淺談高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)追問策略

【摘 要】數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，教師要特別重視概念教學(xué)。以追問教學(xué)策略優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)，能幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，進行一般化、比較、特殊化教學(xué)追問，教師能更好地教學(xué)數(shù)學(xué)概念，可以幫助學(xué)生掌握“四基”和提高“四能”，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)追問;策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0106-02

新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革所要求的教學(xué)方法都指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。如何通過數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是廣大高中數(shù)學(xué)教師研討的熱點。筆者探討了以教學(xué)追問優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)、創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的策略，希望能促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到良好發(fā)展。

1? ?數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，它是建立數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是進行計算和證明的基礎(chǔ)。由此可知，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心。

美國教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“用基本的、一般的觀念來不斷擴大和加深知識應(yīng)當(dāng)成為教育過程的核心。”中科院李邦河院士也曾說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。”數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握“書本知識”，更重要的是讓學(xué)生從中體驗數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，體會數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點看待和認識世界的方式，學(xué)會用概念思維。

2? ?教學(xué)追問的概念

教學(xué)追問是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，追根究底地提問，并針對學(xué)生的回答進一步提問深挖，由此引發(fā)學(xué)生深度思考。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)追問定義包含以下幾點：教學(xué)追問是提問的一種方式，是教師在初次提問基礎(chǔ)上針對學(xué)生的回答進一步提問;教學(xué)追問是教師結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容預(yù)設(shè)問題的教學(xué)方式;教師通過教學(xué)追問能引發(fā)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷優(yōu)化和創(chuàng)新教學(xué)方法。教學(xué)追問作為有效的教學(xué)方法，可以幫助學(xué)生理解、掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

3? ?追問策略

教師參考書中談到：“要讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識，靠掐頭去尾燒中段、靠大量解題訓(xùn)練是做不到的，必須讓他們經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對象的獲得，到研究數(shù)學(xué)對象，再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的完整過程。”[1]因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計應(yīng)該要有三大環(huán)節(jié)：概念形成、概念辨析、概念應(yīng)用。概念形成環(huán)節(jié)是教師通過典型事例和背景引入，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、分析、比較、綜合等活動，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性;概念辨析環(huán)節(jié)是教師以實例（正例或反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，使學(xué)生明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的對象具有的本質(zhì)屬性，明確概念所指的是哪些對象（即概念的使用范圍）;概念應(yīng)用環(huán)節(jié)是教師要用有代表性的具體事例引導(dǎo)學(xué)生積極思考，其目的是讓學(xué)生會用定義作出判斷和得到性質(zhì)。

教師參考書中還談到：“從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過程來看，通過類比、推廣、特殊化等，可以有力地促進我們的數(shù)學(xué)思考，使我們更有效地尋找出自己感興趣的問題，從中獲得研究方法的啟示。”[2]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計的三大環(huán)節(jié)，筆者從一般化、比較、特殊化三個方面進行教學(xué)追問。

3.1? 一般化

一般化是指“從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合;或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大集合。”[3]英國數(shù)學(xué)教授梅森（J.Mason）認為，一般化相對于特殊化而言更為困難，但這又應(yīng)被看成數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一個基本形式，因為數(shù)學(xué)認識的根本目的就是要揭示更普遍、更深刻的規(guī)律。在概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提供典型的具體例證，使學(xué)生經(jīng)歷具體事例共性的分析、歸納過程，通過教學(xué)追問，讓學(xué)生更容易理解更普遍、更深刻的規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生用特殊到一般的歸納推理過程，讓學(xué)生自己概括出共同本質(zhì)特征，進而抽象出數(shù)學(xué)概念。這樣學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力能得到提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到發(fā)展。

案例1：在“冪函數(shù)”概念形成教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計了以下追問：

問題：我們知道可以用函數(shù)刻畫現(xiàn)實世界中的實際問題，請思考課本中的5個例子。

追問1：我們習(xí)慣用x表示自變量，用 y表示函數(shù)值，大家怎么用x和 y改寫課本中的5個解析式？

追問2：請同學(xué)觀察這五個函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征來觀察它們的共性？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，通過兩個追問，學(xué)生更容易概括出五個函數(shù)的共同特征：都具有冪的形式，冪的底數(shù)是變量，指數(shù)為定值，得到概念的本質(zhì)屬性，進而抽象出“冪函數(shù)”概念，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

3.2? 比較

比較是認識事物的一種方法，根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，把有某些聯(lián)系的兩種或兩種以上的事物加以對照，確定它們之間的異同及相互關(guān)系，形成對事物的認識。“有比較才能鑒別”，在概念辨析的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師利用比較的方法進行教學(xué)追問，引導(dǎo)學(xué)生對照各種概念，尋找它們的異同點，從而深入地分析和確定它們的特殊屬性和一般屬性，這樣可以幫助學(xué)生全面、精確、深刻地了解不同概念的本質(zhì)特征及各概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師把“這個概念與相鄰概念之間有何聯(lián)系與區(qū)別”這種問題傳遞給學(xué)生，學(xué)生就會圍繞這個概念逐步構(gòu)建起一個概念網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點越多、通道越豐富，學(xué)生對概念的理解就越深刻。面臨復(fù)雜問題時，學(xué)生就容易產(chǎn)生思維指向，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化、遷移，這正是形成數(shù)學(xué)能力的基本要素。

案例2：在“二面角及其平面角”概念辨析教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計了以下追問。

問題：經(jīng)過探究，我們定義了二面角及其平面角，你能理解它們嗎？

追問1：你會比較二面角與它的平面角嗎？

追問2：你會比較二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角嗎？

設(shè)計說明：通過比較，幫助學(xué)生區(qū)別概念的本質(zhì)屬性。二面角是由面―線―面構(gòu)成的面面角，二面角是空間圖形;平面角是由線―點―線構(gòu)成的線線角，平面角是平面圖形。二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角雖然都由“平面的角”來度量，但二面角是由兩條射線構(gòu)成的平面角來度量，后兩種角是由兩條直線所成的角來度量，所以二面角與后兩種角的大小范圍不同。這樣學(xué)生既能清晰地理解概念的連續(xù)性和發(fā)展性，又領(lǐng)悟到分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.3? 特殊化

特殊化是指“從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小的集合，或僅僅一個對象”[3]。在概念應(yīng)用的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過教學(xué)追問，要啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)概念的定義做出判斷并得到性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生會用一般到特殊的演繹推理思考和解決問題，鼓勵學(xué)生推導(dǎo)多個結(jié)論。這樣學(xué)生在更加深入地理解數(shù)學(xué)概念的同時，分析和解決問題的能力也能得到提高，最終促進學(xué)生邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

案例3：在“單調(diào)性”概念應(yīng)用教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計了以下追問。

問題：研究完函數(shù)單調(diào)性的定義，你會用它作簡單判斷嗎？

追問1：定義域為（?∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù) f（x）在（?∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞減，能判斷出 f（x）是定義域上的減函數(shù)嗎？請舉例說明。

追問2：定義域為R的函數(shù) f（x）在（?∞，0]上單調(diào)遞減，[0，+∞）上單調(diào)遞減，能判斷出 f（x）是R上的減函數(shù)嗎？

追問3：你能歸納總結(jié)出一些結(jié)論嗎？

設(shè)計說明：以上追問是為了讓學(xué)生區(qū)分“單調(diào)遞減（遞增）”與“減（增）函數(shù)”概念，同時也是為引導(dǎo)學(xué)生認識函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），在它們的并集上不一定保持單調(diào)遞減（遞增）的性質(zhì)。教師要及時鼓勵學(xué)生應(yīng)用概念的定義推理證明出性質(zhì)或結(jié)論。

教師要想方設(shè)法教好數(shù)學(xué)，使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，“學(xué)好數(shù)學(xué)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提，教好數(shù)學(xué)是落實核心素養(yǎng)的關(guān)鍵”[4]。在概念形成環(huán)節(jié)進行一般化教學(xué)追問，概念辨析環(huán)節(jié)進行比較教學(xué)追問，概念應(yīng)用環(huán)節(jié)進行特殊化教學(xué)追問，教師就能更好地進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，幫助學(xué)生掌握“四基”和提高“四能”，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進一步提高。

【參考文獻】

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書：數(shù)學(xué)A版必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書：數(shù)學(xué)A版必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[4]章建躍.把數(shù)學(xué)教好是落實核心素養(yǎng)的關(guān)鍵[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（5）.

【作者簡介】

羅文三（1967～），男，漢族，福建永安人，本科，高級教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。