈性連結剛度，CX和CY分別表示阻尼；FY表示物料和承載槽底部所構成的摩擦副正壓力，FZ表示物料和承載槽側壁所構成摩擦副正壓力的2倍；P為作用在承載槽上的激振力，θ為激振力P和水平方向夾角，G表示重力加速度，μ表示物料和承載槽之間的摩擦系數。

圖1 振動運輸機力學模型

振動運輸機在非碰撞沖擊階段的系統微分方程統一表達式如下：

(1)

其中FY、FZ、FY1、A的值為：

取無量綱量：

Ωi=ωIΩ；i=X,Y

則系統的無量綱運動微分方程為：

(2)

其中γ為M2與M1質量比，即物料的質量占比，Ωi和ξi分別為系統切向和法向的固有頻率和阻尼系數，A，a為保證質量塊M2可以起拋的最小激振力，α、β分別為無量綱比例系數，α可表征切向拋擲指數，β可表征法向拋擲指數。

考慮摩擦的Stribeck效應并利用雙正切函數進行平滑處理，修正后摩擦系數的數學模型如公式(3)所示[12-14]。

μ=tanh(σ)[μs+(μs-μk)e-|δ|γ]

(3)

根據文獻[3]經驗可取摩擦模型參數：

σ=200；γ=2；δ=4.6

2 Poincaré映射與碰撞分析

2.1 建立Poincaré映射

振動運輸機系統在法向一般會有3種運動狀態，分別為接觸狀態、拋擲狀態和沖擊狀態，分別定義為P1、P2和P3，其Poincaré映射與之相同。定義系統狀態空間R5=spane(y1,y1′,y2,y2′，τ)，在R5中定義系統不同狀態間的轉折界面Σ。

Σ1={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′=y1′;

fy1>0∪fy1=0，fy1′>0}

Σ2={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′=y2′;

fy1=0;fy1′<0}

Σ3={(y1,y1′,y2,y2′，τ)|y1=y2;y1′>y2′}

接觸狀態P1的起始條件滿足Yn∈Σ1，終止條件滿足Yn+1∈Σ2，則在該階段的Poincaré映射可表示為Yn+1=P1·Yn。

拋擲狀態P2的起始條件滿足Yn∈Σ2，終止條件滿足Yn+1∈Σ3，與該過程相對應Poincaré子映射可表述為Yn+1=P2·Yn。

沖擊狀態P3的起始條件條件滿足Yn∈Σ3，終止條件需要滿足Yn+1∈Σ1∪Σ2，該過程對應Poincaré子映射Yn+1=P3·Yn。系統中可能存在的基本復合映射組合有：

{Yn=P1·Yn-1|?n>0,Yn∈?;Yn-1??}

{Yn=P3·P2·P1·Yn-1}{Yn=P3·P2·Yn-1}

當法向拋擲指數β<1時，物料無法拋起，系統始終處于P1接觸狀態，Yn-1不能穿越Σ2截面過渡到P2拋擲狀態，導致Yn不存在；當拋擲指數β>1時，物料可以起拋，發生起拋之后系統進入P2狀態，在重力的作用下必定存在碰撞沖擊P3狀態。所以當物料可以起拋時，系統中存在接觸-拋擲-沖擊-接觸和沖擊-拋擲-沖擊的基本狀態循環，該系統所發生的全部過程都是上述三種基本過程的特定組合。因此此可以將碰撞沖擊前的狀態作為Poincaré截面即Σ3界面。

2.2 碰撞分析

碰撞過程主要遵從動量守恒定理，法向滿足完全塑性碰撞過程式(4)，切向滿足動量守恒定理(5)：

y1(n+1)′=y2(n+1)′=(1-γ)y1n′+γy2n′

(4)

(1-γ)x1(n+1)′+γx2(n+1)′=(1-γ)x1n′+γx2n′

(5)

則在摩擦力的作用下，碰撞過程結束后切向轉移的動量為最大量為：ΔPXμ=ΔPYμ

同樣在切向可傳遞的動量受沖擊前的運動狀態到發生粘滯，即完全塑性碰撞結束的最大值為：

ΔPX=γ|(1-γ)x1n′+γx2n′-x2n′|

可求得發生接觸碰撞后的切向方向的速度變化量以及速度表達式為：

x2(n+1)′|)x2(n+1)′

=x2n′+ΔVXsign(x1n′-x2n′)

3 模型驗證

通過已有實驗數據源自于文獻[15]，可得到某型移動運輸設備參數如表1所列。

表1 某型振動運輸車參數

通過上表參數和線性振動理論可對應反推部分無量綱參數如下：

[γ,α,β,g]=[0.045,6.258 9,3.522 9,-9.81]

[Ω,ξX,Y,ΩX,Y]=[154.55,0.062,45.55]

數值仿真結果如表2所列。

表2 運輸車數值仿真結果

從表2分析可知,側壓力系數χ取0.60～0.65時,仿真結果和現場實驗結果能夠在3%的誤差內保持一致,說明該模型能夠反映振動運輸機的運動特性和機械性能,有效地進行振動運輸機的運動仿真分析。

4 塑性碰撞對系統動力學行為的影響

為研究塑性碰撞對系統動力學行為的影響，對其碰撞的全過程進行分析。選取一組系統無量綱參數γ=0.4，Ω=60，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。以法向拋擲指數β為分岔參數，以β∈(4.93，6.36)為分岔區間，得到質量塊M2法向位移Y2關于β的分岔圖，如圖2所示，由于塑性碰撞的原因，系統伴隨有擦邊分岔，系統的運動狀態隨拋擲指數β的變化而隨之改變，在周期運動與混沌運動之間轉換。

圖2 系統在β∈(4.93，6.36)時的分岔圖

由圖2可知，當β∈(6.13，6.36)時，系統處于混沌狀態，以β=6.18為例，通過分析法向與切向方向的時間歷程圖來研究塑性碰撞的過程以及法向運動對切向運動的影響，時間歷程圖如圖3所示。

分析圖3可知，當β=6.18時，系統的塑性碰撞中存在粘黏、拋擲與沖擊等現象，如在圖3(a)的A1點時，M2與M1的法向位移一致，粘黏在一起開始同步運動，此時系統處于接觸狀態；當到達A2點時，M1與M2相分離，M1先經過短暫的向上運動后開始下降，而M2繼續向上運動，此時系統處于拋擲狀態；在A3點時，M1與M2速度相反，兩者相遇并迅速分離，此時系統處于沖擊狀態；在A4點M1與M2又開始相遇粘黏進入接觸狀態。同時觀察法向速度的時間歷程圖也可分析系統發生塑性碰撞的過程，如圖3(b)所示。

圖3 在β=6.18的時間歷程圖

在振動運輸機的塑性碰撞中，由于粘黏與摩擦力的影響，其法向運動會對切向運動有一定的影響，如圖3(c)所示，在C1處M1與M2在法向方向相接觸發生粘黏，M2的切向速度瞬間激變減小，然后繼續減小到C2再增大到C3，這段時間內M1與M2雖然在法向上因粘黏而做同步運動，但在切向并未同步運動，而在進行相對滑動運動，這是由于摩擦力的原因，C3之后，M1與M2相分離，M2的切向速度保持在拋出時的狀態，到達C4后由于法向方向發生沖擊，M1與M2瞬間接觸又分離，M2的切向速度發生了激變增大，之后保持不變直到下一次發生粘黏或沖擊。

隨著系統參數的改變，接觸、拋擲和沖擊這三種運動狀態不一定會在某段區間內同時存在，但由于塑性碰撞的特點，其必定會存在于塑性碰撞系統中。

5 系統的分岔及通往混沌的道路

通過上述分許可知，由于塑性碰撞的原因，振動運輸機系統會伴隨有復雜的分岔和混沌等動力學行為，且各種分岔方式以及進入混沌的途徑差異明顯。下文將借助時間歷程圖、相圖與Poincaré截面圖來分析不同的分岔現象以及他們各自通過混沌的道路。

5.1 Hopf分岔及通向混沌的道路

選取一組系統無量綱參數γ=0.8，Ω=80，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。選擇法向拋擲指數β為分岔參數，以β∈(6.5，9.9)為分岔區間，得到其一組質量塊M2法向的位移Y2關于β的分岔圖，如圖4所示。

圖4 系統的Hopf分岔圖

當β=6.819系統發生Hopf分岔，從單周期運動開始失穩到擬周期運動，系統在Poincaré截面上的投影如圖5(a)所示；當β遞增到β=6.838時，Poincaré截面上形成一個Hopf吸引不變圈，如圖5(b)所示，此時系統進入概周期運動；隨著分岔參數β增大，Hopf吸引不變圈逐漸失去光滑性，系統從概周期運動過度到長周期運動狀態；β繼續增大，在β=7.504時，系統中發生了擦邊分岔，如圖5(c)所示；隨著β的持續增大，Hopf吸引不變圈不斷膨脹變形，系統經鎖相最終進入混沌運動狀態，產生混沌吸引子，如圖5(d)～(f)所示。

圖5 Hopf分岔Poincaré映射投影圖

為了進一步分析系統中出現的擦邊分岔，對其β=7.504時相圖和時間歷程圖來進行了研究，如圖6所示，發生擦邊分岔時系統的運動周期并沒有變化，但有變化的趨勢，M2的速度有所變化，但其變化比較微弱。

圖6 β=7.504時的相圖與時間歷程圖

5.2 倍化分岔及通向混沌的道路

選取一組無量綱參數γ=0.698，Ω=62，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6。選擇法向拋擲指數β為分岔參數，以β∈(6.6，7.8)為分岔區間，得到其一組質量塊M2法向的位移Y2關于β的分岔圖，如圖7所示。

圖7 系統的倍化分岔圖

進一步分析圖7可知，在β∈(6.6,6.813)時，系統處于穩定的q=1/1周期運動；在β=6.813處發生倍化分岔，在β∈(6.813，7.226)時處q=2/2周期運動；在β=7.226處再次發生倍化分岔，系統進入了q=4/4周期運動，Poincaré截面圖如圖8(a)所示；當β=7.427時，發生擦邊分岔，系統從q=4/4周期運動進入q=4/5周期運動，如圖8(b)所示；此后隨著參數的遞增，擦邊分岔也隨系統開始一次次倍化，最終逐漸失去倍化規律進入混沌運動狀態，產生混沌吸引子，如圖8(c)和(d)所示。

圖8 倍化分岔Poincaré截面圖

利用相圖和時間歷程圖對倍化分岔中的擦邊分岔來做進一步的研究。如圖9所示，系統因擦邊分岔由q=4/4轉遷為q=4/5時，系統的運動周期沒有發生變化，但相軌跡和速度有微弱的變化。

圖9 β=7.427時的相圖與時間歷程圖

5.3 Hopf-Filp分岔及通向混沌的道路

除上述兩種經典分岔外，系統還發生Hopf-Filp余維二分岔。選取無量綱參數為γ=0.695，Ω=65，Ωi=45，ξi=0.062，μ=0.3，θ=π/6，以法向拋擲指數β為分岔參數，在β∈(7.25，8.2)區間，系統的局部分岔圖如圖10所示。

圖10 系統的Hopf-Filp分岔圖

由圖10可知，當β∈(7.25，7.371)時系統處于p-1周期運動，β值經過β=7.371時發生了Filp分岔，系統進入了p-2周期運動，當β=7.418時再次發生了Filp分岔，系統從p-2周期運動進入p-4周期運動，其Poincaré截面圖如圖11(a)所示。

圖11 Hopf-Filp分岔Poincaré截面圖

當β=7.5419時，系統開始發生4周期的Hopf分岔，平衡點開始發散，系統進入擬周期運動狀態，如圖11(b)所示；當β=7.58107時，系統形成了4個Hopf吸引不變圈，系統進入概周期運動狀態，如圖11(c)所示；此后4個不變圈開始失去光滑性發生膨脹變形，在β=7.622時形成成一個環面，并且在β=7.873時發生環面倍化現象，如圖11(d)和(e)所示；β持續增大，環面開始失去光滑性，最后經過鎖相，在β=8.11時進入混沌狀態并產生混沌吸引子，其變化過程如圖11(f)～(h)所示。

6 總 結

針對振動運輸機系統的兩自由度力學模型，研究了系統發生塑性碰撞時的動力學行為，分析了發生塑性碰撞時系統伴隨的粘黏、拋擲和沖擊等現象，以及這些現象使法向運動對切向運動造成的影響。發現了在適當的參數條件下，振動運輸機系統將會發生Hopf分岔、倍化分岔以及Hopf-Filp分岔，同時伴隨有擦邊分岔的產生；分析了系統從單周期通過各種分岔向混沌演化的過程，發現其中包含的擦邊分岔雖有運動趨勢但不會改變系統的運動最小周期。通過對該系統塑性碰撞的過程以及混沌與分岔的研究，可在實際中通過優化系統部分參數來提高該系統的運動穩定性，在防止系統發生混沌運動和由其產生的強烈振動上具有一定的理論意義和實際意義。