基于雙參考點前景理論求解策略的DEA交叉效率評價方法

[福州大學 福州 350108]

引言

數據包絡分析（DEA）[1]是一種能夠有效處理多輸入多輸出問題的非參數評價方法。該方法具有非參性和客觀性等優勢，因此受到了大量國內外學者的關注，并在諸多領域的評價問題中得到廣泛應用。傳統DEA方法總是從最有利于自身的角度去評價效率值，這就可能導致決策單元“孤芳自賞”的情形。針對這一缺陷，Sexton[2]等提出交叉效率評價方法，將自評思想和互評思想融合起來評價決策單元，更加全面客觀地反映了決策單元的有效性，緩解了傳統DEA方法的權重體系過于極端和不現實問題[3]。

隨著交叉效率理論的不斷發展，許多學者開始致力于交叉效率評價策略的研究。其中,大部分學者把主要研究集中在建立二次目標以進一步限制權重的模型構建上。較為經典的是Doyle和Green[4]提出的進取型和仁慈型求解策略。面對實際決策環境下仁慈型和進取型模型的選擇困境，Wang和Chin[5]提出了中立型交叉效率策略，該模型只關注決策單元自身而不考慮二次目標模型對其他決策單元的影響，即不把其余DMU視為敵人或盟友。Wu等[6]通過定義某個決策單元的最優權重對其他決策單元的滿意度，以最大化滿意度為目標函數構建模型并提出兩個算法。在現實問題中，決策單元之間可能存在著競爭或合作關系的情形，針對該問題，Liang等[7]基于博弈論提出博弈交叉效率求解方法。李琳等[8]在Liang 等[7]所提出的非合作博弈模型的基礎上，根據相關權重的偏好信息進行比較，得到權重間的“相對范圍”，建立基于保證域的博弈交叉效率模型，并應用于學術期刊評價研究。王旭等[9]和劉金培等[10]分別基于證據推理和群體共識提出交叉效率排序方法。李學文等[11]通過引入正則條件限制和對無效單元目標效率的限制，構建三個改進的博弈交叉效率模型，較好地解決了傳統博弈交叉效率值可能不唯一和迭代速度慢的問題。

以上學者均針對傳統交叉效率評價策略方法做了進一步改進，但是這些方法沒有充分考慮效率評價過程中決策者的主觀偏好，不能體現決策者面對收益和損失時不同的風險態度，難以很好地滿足決策者的實際決策需求。針對該問題，一些學者利用前景理論引入心理因素，通過決策預期收益或損失引起的主觀價值感受來反映決策者的偏好，在充分考慮決策者偏好的基礎上對效率結果進行評價。例如，陳磊等[12]將決策者分為悲觀、中立、樂觀三種類型，計算不同決策偏好視角下的前景價值。Liu等[13]將前景理論和DEA交叉效率方法融合，評價中國23個國家重點實驗室資源分配的有效性。然而，這些研究往往簡單地認為決策者群體具有單一的參考點，忽視了復雜的現實中決策者參考點的多樣性。實際上，受決策者性格特征、決策情境等因素影響，在決策者群體內部和外部不同評價視角下的決策者心理預期存在差異，從而導致其參考點是彼此不同的。因此，在以往的DEA與前景理論結合的研究中對決策者群體具有相同的單一參考點的假設缺乏足夠的合理性。

綜上所述，本文考慮決策者群體存在多重參考點的特性，結合實際決策情境，提出一種考慮雙參考點的交叉效率評價策略方法，以此描述決策者多樣性的心理偏好。文章首先討論雙參考點的設置，通過采用正理想解、DMU投入產出平均值來反映決策者外部競爭優勢和內部自身特點。接著，針對兩個參考點分別利用前景理論的價值函數計算各參照點下的價值，反映決策者對損失和收益價值感受的差異。隨后，通過引入正理想點側重系數，進一步綜合各參照點下的前景價值并據此構建交叉效率二次目標模型。本文方法在完善了交叉效率DEA理論方法的同時，解決了具有多重參考點的效率評價問題，為決策者進行科學決策提供了一種新思路，具有一定的理論意義與現實應用價值。

一、理論基礎

（一）交叉效率方法

其中，θdd為DMUdd的自評效率，Urd和Vid是評價DMUdd時賦予第r種產出與第i種投入的權重。

為得出唯一的最優解，Doyle和Green[4]提出仁慈型和激進型求解策略，并在此基礎上給出了兩種策略所對應的、旨在得到唯一最優解的數學模型。其中，激進型模型的基本思想是最大化被評價單元效率值，同時盡可能使其他決策單元的交叉效率值最小。該模型目標函數取最小值，表明在效率評價上對所構造出來的虛擬平均決策單元是不利的，因此稱為激進型模型。其數學表達如下：

表 1 交叉效率矩陣

（二）前景理論

前景理論（Prospect Theory，PT）由Kahneman和Tversky[14]建立。該理論通過決策者面對“失”和“得”的主觀價值感受差異來反映決策者的偏好，是針對風險決策的心理描述模型，被廣泛應用在經濟學和社會心理學等領域。前景理論中，價值函數在獲得部分表現為凹函數，在損失部分表現為凸函數，且在損失部分更為陡峭，體現了個體對價值減少的心理感受更加敏感的特性。價值函數可以定義為：

其中Δh是h與決策參考點之間的偏差，Δh=h-h0,h表示實際值，h0表示決策者參照點。參數 λ≥1α是風險規避參數，參數α、β∈(0,1]是測量遠離參考點時敏感性遞減的程度。Kahneman等認為，α、β參數越大則決策者對價值變化越不敏感，λ≥1表示對損失比獲得更加厭惡。

二、基于雙參照點前景理論的交叉效率策略模型

以往的研究大多采用單一參考點，認為決策者群體具有固定的參考點。但實際上，參考點選取受風險態度、決策者主觀偏好等因素影響而具有多樣性。若采用某一相同的固定點作為參考點，與實際決策者參考點存在偏差，則不能客觀、可靠地反映決策者心理預期的收益和損失。參照點的設定受到任務環境、個性等因素的影響和調節,作為任務變量，參照點既可以是內源性的（決策者自發產生的）也可以是外源性的（任務的要求）[15]。因此，設置內部、外部雙參考點是十分必要的，從外部競爭優勢和內部自身特點兩個方面來考慮決策問題，能更準確地反映決策者的心理預期，使評價和決策更加全面和科學。鑒于此，本文基于前景理論，構建考慮雙參考點的交叉效率評價策略。

定義決策單元的外部參考點滿足如下公式：

在評價過程中，同外部其他決策單元比較，可以確定該決策單元在評價系統中的競爭力，進而從外部特征上比較、分類和評估預期結果。本文選取正理想解作為外部參考點，目的是體現在整個評價系統中最具競爭力的效率值，并以此衡量不同決策者在考慮外部競爭時的心理價值感受差異。

從決策單元內部自身特點來說，在評價過程中為了解該DMU的投入產出現狀水平需要設置內部參考點，考慮利用決策單元投入產出平均值作為內部參照點。平均值具有簡便和代表性強的特點，以平均值作為參照點更符合決策者的思維習慣。

針對傳統交叉效率方法中所存在的解非唯一性的問題，可以通過引入二次目標模型以進一步約束權重,在一定程度上消除解非唯一性的問題[4]。因此，本節通過建立二次規劃，以最大化各決策單元的綜合前景價值為目標函數，由雙參照點前景理論求解策略構建交叉效率評價模型如式（7）：

綜上所述，基于前景理論考慮雙參照點的交叉效率評價策略步驟如下：

步驟1設置雙參考點。考慮從DMU外部競爭優勢和內部自身特點設置雙參照點，采用正理想解、DMU投入產出平均值分別作為外部、內部參考點。

步驟2針對兩個參考點分別利用前景理論的價值函數計算各參照點下的價值。基于前景理論，利用式（5）和式（6）分別表示針對雙參照點的價值。

步驟3綜合兩個參照點下的前景價值，構建反映決策者偏好的交叉效率二次目標模型。通過引入正理想點側重系數，進一步整合各參照點下的前景價值，利用式（7）構建考慮雙參考點的交叉效率策略模型，求解并得到改進的交叉效率矩陣。

步驟4對改進的交叉效率矩陣進行集結并排序。由式（7）所得的是交叉評價策略輸入輸出的權重、，利用這些權重確定交叉效率矩陣，并采用相加平均的集結方法對交叉效率矩陣進行集結，最終得到各DMU交叉效率值。

三、案例分析

表 2 7個學院投入產出數據

由表2最后一列可知，存在多個自評效率為1的決策單元，且無法進一步區分這些決策單元的效率大小，這說明傳統CCR模型難以實現全排序，且容易導致效率評價結果虛高。因此，引進交叉效率評價方法是很有必要的。通過激進型交叉效率模型對該算例進行評價，其所得交叉效率矩陣如表3。結果表明，交叉效率方法能夠實現全排序，且自評和他評相結合的評價視角更為全面科學。但是，傳統的激進型和仁慈型模型將其余DMU全部視作敵人或盟友，這與現實世界的決策情景有所不符,而且會因評價結果不一致而導致實際應用中難以對它們予以抉擇的難題[17]。

利用本文所提出的考慮雙參考點前景理論的交叉效率評價策略，根據式（5）～（8）計算各決策單元交叉效率值，具體結果如表4所示。

表 3 激進型交叉效率矩陣

表 4 改進的交叉效率矩陣

對比表4和表3的排序結果可以看出，一些決策單元的排序發生了較大幅度的變化。如第4個DMU排序結果從第7位躍升到了第3位，這是因為本文方法結合前景理論的概念，充分考慮決策者主觀偏好,認為不同決策者對收益和損失的感知價值存在偏差，從而導致最優權重有所不同。為了進一步說明本文方法的有效性，本節選取經典的交叉效率模型方法來對該案例的交叉效率值進行求解，并將其效率值與本文提出的模型結果相比較，具體如圖1所示。

圖 1 不同方法下決策單元交叉效率值比較

表4和圖1的計算結果表明，7個DMU中有6個DMU的排序結果都發生了不同程度的變化，其中，DMU1的改進效率值為0.753 6，排序結果下降到第4位，DMU2的改進效率值為0.886 7，排序結果上升至第2位，這是因為本文在結合前景理論的基礎上，考慮決策者參考點的多樣性，在不同視角的參考點設定下，決策者的參考點取值各不相同所導致的。可以看出，改進后的策略模型能更準確地描述在復雜實際問題中決策者心理的多重參考點，據此構建的二次目標交叉效率的評價策略模型更具有合理性。

值得一提的是，在圖1不同方法比較的結果中，以DMU4為例，其CCR效率值為0.819 7，進取型效率為0.401 8，仁慈型效率為0.616 0，排序均為最后一名。而采用本文方法計算效率為0.851 1，排名攀升至第3名。除了原始數據本身所造成的影響之外，排序變化的根本原因是二次目標策略構建思路的不同，改進方法的評價維度更加全面使得評價結果出現差異。本文方法對不同類型的決策者采取了不同的比較標桿，進而影響決策評價過程中最優權重組合的選擇。因此，DMU4排名的驟變恰恰體現了決策者心理預期差異對評價結果產生的影響。

綜上所述，本文所提出的考慮雙參考點前景理論的效率評價方法能夠通過設計內、外兩個參考點從外部競爭優勢和內部自身特點來反映不同類型決策者迥異的心理預期，體現其面對收益和損失時風險態度的差異性。這使得決策者對評價結果的滿意度更高，得到全面合理的效率結果，也更有利于決策者做出科學的決策判斷。

四、結束語

現存的有關DEA交叉效率評估方法的文獻中，較少關注決策者的主觀偏好對交叉評價策略構建的影響。為此，本文借用前景理論，以不同決策者所表現出的參考點多樣性問題為突破口，從參考點所滿足的內、外部特征入手，建立能反映不同決策者心理預期值的二次目標交叉策略模型，更準確地計算前景價值并據此求解交叉效率結果。算例表明，本文方法能得到穩定、合理的評價排序結果。綜上所述，本文方法是將前景理論的研究結果應用于DEA數據包絡分析的一種創新，也是對現有交叉效率評價策略的補充，對于探索現實中決策者的科學決策具有重要意義。