利用條件極值探索多參數(shù)不等式

杜先云　任秋道

【摘 要】本文給出利用可微多元函數(shù)在駐點(diǎn)的函數(shù)值建立參數(shù)方程，根據(jù)此方程解的情況，來(lái)判斷函數(shù)的駐點(diǎn)是否為極大（小）值點(diǎn)。對(duì)于可微多元函數(shù)，可以構(gòu)造許多條件極值，求出其極大（小）值，從而獲得一些重要不等式。同時(shí)對(duì)于一些多參數(shù)不等式，可構(gòu)造多元函數(shù)的條件極值，計(jì)算并證明極值，從而證明不等式，并獲得不等式：當(dāng)a，b，c>0，a+b+c=1時(shí)，（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2≥。

【關(guān)鍵詞】多參數(shù)不等式;駐點(diǎn);極值

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0003-02

利用多元函數(shù)的（無(wú)）條件極值可以求出函數(shù)的極大（小）值，當(dāng)極大（小）值是函數(shù)在定義域內(nèi)的最大（小）值時(shí)，可以獲得不等式。反過(guò)來(lái)，要證明一個(gè)多元參數(shù)不等式，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)多元函數(shù)的（無(wú)）條件極值，再判斷函數(shù)的極大（小）是最大（小）值，從而獲得不等式。

1? ?極值點(diǎn)的判定

目前的教材《高等數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)分析》中，是利用二階偏導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷多元可微函數(shù)的極大（小）值，但這種方式并不徹底[1-3]。本文給出利用多元函數(shù)在駐點(diǎn)附近的函數(shù)值，來(lái)判斷函數(shù)的駐點(diǎn)是否為極大（小）值點(diǎn)，并通過(guò)構(gòu)造多元函數(shù)的條件極值來(lái)探索一些多參數(shù)不等式。

對(duì)于任意一個(gè)二元可微函數(shù)z=f（x，y），可以求出它的駐點(diǎn)，即方程組的解（x0，y0）稱(chēng)為函數(shù)f（x，y）的駐點(diǎn)。如何判斷該駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)？筆者給出下面的定理：設(shè)（x0，y0）是可微函數(shù)z=f（x，y）的駐點(diǎn)，若方程

f（x，y）?f（x0，y0）=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

在點(diǎn)（x0，y0）的某鄰域內(nèi)解不唯一，則該駐點(diǎn)不是函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)。在該駐點(diǎn)的某鄰域內(nèi)解唯一，且對(duì)于任意正數(shù)ε，當(dāng)方程

f（x，y）?f（x0，y0）? ε=0? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，則它為函數(shù)f（x，y）的極大值點(diǎn)。當(dāng)方程

f（x，y）?f（x0，y0）+ ε=0? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，則它為函數(shù)f（x，y）的極小值點(diǎn)。

證明：設(shè)隱函數(shù)F（x，y）=f（x，y）?z，法向量=（fx（x，y）， fy（x，y）?1）。因?yàn)椋▁0，y0）是可微函數(shù)的駐點(diǎn)，所以fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0。

于是，在駐點(diǎn)（x0，y0）處的法向量=（0，0，?1），曲面z=f（x，y）在該點(diǎn)有水平的切平面z=f（x0，y0）。根據(jù)函數(shù)的幾何意義，方程（1）的解不唯一，說(shuō)明這個(gè)曲面與切平面相交，且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)多于一個(gè)，通常是連續(xù)曲線。交點(diǎn)不是唯一點(diǎn)，當(dāng)然不可能是極值點(diǎn)。

方程（1）有唯一解，說(shuō)明曲面與切平面相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)M（x0，y0），f（x0，y0），而方程（2）無(wú)解，說(shuō)明對(duì)于任意正數(shù)ε，曲面與平面z=f（x0，y0）+ε不相交，因而交點(diǎn)M為函數(shù)在點(diǎn)（x0，y0）的該鄰域內(nèi)的局部最高點(diǎn)。也就是f（x，y）

事實(shí)上，對(duì)于點(diǎn)（x0，y0）不是函數(shù)的駐點(diǎn)，利用極值的定義也可證明該定理。該定理利用多元函數(shù)在駐點(diǎn)的函數(shù)值建立參數(shù)方程，根據(jù)此方程是否有解，判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。當(dāng)求出函數(shù)f（x，y）的駐點(diǎn)（x0，y0）后，利用計(jì)算機(jī)判斷該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，判斷該極值點(diǎn)是否為函數(shù)的極大（小）值點(diǎn)。

2? ?構(gòu)造條件極值探索不等式

拉格朗日乘數(shù)法：如何尋找函數(shù)z=f（x，y）在附加條件φ（x，y）=0下的可能極值點(diǎn)？先作拉格朗日函數(shù)

F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）? ? ? ? ? ? ?（4）

其中λ為參數(shù)，也可以看作一個(gè)新的變量。求其對(duì)x，y，λ的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，便得：

（5）

由方程組（5）解出同時(shí)滿足三個(gè)方程的點(diǎn)（x0，y0），是函數(shù)f（x，y）在附加條件φ（x，y）=0下的可能極值點(diǎn)，稱(chēng)為條件駐點(diǎn)。對(duì)每一個(gè)條件駐點(diǎn)，利用前面的定理進(jìn)行排查，找出極值點(diǎn)。

根據(jù)n元函數(shù)z=f（x1，x1，…，xn）極值的定義，容易知道有類(lèi)似的定理，利用它可以求出函數(shù)的極大（小）值或最大（小）值。對(duì)于任意一個(gè)多元可微函數(shù)，可以構(gòu)造許多條件極值。當(dāng)條件駐點(diǎn)唯一時(shí)，若駐點(diǎn)是極大（小）值點(diǎn)，可以求出某個(gè)區(qū)域內(nèi)函數(shù)的最大（小）值，從而獲得一些不等式。同時(shí)對(duì)于一些要證明的多參數(shù)不等式，可以構(gòu)造多元函數(shù)的條件極值，求出駐點(diǎn)，算出極大（小）值，從而達(dá)到證明不等式的目的。

例：設(shè)a，b，c>0，a+b+c=1，證明（a+b）2+（b+c）2+

（a+c）2≥。

證明：設(shè)函數(shù)f（x，y，z）=（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2，它在[0，1]3上連續(xù)，存在最大（小）值。在約束條件x+y+z=1下，計(jì)算該函數(shù)的極值。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

L（x，y，z）=（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2+λ（x+y+z?1），

求駐點(diǎn)：

Lx=2（x+y）+2（x+z）+λ=0，

Ly=2（x+y）+2（y+z）+λ=0，

Lz=2（y+z）+2（x+z）+λ=0，

Lλ=x+y+z?1=0。

解得x=y=z=，λ=?。

駐點(diǎn)（，，），是可能極大（小）值點(diǎn)，極大（小）值為。

利用前面的定理來(lái)說(shuō)明該極值為極小值。也就是說(shuō)，對(duì)于任意正數(shù)ε，方程f（x，y，z）?f（x0，y0，z0）+ε=0無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，即方程

（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2?+ε=0（ε>0）? ? ? ?（6）

在條件x+y+z=1下無(wú)實(shí)數(shù)解。

根據(jù)求多元方程數(shù)值解的方法，在駐點(diǎn)（，，

）的某鄰域內(nèi)，取一些點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)說(shuō)明方程（6）

無(wú)解。

令x=0.30（<），y=y0，

z=1?0.3?y0=0.7?y0，

代入（6）式，可得

（0.3+y0）2+0.72+（1?y0）2?+ε=0，

即2y02?1.4y0+0.25+ε=0? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

二次方程判別式

?=1.42?4×2×（0.25+ε）=?0.04?8ε<0 （ε>0），

方程（7）無(wú)實(shí)數(shù)解。

令x=，y=y0，z=?y0，代入（6）式，可得

（+y0）2+（）2+（1?y0）2?+ε=0，

即2y02?y0++ε=0，? ? ? ? ? ? ? ? （8）

?=（）2?4×2×（+ε）=?8ε<0? （ε>0），

方程（8）無(wú)實(shí)數(shù)解。

令x=0.35（>），y=y0，z=0.65?y0，

代入（6）式，可得

（0.35+y0）2+0.652+（1?y0）2?+ε=0，

用同樣的方法，可以說(shuō)明該方程無(wú)實(shí)數(shù)解。當(dāng)然也可取更多的函數(shù)值來(lái)判斷是函數(shù)f（x，y，z）的極小值，取的函數(shù)值越多越有說(shuō)服力。因此，該駐點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為。獲得所證不等式。

本題也可以證明方程（6）無(wú)實(shí)數(shù)解。

令x=+δ，y=y0，z=?δ?y0，

代入（6）式，可得

（+δ+y0）2+（?δ）2+（1?y0）2?+ε=0，

即

2y02+（2δ?）y0+（?δ+2δ2+ε）=0， （9）

?=（2δ?）2?4×2×（?δ+2δ2+ε）

=?4（3δ2+2ε）<0 （ε>0），

方程（9）無(wú)實(shí)數(shù)解，根據(jù)δ的任意性，方程（9）點(diǎn)

（，，）的某鄰域內(nèi)無(wú)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極小值。

下面給該不等式一個(gè)幾何解釋?zhuān)毫顄=x+y，v=y+z，w=x+z，約束條件x+y+z=1轉(zhuǎn)化為u+v+w=2，在坐標(biāo)系O?uvw下，它表示一個(gè)平面π;目標(biāo)函數(shù)f（x，y，z）=

u2+v2+w2=R2表示一個(gè)球心在坐標(biāo)原點(diǎn)的球面S。上面的條件極值，就是球面S與平面π相切的條件，切點(diǎn)就是極小值點(diǎn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)主編.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]華東師范大學(xué)主編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育版社，2004.

[3]杜先云，任秋道.如何利用構(gòu)造法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（34）.

【作者簡(jiǎn)介】

杜先云（1964～），男，漢族，四川三臺(tái)人，博士，教授。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

任秋道（1965～），男，漢族，四川鹽亭人，碩士，副教授。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

*基金項(xiàng)目：本文系四川省教育廳2016年自然科學(xué)基金資助“高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究與改革”（項(xiàng)目編號(hào)：16ZB0314）階段性成果。