基于構(gòu)造約束聯(lián)合概率反演的油藏參數(shù)表征方法

張 健 李景葉 王建花 陳小宏 李遠(yuǎn)強(qiáng) 周春雷

(①中國石油大學(xué)(北京)海洋石油勘探國家工程實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；②中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；③西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都 611756；④中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028；⑤中國石油勘探開發(fā)研究院西北分院，甘肅蘭州 730020)

0 引言

彈性參數(shù)反演、巖石物理反演和儲(chǔ)層巖相識(shí)別是油藏表征和評(píng)價(jià)的有效手段[1-3]。測(cè)井資料可提供井位附近油藏參數(shù)的直接或間接測(cè)量結(jié)果，而地震數(shù)據(jù)提供了獲取井間油藏參數(shù)的唯一指導(dǎo)信息。但由于地震頻帶、觀測(cè)誤差以及巖石物理建模誤差等因素的影響，地震反問題的求解仍然面臨較大挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)方法通常利用井?dāng)?shù)據(jù)低頻信息和單道地震數(shù)據(jù)通過多步驟反演策略依次得到儲(chǔ)層彈性參數(shù)、儲(chǔ)層物性參數(shù)和儲(chǔ)層巖相等信息，忽略了井?dāng)?shù)據(jù)高頻信息和地震數(shù)據(jù)橫向信息以及各反演環(huán)節(jié)不確定性信息對(duì)反演結(jié)果的影響，降低了最終反演精度，增加了油藏評(píng)價(jià)和開發(fā)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，如何充分利用現(xiàn)有資料獲取客觀、準(zhǔn)確表征反演結(jié)果不確定性的信息，從而指導(dǎo)儲(chǔ)層評(píng)價(jià)尤為重要。

對(duì)于油藏參數(shù)預(yù)測(cè)及其不確定性評(píng)價(jià)，前人做了大量的研究工作。基于概率方法的貝葉斯反演框架通過引入先驗(yàn)信息約束項(xiàng)，有效降低了地球物理反演的多解性，提高了反演精度，被廣泛用于求解地球物理反問題。貝葉斯反演的最終解由后驗(yàn)概率分布定義，表示在給定觀測(cè)數(shù)據(jù)條件下待求模型參數(shù)正確的可能性。Buland等[4]基于貝葉斯反演框架，結(jié)合線性AVO方程和高斯分布假設(shè)，推導(dǎo)了彈性參數(shù)后驗(yàn)概率分布解析表達(dá)式，在獲得彈性參數(shù)的同時(shí)，定量表征了反演結(jié)果的不確定性。Grana等[5]在Buland等[4]的研究基礎(chǔ)上，將貝葉斯線性反演的高斯假設(shè)推廣到混合高斯假設(shè)，得到了彈性參數(shù)的解析解。為提高反演結(jié)果的橫向連續(xù)性，Hamid等[6]基于貝葉斯反演框架，引入橫向約束項(xiàng)開展多道疊后阻抗反演。張廣智等[7]基于Fatti波阻抗近似式，利用蒙特卡洛—馬爾科夫鏈(MCMC)算法預(yù)測(cè)了彈性三參數(shù)，并提供了相關(guān)的不確定性信息。Aleardi等[8]針對(duì)某一特定研究區(qū)，通過對(duì)比線性反演方法與非線性反演方法的結(jié)果，驗(yàn)證了前者求取儲(chǔ)層參數(shù)及其不確定性的有效性。黃捍東等[9]利用非線性隨機(jī)反演方法預(yù)測(cè)了陸相薄砂巖儲(chǔ)層。Larsen等[10]闡述了地震反演不確定性對(duì)儲(chǔ)層巖相識(shí)別的影響，引入馬爾科夫鏈先驗(yàn)信息提高了巖相識(shí)別精度，并實(shí)現(xiàn)了巖相隨機(jī)模擬。李軍等[11]將馬爾科夫鏈模型從二維形式推廣到三維，獲得了更準(zhǔn)確的儲(chǔ)層巖相模擬結(jié)果。劉興業(yè)等[12]基于貝葉斯框架，引入核貝葉斯算法預(yù)測(cè)了物性參數(shù)、巖相及其不確定性信息。袁成等[13-14]系統(tǒng)介紹了由地震數(shù)據(jù)識(shí)別儲(chǔ)層巖相各環(huán)節(jié)的不確定性評(píng)價(jià)方法。然而，上述方法均為多步驟反演，很難考慮各個(gè)環(huán)節(jié)的不確定性。Bosch等[15]以地震數(shù)據(jù)作為輸入，利用MCMC方法同時(shí)預(yù)測(cè)波阻抗和孔隙度，并定量分析了反演結(jié)果的不確定性。de Figueiredo等[16]提出基于巖石物理的貝葉斯反演方法，同時(shí)估計(jì)了波阻抗、孔隙度和儲(chǔ)層巖相及其不確定性信息。Grana[17]提出了一種基于模型參數(shù)為混合非參數(shù)分布統(tǒng)計(jì)假設(shè)的貝葉斯反演方法，定量表征了儲(chǔ)層巖相和儲(chǔ)層流體。李海山等[18]利用平面波分解技術(shù)提取地層信息，建立更可靠的波阻抗初始模型用于反演，獲得了橫向更連續(xù)的反演結(jié)果。曹丹平等[19]、周曉越等[20]嘗試多屬性聯(lián)合反演。

基于前人的工作，本文提出基于構(gòu)造約束聯(lián)合概率反演的油藏參數(shù)表征方法?；谪惾~斯反演框架提出油藏參數(shù)同時(shí)反演策略，利用最小二乘井?dāng)?shù)據(jù)插值將地質(zhì)構(gòu)造信息和井信息整合到同時(shí)反演框架，經(jīng)推導(dǎo)得到油藏參數(shù)后驗(yàn)概率分布解析表達(dá)式。最終，利用獲得的后驗(yàn)概率分布信息定量評(píng)價(jià)和表征反演結(jié)果。所提方法通過同時(shí)反演策略客觀表征各環(huán)節(jié)的不確定性，構(gòu)造約束保證反演結(jié)果橫向空間耦合性，最終反演結(jié)果為油藏表征和評(píng)價(jià)提供了更可靠的參考信息。實(shí)際資料應(yīng)用和井測(cè)試驗(yàn)證了方法的有效性。

1 方法理論

為了研究基于巖石物理分析統(tǒng)計(jì)的油藏參數(shù)關(guān)系，引入構(gòu)造約束地質(zhì)模型，構(gòu)建油藏參數(shù)同時(shí)反演解析表達(dá)式，獲取構(gòu)造約束的油藏參數(shù)(包括波阻抗、孔隙度和儲(chǔ)層巖相)聯(lián)合概率分布信息，并開展定量評(píng)價(jià)。理論方法包括巖石物理建模及分析、構(gòu)造約束和井信息融合以及油藏參數(shù)聯(lián)合概率表征。

1.1 線性巖石物理建模及分析

巖石物理模型(rock physics model，RPM)是連接儲(chǔ)層物性參數(shù)和儲(chǔ)層彈性參數(shù)的橋梁，是聯(lián)合反演的基礎(chǔ)，也是參數(shù)敏感性分析以及參數(shù)優(yōu)選的重要工具。文中主要針對(duì)疊后數(shù)據(jù)，其RPM(即波阻抗和儲(chǔ)層物性參數(shù)之間關(guān)系)為

Zp=fRPM(R)+ε

(1)

式中：fRPM(R)為線性或理論RPM，R為儲(chǔ)層物性參數(shù)；Zp為聲阻抗；ε為觀測(cè)誤差，代表建模結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)值之間的失配程度，通過分析井?dāng)?shù)據(jù)確定。

為得到油藏參數(shù)聯(lián)合后驗(yàn)概率解析表達(dá)式，需建立儲(chǔ)層物性參數(shù)與聲阻抗自然對(duì)數(shù)線性RPM，即

lnZp=a1+a2D+a3φ+a4Sw+a5Vsh

(2)

式中：D為深度；φ、Sw、Vsh分別為孔隙度、含水飽和度和泥質(zhì)含量；a1～a5為利用井?dāng)?shù)據(jù)或者巖心數(shù)據(jù)得到的回歸系數(shù)。

對(duì)M區(qū)井?dāng)?shù)據(jù)(圖1)利用多元線性回歸方法得到a1～a5，則由式(2)得

lnZp=9.0542+8×10-5D-2.4415φ+

0.0092Sw-0.5464Vsh

(3)

式(3)表明：孔隙度在聲阻抗預(yù)測(cè)中起決定作用，其次是泥質(zhì)含量和含水飽和度；由于有限的深度范圍，深度對(duì)阻抗預(yù)測(cè)的影響非常小。

結(jié)合M區(qū)地質(zhì)與地球物理特征以及測(cè)井阻抗和物性參數(shù)之間的響應(yīng)關(guān)系，選取基于Hertz-Mindlin接觸理論的RPM(表1)建立阻抗與物性參數(shù)的關(guān)系(圖2)，以證明線性RPM在M區(qū)的可行性[21]。Hertz-Mindlin模型已被證明可以較好地表征砂巖物性參數(shù)與彈性參數(shù)之間的關(guān)系。

表1 Hertz-Mindlin理論RPM參數(shù)

由圖1、圖2可見：兩種RPM阻抗預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)阻抗吻合，證明了RPM的有效性(圖1)；兩種RPM參數(shù)敏感性分析結(jié)果一致，證明線性RPM可以很好表征阻抗與物性參數(shù)的關(guān)系，且敏感性分析結(jié)論與式(3)一致，即孔隙度對(duì)阻抗預(yù)測(cè)起決定性作用，另外兩種物性參數(shù)對(duì)于阻抗預(yù)測(cè)作用較小(圖2)。因此，本文重點(diǎn)研究阻抗與孔隙度之間的關(guān)系。

圖1 M區(qū)井?dāng)?shù)據(jù)(a)φ；(b)Vsh；(c)Sw；(d)lnZp；(e)巖相

圖2 Hertz-Mindlin理論RPM(a)與多元線性回歸得到的線性RPM(b)的Zp與φ(左)、Vsh(中)、Sw(右)敏感性分析圖

將井?dāng)?shù)據(jù)φ—lnZp聯(lián)合向量記為m，則地下某一時(shí)間點(diǎn)(t時(shí)刻)的阻抗和孔隙度聯(lián)合分布(圖3a的彩色底圖，服從多元高斯分布)為

圖3 孔隙度與阻抗對(duì)數(shù)交會(huì)圖(a)lnZp和φ聯(lián)合分布(彩色底圖)、線性RPM(黑色曲線)及φ—lnZp交會(huì)圖(綠色散點(diǎn))疊合圖；(b)不同巖相的φ—lnZp交會(huì)圖(散點(diǎn))及其先驗(yàn)分布

p(mt)=p[ln(Zpt),φt]～N(mt;μ,Σ)

(4)

式中：下標(biāo)t表示t時(shí)刻的相應(yīng)變量(下同)；N表示均值為μ、協(xié)方差為Σ的多元高斯分布

(5)

其中Σ對(duì)角線上的元素為各個(gè)隨機(jī)變量的方差，非對(duì)角線上的元素為兩兩隨機(jī)變量之間的協(xié)方差。

將式(4)擴(kuò)展到整個(gè)地震道，同時(shí)引入垂向空間耦合信息，有

p(m)=p[ln(Zp),φ]～N(m;μm,Σm)

(6)

其中

(7)

式中Γ代表垂直相關(guān)矩陣，可定義為[4]

(8)

式中：τ為時(shí)間變量矩陣；l為垂直方向耦合系數(shù)，通過統(tǒng)計(jì)井?dāng)?shù)據(jù)獲得，本研究中l(wèi)=9。

1.2 構(gòu)造約束和井信息融合

橫向連續(xù)性和分辨率是儲(chǔ)層參數(shù)表征的重要要求，而地質(zhì)構(gòu)造信息和井?dāng)?shù)據(jù)可分別提供橫向空間耦合關(guān)系和高頻細(xì)節(jié)信息。為進(jìn)一步提高反演結(jié)果的橫向連續(xù)性和分辨率，建立儲(chǔ)層參數(shù)m和構(gòu)造約束井插值結(jié)果f的關(guān)系，即

f=m+ef

(9)

式中ef代表誤差容忍參數(shù)，即m與f之間的相似性，可以利用距井距離的函數(shù)表示。

構(gòu)造約束井插值過程可表示為[22-23]

Mf=w

(10)

式中：M為采樣算子；w為已知井?dāng)?shù)據(jù)。對(duì)式(10)利用最小二乘方法求解，有

(11)

(12)

1.3 油藏參數(shù)聯(lián)合概率表征

高精度儲(chǔ)層參數(shù)表征及其不確定性評(píng)價(jià)是儲(chǔ)層表征的另一重要需求。與傳統(tǒng)多步反演方法相比，同時(shí)反演方法可以更準(zhǔn)確地表征儲(chǔ)層參數(shù)并量化其不確定性。為實(shí)現(xiàn)同時(shí)反演，聯(lián)合觀測(cè)地震數(shù)據(jù)和構(gòu)造約束井插值結(jié)果建立如下方程

(13)

式中：d為地震響應(yīng)；ed為觀測(cè)誤差；G=[WD0]為地震響應(yīng)正演算子，其中W為子波矩陣，而為一階差分矩陣。

p(m|y)～N(m;μm|y,Σm|y)

(14)

其中

(15)

(16)

而

(17)

(18)

在某一巖相(對(duì)應(yīng)m)服從高斯分布(圖3b)假設(shè)條件下，有

p(mt|κ)～N(mt;μκ,Σκ)

(19)

式中μκ和Σκ分別為巖相κ對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)層參數(shù)m的均值和協(xié)方差。

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，得到

(20)

其中

p(κt|mt)∝p(mt|κt)p(κt)

(21)

p(mt|κt)、p(mt|yt)均服從高斯分布，有p(mt|κt)～N(m;μ1,Σ1)，p(mt|yt)～N(m;μ2,Σ2)。其中，μi、Σi(i=1,2)分別表示高斯分布中的均值和協(xié)方差矩陣。結(jié)合式(20)和式(21)，根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)法則[24-25]，巖相后驗(yàn)分布為(附錄A)

(22)

其中

(23)

而

(24)

(25)

假定式(22)積分項(xiàng)為1，同時(shí)引入馬爾科夫鏈先驗(yàn)，則式(22)改寫為

p(κt|yt)∝∏p(κt|κt-1)cc

(26)

其中p(κ1|κ0)=p(κ1)表示巖相先驗(yàn)分布，p(κt|κt-1)可利用馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣(通過統(tǒng)計(jì)井?dāng)?shù)據(jù)獲得)計(jì)算。

最后，可以得到油藏參數(shù)(阻抗、孔隙度、巖相)預(yù)測(cè)結(jié)果及其不確定性評(píng)價(jià)信息。

1.4 算法實(shí)現(xiàn)流程

(1)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，包括井?dāng)?shù)據(jù)和地震數(shù)據(jù)；

(2)利用平面波分解濾波技術(shù)由地震數(shù)據(jù)提取地層傾角信息；

(3)結(jié)合提取的地層傾角信息和井?dāng)?shù)據(jù)建立構(gòu)造約束與井融合的地下參數(shù)模型；

(4)統(tǒng)計(jì)、分析井?dāng)?shù)據(jù)，獲取巖相依賴阻抗和孔隙度聯(lián)合先驗(yàn)分布、垂向耦合系數(shù)以及轉(zhuǎn)移概率矩陣等相關(guān)信息；

(5)最后，計(jì)算式(15)、式(16)、式(26)，分別得到阻抗、孔隙度、巖相及其后驗(yàn)概率分布。

2 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，利用M區(qū)資料進(jìn)行試算。M區(qū)存在濁積砂巖油藏，在儲(chǔ)層段有含油砂巖、含水砂巖和泥巖等三種巖相。圖4為疊后地震剖面。利用3口井(A、B、D)數(shù)據(jù)直接參與反演，而另1口井(C)作為盲井驗(yàn)證反演結(jié)果的可靠性。首先利用平面波分解濾波技術(shù)獲取地層傾角數(shù)據(jù)(圖5)，結(jié)合地層傾角信息和3口井?dāng)?shù)據(jù)，利用式(12)得到構(gòu)造約束井插值結(jié)果(圖6)。

圖4 疊后地震剖面黑色曲線之間代表主要油藏目的層；A，B，C，D為井位

圖5 地層傾角

圖6 構(gòu)造約束井插值結(jié)果(a)阻抗；(b)孔隙度；(c)阻抗方差；(d)孔隙度方差方差代表井?dāng)?shù)據(jù)對(duì)最終反演結(jié)果的影響，是距井的距離的函數(shù)，在井附近井約束權(quán)重較大，遠(yuǎn)離井約束權(quán)重逐漸減小

將觀測(cè)地震數(shù)據(jù)和構(gòu)造約束井插值結(jié)果代入式(13)，利用式(15)和式(16)得到阻抗及孔隙度反演結(jié)果(圖7)?？梢姡孩俦疚姆椒ǚ囱萁Y(jié)果(圖7a、圖7b)的橫向連續(xù)性較無約束反演結(jié)果(圖7e、圖7f)更好；②除約束井(A，B，D)附近以外，兩種方法獲得的阻抗方差(圖7c、圖7g)相近；③由于本文方法同時(shí)考慮了阻抗反演與孔隙度反演之間的耦合關(guān)系，除約束井附近以外，孔隙度方差(圖7d)大于無約束反演結(jié)果(圖7h)，更好地反映了反演結(jié)果的不確定性；④井?dāng)?shù)據(jù)既能提供低頻信息，又能提供高分辨率信息，本文方法同時(shí)引入井約束，在井附近可獲得更高分辨率反演結(jié)果，對(duì)應(yīng)概率在井位處的方差接近0，即反演結(jié)果與井?dāng)?shù)據(jù)一致(圖7c、圖7d)。

將得到的巖相依賴孔隙度與阻抗聯(lián)合高斯分布均值和方差(圖3b)、阻抗與孔隙度及其方差(圖7)代入式(26)，可以得到M區(qū)儲(chǔ)層巖相概率，其中轉(zhuǎn)移概率矩陣T由統(tǒng)計(jì)已知測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)得到圖8為巖相預(yù)測(cè)結(jié)果及其不確定性。由圖可見：本文方法識(shí)別的巖相(圖8a)較傳統(tǒng)多步法(圖8b)更可靠，通過引入構(gòu)造約束信息提高了巖相的連續(xù)性；本文方法考慮了不確定性在各環(huán)節(jié)的傳遞，得到的巖相后驗(yàn)概率(圖8c)較傳統(tǒng)多步法(圖8d)更準(zhǔn)確，客觀表征了不確定性，為油藏表征、評(píng)價(jià)提供了重要參考依據(jù)。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，圖9、圖10分別展示了條件井(B)、盲井(C)測(cè)試結(jié)果。由圖可見：①在條件井井位處，本文方法考慮了已知井信息，阻抗以及孔隙度反演結(jié)果與實(shí)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)吻合很好，不確定性小(圖9a、圖9b)；多步法由于未考慮已知井信息和不確定性傳遞，波阻抗反演結(jié)果的分辨率較低(圖9a)，且孔隙度預(yù)測(cè)結(jié)果偏高(圖9b箭頭處)。②儲(chǔ)層巖相識(shí)別結(jié)果(圖9c～圖9e、圖10c～圖10e)也驗(yàn)證了本文方法的有效性。圖11為圖9的巖相識(shí)別歸一化混淆矩陣，可見其對(duì)角線元素?cái)?shù)值之和較大，定量驗(yàn)證了本文方法的有效性。由盲井測(cè)試結(jié)果(圖10、圖12)可見：①本文方法的波阻抗反演結(jié)果與多步法相似，且與實(shí)測(cè)曲線基本吻合(圖10a)。②由于多步法存在較大累積誤差，孔隙度反演結(jié)果與實(shí)測(cè)井曲線偏差較大(圖10b)；本文方法同時(shí)考慮了波阻抗反演與孔隙度反演之間的耦合關(guān)系，孔隙度反演結(jié)果與井?dāng)?shù)據(jù)匹配更好(圖10b)。③多步法的混淆矩陣油砂預(yù)測(cè)值(圖12b，0.8)高于本文方法(圖12a，0.71429)，這是由于多步法在井頂端孔隙度預(yù)測(cè)值偏大(圖10)導(dǎo)致錯(cuò)誤油砂預(yù)測(cè)結(jié)果所致，但本文方法的混淆矩陣對(duì)角線元素?cái)?shù)值之和(圖12a，2.28756)大于多步法(圖12b，2.19781)，因此本文方法的巖相預(yù)測(cè)精度高于多步法。由圖7～圖12可知，本文方法的油藏參數(shù)預(yù)測(cè)性能較傳統(tǒng)方法更好，可以為油藏表征、評(píng)價(jià)提供客觀、可靠的參考信息。

圖8 巖相預(yù)測(cè)結(jié)果及其不確定性(a)巖相(本文方法)；(b)巖相(多步法)；(c)巖相后驗(yàn)概率(本文方法)；(d)巖相后驗(yàn)概率(多步法)

圖9 條件井(B)測(cè)試結(jié)果(a)阻抗曲線與本文方法反演結(jié)果不確定性信息(底圖)疊合圖；(b)孔隙度曲線；(c)參考巖相；(d)本文方法預(yù)測(cè)巖相；(e)多步法預(yù)測(cè)巖相

圖10 盲井(C)測(cè)試結(jié)果(a)阻抗曲線與本文方法反演結(jié)果不確定性信息(底圖)疊合圖；(b)孔隙度曲線；(c)參考巖相；(d)本文方法預(yù)測(cè)巖相；(e)多步法預(yù)測(cè)巖相

圖11 圖9的巖相識(shí)別歸一化混淆矩陣(a)本文方法；(b)多步法

圖12 圖10的巖相識(shí)別歸一化混淆矩陣(a)本文方法；(b)多步法

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3 結(jié)論與建議

本文通過分析實(shí)際資料提出一種基于構(gòu)造約束聯(lián)合概率反演的油藏參數(shù)表征方法。新方法基于貝葉斯理論，利用阻抗和孔隙度的聯(lián)合先驗(yàn)分布和巖相依賴先驗(yàn)分布，引入線性巖石物理模型，得到油藏參數(shù)(阻抗、孔隙度、巖相)后驗(yàn)概率分布解析表達(dá)式，客觀、準(zhǔn)確地表征了不確定性傳遞。同時(shí)，將地質(zhì)構(gòu)造信息和井信息集成到反演過程，提高了反演結(jié)果的橫向連續(xù)性和分辨率。為驗(yàn)證新方法的有效性，對(duì)M區(qū)實(shí)際數(shù)據(jù)集通過條件井和盲井測(cè)試，對(duì)比、分析了無構(gòu)造約束多步方法與新方法的反演結(jié)果，后者基于線性化模型且服從高斯分布假設(shè)，獲得了較好的反演效果，為油藏表征、評(píng)價(jià)提供了有利依據(jù)。針對(duì)疊前地震資料，在油藏參數(shù)與地震響應(yīng)之間滿足線性關(guān)系假設(shè)時(shí)，新方法可以實(shí)現(xiàn)疊前同時(shí)反演油藏參數(shù)。

然而，在一些較復(fù)雜地區(qū)線性表達(dá)式常常會(huì)降低反演精度，因此新方法很難直接求解非線性反演問題。非線性反演方法可以在一定程度上避免線性反演方法的一些假設(shè)和限制，從而提高油藏參數(shù)預(yù)測(cè)精度。

目前求解非線性問題主要有以下策略：①將復(fù)雜問題進(jìn)行線性化近似，然后直接應(yīng)用本文方法求解，但線性化不可避免地會(huì)降低反演精度；②引入全局尋優(yōu)算法求解非線性反問題，如MCMC采樣算法，但該類算法計(jì)算效率較低，限制了實(shí)際應(yīng)用；③在有足夠井?dāng)?shù)據(jù)情況下，利用基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)類方法訓(xùn)練已知井?dāng)?shù)據(jù)，獲得油藏參數(shù)與地震數(shù)據(jù)之間的匹配函數(shù)式，從而求解非線性反問題。

另外，新方法中模型參數(shù)服從高斯分布假設(shè)可以較容易地推廣到混合高斯分布；針對(duì)一些更復(fù)雜的分布，可以利用上述求解非線性問題的策略②或③求解相應(yīng)問題。

附錄A 后驗(yàn)分布

根據(jù)貝葉斯定理，巖相κt后驗(yàn)概率密度分布為

(A-1)

式中p(κt)為巖相先驗(yàn)概率密度分布，積分項(xiàng)內(nèi)p(mt|κt)、p(mt|yt)均服從高斯分布。

如果參數(shù)m的高斯分布記為N(m;μ,Σ)，即p(mt|κt)～N(m;μ1,Σ1)，p(mt|yt)～N(m;μ2,Σ2)，有

N(m;μ1,Σ1)×N(m;μ2,Σ2)=ccN(m;μc,Σc)

(A-2)

式(A-2)等式左邊表示式(A-1)中積分項(xiàng)內(nèi)高斯分布乘積，式(A-2)等式右邊可表示為

(A-3)

式中d為數(shù)據(jù)采樣長度。

將式(A-3)展開并進(jìn)行整理，得

ccN(m;μc,Σc)=

(A-4)

ccN(m;μc,Σc)=

(A-5)

其中

(A-6)

式(A-6)可簡記為

(A-7)

其中

(A-8)

(A-9)