談待定系數(shù)法在中學數(shù)學中的若干應用

【摘 要】待定系數(shù)法在解決數(shù)列問題時有著重要的作用，特別是在解決復雜和多參問題時有獨特作用。隨著時代的發(fā)展和進步，待定系數(shù)法的內(nèi)涵和外延更加廣泛和豐富，成為了一種重要的數(shù)學思想和方法。

【關(guān)鍵詞】待定系數(shù)法;中學;數(shù)學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0072-02

待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)的方法，即要確定變量間的關(guān)系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法。解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組來解決。判斷一個問題是否能用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解[1]。

待定系數(shù)法是中學數(shù)學常用的解決問題的方法，它貫穿于整個中學數(shù)學教學中，所以必須引起高度重視，教師應當要認真研究并熟練掌握。使用待定系數(shù)法解題的基本步驟一般為：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式;第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程;第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)[2]。下面談談待定系數(shù)法在數(shù)學中的若干應用。

1? ?在函數(shù)問題中的應用

在求函數(shù)解析式時，經(jīng)常采用待定系數(shù)法。其理論依據(jù)是多項式恒等的條件，也就是利用了多項式f（x）=

g（x）的充要條件：對于任意一個x值，都有f（x）= g（x），則兩個多項式同類項的系數(shù)對應相等。

例1：已知f（x）的導函數(shù)f'（x）是一次函數(shù)，且x2f'（x）?（2x?1）f（x）=1，求f（x）的解析式。

分析：首先根據(jù)題意，判斷f（x）的形式，再引入待定系數(shù)，最后利用恒等關(guān)系列出方程組求解即可。

解：∵f（x）的導函數(shù)f'（x）是一次函數(shù)，

∴ 設f（x）=ax2+bx+c （a≠0），

則f'（x）=2ax+b，

又∵ x2f'（x）?（2x?1）f（x）=1，

∴? x2（2ax+b）?（2x?1）（x2+bx+c）=1，

整理得：（a?b）x2+（b?2c）x+c=1，

由等式兩邊對應項系數(shù)相等，得到，解得，所以f（x）=2x2+2x+1。

2? ?在向量問題中的應用

向量是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性。向量的數(shù)形遷移思想在解決問題中很重要，向量相等的定義以及向量的幾何意義為利用待定系數(shù)法解決一些問題帶來了契機。

例2：如圖1，在?ABC中，BO為邊AC上的中線，，設∥，若=+λ（λ∈R），求λ的值。

所以，解得，所以λ的值為。

3? ?在數(shù)列問題中的應用

在數(shù)列問題解決中，經(jīng)常利用通項公式和求和公式。由于數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)，通項公式an= f（n）和求和公式Sn=g（n）都可以看成n（n∈N*）的函數(shù)，所以，利用這一特性有些問題便能迎刃而解。

例3：已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足：a2·a4=65，a1+a5=18。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式an。

（2）是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)k;若不存在，請說明理由。

分析：首先求出Sn的表達式，再利用數(shù)列的一般性質(zhì)列出恒等關(guān)系，最后便可解決問題。

解：（1）{an}為等差數(shù)列，∵ a1+a5=a2+a4=18，又

∵ a2·a4=65，

∴ a2，a4是方程x2?18x+65=0的兩個根，

又∵ 公差d >0，∴ a2

∴ ，∴ a1=1，d=4。

∴ an=4n?3。

（2）由（1）知，Sn=n·1+·4=2n2?n，假

設存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可知設=an+b，得2n2+（k?1）n=

an2+2abn+b恒成立，利用待定系數(shù)法可得，解得a=2，b=0，k=1。

所以數(shù)列{}為等差數(shù)列。

4? ?在立體幾何問題中的應用

在求二面角的平面角時經(jīng)常要求平面的法向量，而求平面的法向量就是根據(jù)恒等的思想方法，利用待定系數(shù)法，通過賦值來確定的。

例4：如圖2，在三棱錐D-ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB=90°，且AC=AD=1，AB=2，E為BD的中點，求二面角A-CE-B的余弦值。

分析：首先建立空間直角坐標系（如圖3所示），設法向量，再通過恒等的概念得到方程組，因為未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，所以采用賦值法得到確定待定系數(shù)的方程組，最后求解。

解：設平面ACE的法向量為n1=（x，y，z），

∵ =（1，1，0），=（0，1，），

∴ n1·=0，n1·=0，即x=0且y+z=0，取 y=1，得x=0，z=?2，

∴ n1=（0，1，?2）是平面ACE的一個法向量。

設平面BCE的法向量為n2=（x，y，z），

∵ =（1，?2，0），=（0，?1，），

∴ n2·=0，n2·=0，

即x?2y=0且?y+z=0，取 y=1，得x=2，z=2，

∴ n2=（2，1，2）是平面BCE的一個法向量。

∴ cos===。

所以二面角A-CE-B的余弦值為。

總之，待定系數(shù)法在分解因式、求函數(shù)解析式、求復數(shù)、求向量、求曲線方程等方面都有著廣泛運用。因此，教師要認真學習鉆研，在教學中引領(lǐng)學生學習和利用它解決一些實際問題，幫助學生提高分析問題、解決問題的能力。待定系數(shù)法能夠很好地體現(xiàn)學生的認知水平，凸顯學生的數(shù)學素養(yǎng)，對學生終身學習和發(fā)展大有裨益。

【參考文獻】

[1]葉立軍.初等數(shù)學研究[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[2]張大任.待定系數(shù)法[J].數(shù)學方法，2006（9）.

【作者簡介】

趙微（1980～），女，漢族，江蘇蘇州人，本科，中學一級教師。研究方向：數(shù)學教學。