淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中線段中點(diǎn)、角平分線題型的解題策略

譚極陽(yáng)　譚杰中　李杰　楊文

【摘 要】面對(duì)幾何問(wèn)題，許多學(xué)生往往不會(huì)書寫解題過(guò)程、解題思維混亂、解題格式不規(guī)范。究其原因，主要是學(xué)生沒(méi)能把握此類問(wèn)題中題目或圖形的特點(diǎn)，沒(méi)能抓住不同問(wèn)題的共同特征。筆者通過(guò)對(duì)有關(guān)線段中點(diǎn)、角平分線問(wèn)題的梳理，發(fā)現(xiàn)只要能找到題目中存在的公共端點(diǎn)或公共射線，就能夠知道是將所求線段或角相加還是相減，此舉有利于掃清學(xué)生認(rèn)知障礙，確定書寫步驟，達(dá)到高效解題的目的。

【關(guān)鍵詞】線段中點(diǎn);角平分線;解題策略;公共端點(diǎn);公共射線

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0081-03

求解或證明幾何問(wèn)題，需要提煉題目中的關(guān)鍵信息，分析同種類型題目的不同之處，并能找到不同題目的相似之處。解決幾何圖形題需要注意積累基本圖形，學(xué)會(huì)將復(fù)雜幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)換成已掌握的一個(gè)或多個(gè)基本圖形，并逐個(gè)擊破，從而高效解題。

下面，筆者主要對(duì)北師大版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第四章“基本平面圖形”中常見(jiàn)的考題進(jìn)行歸類，并加以分析。以期讓學(xué)生準(zhǔn)確把握這類題型的特點(diǎn)，找到圖形的關(guān)鍵信息，明確書寫步驟，并掌握相關(guān)題型的思考方式，為以后初中數(shù)學(xué)幾何部分的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

1? ?找到公共端點(diǎn)或公共射線

1.1? 尋找線段中點(diǎn)類型題目的公共端點(diǎn)

何為公共端點(diǎn)？當(dāng)題目出現(xiàn)多條已知線段，這些線段中重復(fù)多次出現(xiàn)的點(diǎn)即為公共端點(diǎn)，而公共端點(diǎn)就是一個(gè)很好的解題突破口。如已知線段AB、BC，則點(diǎn)B為公共端點(diǎn)，這是解決這類問(wèn)題或者以后研究幾何題目首先需要關(guān)注的地方。

1.1.1? 公共端點(diǎn)在內(nèi)部

例1：如圖1，已知M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)。若AC=2 cm，BC=4 cm，求MN的長(zhǎng)。

解析：例1為本章常規(guī)題型，大部分學(xué)生能求出MN的長(zhǎng)度，但是在思考和書寫上面就相對(duì)混亂，不知道由線段中點(diǎn)的定義，到底是要得到AM=MC=AC，還是AC=2AM=2MC;也不清楚MN是通過(guò)怎樣的加、減轉(zhuǎn)換得到;更加不能推導(dǎo)出MN與AB的數(shù)量關(guān)系。

其實(shí)在解決此類問(wèn)題時(shí)，只要抓住題目中M、N到底是哪兩條線段的中點(diǎn)，找到這兩條線段的公共端點(diǎn)，所有的書寫難點(diǎn)都可以一一突破。

回顧題目“已知M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)”，按照筆者的思路，發(fā)現(xiàn)相鄰兩條線段AC、BC的公共端點(diǎn)為“點(diǎn)C”，而點(diǎn)C位于所求線段MN的內(nèi)部，則所求線段MN一定是表示成MC+NC。這樣分析后，思維障礙得以消除，書寫難度得以降低。下面將解答過(guò)程附上，以驗(yàn)證筆者的觀點(diǎn)。

解：∵ M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)（已知），

∴ MC=AC，NC=BC（線段中點(diǎn)的定義），

∴ MN=MC+NC

=AC+BC（等量代換）

=（AC+BC）（乘法分配律逆用）

=AB。

只要是上述類似的題目，都可以借鑒上面的書寫格式，進(jìn)而得到正確答案。

1.1.2? 公共端點(diǎn)在外部

例2：如圖2，已知M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)。若AB=6 cm，BC=4 cm，求MN的長(zhǎng)。

解析：面對(duì)例2這類題時(shí)，學(xué)生往往不善于分析題目信息，盲目地認(rèn)為B點(diǎn)就是公共端點(diǎn)，但其實(shí)不然，學(xué)生太過(guò)關(guān)注已知長(zhǎng)度的線段，而忽視產(chǎn)生中點(diǎn)的線段。教師可以引導(dǎo)學(xué)生再次審視題目，并與例1進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)“M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)”是這兩道例題的相同部分，所以點(diǎn)C才是公共端點(diǎn)。

例2與例1的題干可以說(shuō)是一模一樣，只是題目所給數(shù)據(jù)和圖形有所區(qū)別。按照筆者的思路，也能夠發(fā)現(xiàn)兩條重疊的已知線段AC、BC的公共端點(diǎn)為“點(diǎn)C”，而點(diǎn)C位于所求線段MN的外部，所求線段MN一定是表示成MC?NC。通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)例2與例1的區(qū)別只是將“+”變成了“?”，其他步驟過(guò)程應(yīng)該保持不變。

解：∵ M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)（已知），

∴ MC=AC，NC=BC（線段中點(diǎn)的定義），

∴ MN=MC?NC

=AC?BC（等量代換）

=（AC?BC）（乘法分配律逆用）

=AB。

上述兩例均為求解由兩條已知線段的中點(diǎn)構(gòu)成一條新線段長(zhǎng)的問(wèn)題，筆者對(duì)這類問(wèn)題的求解步驟進(jìn)行了如下總結(jié)：

（1）首先找到兩條已知線段的公共端點(diǎn)。

（2）如果公共端點(diǎn)在所求線段內(nèi)部，則將所求線段書寫成加法運(yùn)算;如果公共端點(diǎn)在所求線段外部，則將所求線段書寫成減法運(yùn)算。

（3）通過(guò)乘法分配律的逆用，得到所求線段為剩下兩個(gè)非公共端點(diǎn)構(gòu)成的線段的一半。

上述兩種圖形稱為線段中點(diǎn)類問(wèn)題的基本圖形，分析較復(fù)雜題目時(shí)，首先考慮分解出此類圖形。

1.2? 尋找角平分線類型題目的公共射線

何為公共射線？可以類比給出解釋：當(dāng)題目出現(xiàn)多個(gè)已知角，這些角中重復(fù)多次出現(xiàn)的射線即為公共射線。如已知∠AOB、∠BOC，則可以先關(guān)注公共射線OB。

1.2.1? 公共射線在內(nèi)部

例3：如圖3，已知OE平分∠BOC，OD平分∠AOC。若∠BOC=40°，∠AOC=70°，求∠DOE的度數(shù)。

運(yùn)用類似于上面找公共端點(diǎn)的方法來(lái)找公共射線。觀察圖形可以知道相鄰兩個(gè)角∠BOC、∠AOC的公共射線為“射線OC”，而射線OC位于所求∠DOE的內(nèi)部，所求∠DOE一定是表示成∠DOC+∠EOC。

解：∵ OE平分∠BOC，OD平分∠AOC（已知），

∴ ∠EOC=∠BOC，∠DOC=∠AOC（角平分線的定義），

∴ ∠DOE=∠EOC+∠DOC

=∠BOC+∠AOC（等量代換）

=（∠BOC+∠AOC）（乘法分配律逆用）

=∠AOB。

1.2.2? 公共射線在外部

例4：如圖4，已知OE平分∠BOC，OD平分∠AOC。若∠BOC=40°，∠AOC=130°，求∠DOE的度數(shù)。

解析：由圖可知∠BOC、∠AOC的公共射線為“射線OC”，而射線OC位于所求∠DOE的外部，所求∠DOE一定應(yīng)該是表示成∠DOC?∠EOC。這里需要特別注意，因?yàn)橛^察圖形發(fā)現(xiàn)∠DOC比∠EOC大，所以只能用∠DOC減∠EOC。

解：∵ OE平分∠BOC，OD平分∠AOC（已知），

∴ ∠EOC=∠BOC，∠DOC=∠AOC（角平分線的定義），

∴ ∠DOE=∠DOC?∠EOC

=∠AOC?∠BOC（等量代換）

=（∠AOC?∠BOC）（乘法分配律逆用）

=∠AOB。

上述兩例均為求解由兩個(gè)已知角的角平分線構(gòu)成一個(gè)新角的問(wèn)題，筆者通過(guò)對(duì)其分析，對(duì)這類問(wèn)題也進(jìn)行了步驟總結(jié)：

（1）首先找到兩個(gè)已知角的公共射線。

（2）如果公共射線在所求角的內(nèi)部，則將所求角書寫成加法運(yùn)算;如果公共射線在所求角的外部，則將所求角書寫成減法運(yùn)算。

（3）通過(guò)乘法分配律的逆用，得到所求角為剩下兩條非公共射線構(gòu)成角的一半。

上述兩種圖形稱為角平分線類問(wèn)題的基本圖形，分析較復(fù)雜題目時(shí)，首先考慮分解出此類圖形。

2? ?通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化成上述基本圖形

有一類題目無(wú)法直接找到圖形中的公共端點(diǎn)或公共射線，但是已知條件又和上面的類型完全一樣，同樣也是求“兩條已知線段中點(diǎn)構(gòu)成一條新線段”或“兩個(gè)已知角的角平分線構(gòu)成的一個(gè)新角”與已知條件之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生碰到此類問(wèn)題往往不知所措，因?yàn)樗麄儧](méi)有掌握將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法。

2.1? 涉及線段中點(diǎn)但無(wú)公共端點(diǎn)的題型

例5：如圖5，已知AB=12 cm，CD=5 cm，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)度。

解析：學(xué)生完成這類題目時(shí)，常出現(xiàn)書寫不規(guī)范的情況。為幫助學(xué)生掌握使用基本幾何圖形解決復(fù)雜問(wèn)題的思路，本題采用構(gòu)造中點(diǎn)的方式進(jìn)行解答。

通過(guò)作CD的中點(diǎn)G，將EF轉(zhuǎn)化為EG+FG，然后再將原圖形看成兩個(gè)與上述總結(jié)的基本圖形完全一樣的圖形（如圖6、圖7）。在圖6中，由于點(diǎn)C為線段AC、CD的公共端點(diǎn)，使用前面的結(jié)論很容易得到EG=AD;在圖7中，點(diǎn)D為線段CD、BD的公共端點(diǎn)，所以得到FG=BC。從而有EF=EG+FG=AD+BC=（AB+CD）。

2.2? 涉及角平分線但無(wú)公共射線的題型

例6：如圖8，已知∠AOD=160°，∠BOC=160°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD。求∠MON的大小。

解析：通過(guò)作∠BOC的角平分線OE，將∠MON轉(zhuǎn)化為∠NOE+∠MOE，然后再將原圖形看成兩個(gè)與上述總結(jié)的基本圖形完全一樣的圖形（如圖9、圖10）。在圖9中，由于射線OB為∠BOD、∠BOC公共射線，使用上面的結(jié)論很容易得到∠NOE=∠DOC;圖10中，同樣射線OC也為∠AOC、∠BOC公共射線，所以得到∠MOE=∠AOB。從而有∠MON=∠NOE+∠MOE

=∠DOC+∠AOB

=（∠AOD?∠BOC）。

3? ?引導(dǎo)學(xué)生抓住題型特點(diǎn)

3.1? 回顧反思

回顧上述例5、例6這兩個(gè)較復(fù)雜的題目，一個(gè)結(jié)果中是已知線段相加，而另一個(gè)是已知角相減，看上去沒(méi)有前面4個(gè)例子介紹的直觀結(jié)論。其實(shí)在研究這些題目的時(shí)候，只需要引導(dǎo)學(xué)生找到題目中含有哪些常見(jiàn)的基本幾何圖形，接著再觀察本題中線段或角的大小關(guān)系、位置關(guān)系，就可以得到完整的正確的解答（證明）過(guò)程。

在給學(xué)生講解幾何問(wèn)題時(shí)，教師不能就題講題，只讓學(xué)生掌握本題的書寫或記住此題的結(jié)果，而是要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)挖掘類似題目的相關(guān)信息，找到其中的特點(diǎn)并加以研究。解決復(fù)雜幾何問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生能從中提取出一些自己已經(jīng)掌握的基本圖形，再用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，從而達(dá)到降低解題難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提高解題效率的效果。

3.2? 總結(jié)提升

3.2.1? 有助于學(xué)生準(zhǔn)確把握題型特點(diǎn)

本類型題目不存在特別復(fù)雜的情況，主要是把握本題的特點(diǎn)——雙中點(diǎn)或雙角平分線。如果學(xué)生以后碰到類似問(wèn)題，完全能夠準(zhǔn)確把握題目給出的公共端點(diǎn)或公共射線，進(jìn)行思考和解題。

3.2.2? 有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形關(guān)鍵信息

本類型題目作為初中幾何的開(kāi)始章節(jié)，有助于學(xué)生在圖形中標(biāo)記關(guān)鍵信息（公共端點(diǎn)或公共射線），通過(guò)幾何圖形直觀發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的解決途徑。

3.2.3? 有助于學(xué)生正確且清晰地書寫

學(xué)生往往不能夠十分簡(jiǎn)潔、正確的進(jìn)行步驟的書寫，本文通過(guò)“角平分線的定義、確定加（減）運(yùn)算、使用等量代換、利用乘法分配律”等步驟，引導(dǎo)學(xué)生正確且清晰地書寫幾何問(wèn)題解題步驟。

3.2.4? 有助于學(xué)生掌握高效思考方法

能夠快速找到最為簡(jiǎn)潔的解題方法，是學(xué)生通過(guò)教師的指導(dǎo)應(yīng)該達(dá)到的水平。本文既為教師提供了幫助，也有助于學(xué)生通過(guò)這類題型的學(xué)習(xí)，提升自己思維能力，掌握高效思考方法。