變系數線性微分方程的解法探究

錢志祥

(廣東理工學院 基礎課教學研究部，廣東 肇慶 526100)

對于一般的n階變系數線性非齊次微分方程：

(1)

其中：pi(x)(i=1,2,…,n),f(x)是在某區間I上的連續實函數，若已知其對應的齊次微分方程：

(2)

的基本解組為：y1(x),y2(x),…,yn(x),x∈I,即已知(2)的通解為y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x),x∈I,則可利用常數變易法求得(1)的通解.但是變系數線性齊次微分方程(2)至今還沒有一般的通用解法，甚至當n=2時，即2階變系數線性齊次微分方程解法也沒有一個萬能的方法，目前《常微分方程》[1-3]教材中也沒有系統地歸納總結出這方面的解題規律，只零星地介紹了對某些類型的微分方程有效的解法，為了探究變系數線性微分方程的解法技巧，筆者把教學過程中常用的一些特殊有效的解法和一些常規的解題方法歸納總結如下，希望逐步積累解變系數線性微分方程的經驗，探究解變系數微分方程的規律.

1 變量替換法

許多特殊類型的變系數線性微分方程，通過適當的變量替換后可以化為常系數線性微分方程來求解.

定理1形如

(3)

的方程稱為歐拉方程，其中a1,a2,…,an都是常數.它是一類特殊的變系數線性微分方程，這種類型的方程通過變量替換：x=et，x>0后，都可以化為常系數線性齊次微分方程.

證明作變量變換x=et，x>0，則有

用數學歸納法證明：對于一切正整數n都有

(4)

成立，其中β1，β2，…，βn-1都是常數.于是

(5)

將上述關系式代入方程(3)中，得到常系數齊次線性微分方程：

(6)

其中b1，b2，…，bn-1都是常數.

解作變換x=et，x>0，則有

將上述等式代入原方程得

(7)

而方程(7)的通解為

y=c1e3t+c2e2t+c3et.

再將t=lnx代入上式得原方程通解為

y=c1x3+c2x2+c3x.

注1所有的歐拉方程通過變量替換x=et，x>0，都可以化成常系數線性齊次微分方程來解，其他類型的變系數微分方程有的可以利用恰當的變量替換化為常系數線性齊次微分方程來解，也有的類型可以通過變量替換法降階后來解.總之，變量替換法是微分方程求解中最常用的方法，也是其他解法的基礎.

2 降階法

定理2型如

(8)

的方程稱為n階線性齊次微分方程，若y1(x)是它的一個非零解，則可利用線性變換y=y1z將它化為n-1階齊次微分方程.

證明作線性變換y=y1z，由萊布尼茲公式得

將上述等式代入方程(8)，方程(8)變為：

(9)

整理得

(10)

(11)

z=c1ex-c2e-x+c3.

所以原方程的通解為

注2n階線性齊次微分方程一般都是經過適當的線性變換降階求解或變為常系數線性齊次微分方程求解，另外這種類型的方程也可以利用劉維爾公式進行降階求其通解.

3 拉普拉斯變換法

應用拉普拉斯變換可以求解一些變系數齊次微分方程，它主要是利用拉普拉斯變換的微分性質，具體的方法步驟如下：

(1)對線性微分方程兩邊取拉氏變換，把微分方程轉化為含像函數F(p)的變換方程；

(2)求解變換方程，得出系統輸出變量的象函數表達式；

(3)將輸出的象函數F(p)的表達式展開成部分分式；

(4)對部分分式進行拉氏逆變換，求出微分方程的解析解；

(5)必要時進行驗證.

解設F(p)=L[y(x)],對方程兩邊同時取拉普拉斯變換得

即

整理得

兩端積分得

F(p)=-arctanp+C.

又因為

所以，當a=1時，

于是，對方程F(p)=L[y(x)]兩端同時反演可得

注3拉普拉斯變換也只能解決部分變系數微分方程的解，當像函數F(p)的微分方程無法解出F(p)時，此方法失效，但是拉普拉斯變換在解常系數微分方程時不失為一種非常有效的方法.

4 劉維爾公式法

(12)

證明見文獻[1].

根據劉維爾公式(12)有

這是一個關于y的一階線性微分方程，易求得它的通解為

取c=0，得特解為

易知y1(x)與y2(x)是線性無關的，從而可得原微分方程的通解為y=c1ex+c2x(c1,c2為任意常數).

注4由劉維爾公式可知，只要知道變系數線性齊次微分方程的一個非零解，就可以求得其通解，但是如何求出變系數線性齊次方程的一個非零解，其實是十分困難的，這說明劉維爾公式法的作用也是有限的.

5 常數變易法

如果求出變系數齊次線性微分方程的解，那么就可以通過常數變易法求出對應的非齊次線性微分方程的通解[1].下面介紹二階變系數非齊次線性微分方程的常數變易法.

設二階變系數非齊次線性微分方程為

(13)

Y=c1y1(x)+c2y2(x).

設y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)是方程(1)的一個解，于是

(14)

令

(15)

(16)

(17)

將(16)、(17)代入到方程(13),得

因為y1(x)和y2(x)是對應的齊次線性微分方程的解，所以

于是得方程組：

上述方程組有唯一解，記作：

所以

故微分方程(13)有特解：

解易知對應的齊次方程的一個特解為y=x.再利用劉維爾公式(12)可求得對應齊次方程的通解為y=(c1+c2xex)x.

下面來求已知方程形如y(x)=c1(x)x+c2(x)x2ex的特解，利用常數變易法，得到方程組：

解之得，

所以原方程的通解為

y(x)=c1x+c2x2ex+x2.

注5至于高階變系數非齊次線性微分方程的常數變易法與二階類似，這里不再敘述.

6 冪級數解法

(18)

即

(19)

令x的同次冪系數為零，得

2a2+a0=0,3·2a3+2a1=0,…,n(n-1)an+(n-1)an-2=0(n≥4).

從而有

即有

所以，原方程的通解為

即

注6當微分方程的解不能用初等函數或其積分表達，而且其系數滿足一定的收斂條件時，常用冪級數解法.

7 廣義冪級數解法

(20)

由此得到

從而得到原方程的一個解

注7廣義冪級數解法，對微分方程系數的收斂性要求更高.

8 勒讓德函數法

定理6二階變系數線性微分方程：

證明作變換

(21)

將它及其一階導數和二階導數代入原方程,經過化簡便得到一個以u(x)為未知函數的連帶的勒讓德方程：

(22)

方程(22)的通解為

(23)

即

將(23)代入(21)便得原微分方程的通解為

解將方程變形為

由于n=2,m=1,根據式(23)得方程的通解為

其中c1,c2為任意常數，

注8其他連帶的勒讓德方程的通解均可以用勒讓德函數來表達.

9 貝賽爾函數法

(Ⅰ)y(x)=AJn(x)+BJ-n(x)(n不為整數)；

(Ⅱ)y(x)=AJn(x)+BYn(x)(n為任意數)；

其中,定義

(Γ(x)是伽馬函數)為n(-n)階第一類貝賽爾函數；

為n階第二類貝賽爾函數；

(其中i為虛數單位)為第三類貝賽爾函數.

所以此貝賽爾方程的通解為

這里c1,c2為任意常數.

注9其他類型的貝賽爾方程的通解可以類似地用貝賽爾函數來表達，這里不再列舉.

10 結語

變系數線性微分方程的解法還有很多種，如萊布尼茲公式法、分離變量法、特征根方程法、比較系數法、積分方程法、數值解法等[8-9]，這些解法都有一定的局限性，本文不再闡述.總之，變系數線性微分方程的解法繁多，但是沒有一種解法是通法，所以需要讀者在長期的解題實踐中逐步積累經驗，不斷地探究變系數線性微分方程的解題規律.