豐富表象與數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

【摘 要】數(shù)學(xué)思維中最簡單、最基礎(chǔ)的活動，就是在主觀意識的支配下，以數(shù)學(xué)表象為基礎(chǔ)開展的活動。只有通過表象這一橋梁，在多種感官的參與下完成動態(tài)的思維過程，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

【關(guān)鍵詞】表象;數(shù)學(xué)建模;小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0221-02

小學(xué)數(shù)學(xué)知識存在抽象性和概括性，而小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體形象思維為主要形式，二者之間形成了矛盾，這也是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要困境。解決這一矛盾的重要辦法就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生提供各種利于感知的學(xué)習(xí)材料，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、操作、觀察等方法，通過比較、分析和綜合、抽象與概括等基本思維方法，創(chuàng)造正確、清晰的數(shù)學(xué)表象，然后將抽象的知識形象化，從而使學(xué)生獲得準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。

1? ?現(xiàn)狀透視

1.1? 直觀模糊，表象不深刻

小學(xué)生空間觀念的形成是在感知的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、分析等活動獲得點(diǎn)、線、角、面、體的感知與認(rèn)識，從而逐步形成簡單幾何圖形的形態(tài)、大小、位置的表象。心理學(xué)研究表明，學(xué)生對表象印象越深刻，對知識的本質(zhì)意義理解也會更深入。但是，剛建立起來的表象存在不穩(wěn)定、不鮮明的特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中仍舊錯誤百出[1]。

1.2? 算理不清，表象易混淆

簡便計算是小學(xué)數(shù)學(xué)計算的重要技巧，對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性和提高學(xué)生計算能力具有重要意義。但是，學(xué)生在簡便計算過程中容易被算式中的“表象”迷惑。學(xué)生在計算過程中，一旦發(fā)現(xiàn)可以組合在一起的數(shù)字，就不會對算式進(jìn)行梳理和分析，直接將數(shù)字“湊”在了一起，導(dǎo)致結(jié)果計算錯誤。

1.3? “表象”定式，缺乏靈活性

在構(gòu)建不同問題的數(shù)學(xué)模型時，需要對不同類型的問題進(jìn)行分析、比較，從而幫助學(xué)生對不同的數(shù)學(xué)模型融會貫通、靈活運(yùn)用。對于變式題型，教師要幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)思維的阻點(diǎn)，找出內(nèi)因，解疑釋惑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“求比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)”是兩步加減計算的基礎(chǔ)，更是學(xué)生后續(xù)利用四則運(yùn)算解決問題的基礎(chǔ)。這一知識點(diǎn)的重點(diǎn)在于分析數(shù)量關(guān)系，并確定運(yùn)算模型。但許多學(xué)生看到“少”就用減法，看到“多”就用加法，并沒有對變式的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析與思考，從而導(dǎo)致錯誤

建模。

2? ?研究策略

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型的建立是學(xué)生在原有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對新信息重新認(rèn)識和編碼，從而完善知識結(jié)構(gòu)的過程。而表象是建立感知與抽象知識之間的橋梁，能幫助學(xué)生完成知識構(gòu)建從感性認(rèn)識向抽象理解的跨越。

2.1? 實(shí)踐操作，清晰表象，初步建模

數(shù)學(xué)表象是以豐富的感知為基礎(chǔ)而建立的，學(xué)生感知越豐富，數(shù)學(xué)表象就越具有概括性、深刻性。教師在教學(xué)過程中，可以提供典型的、合適的、凸顯教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)材料，通過演示、操作，如看一看、拼一拼、折一折、量一量、剪一剪、涂一涂、畫一畫等多樣化操作活動，幫助學(xué)生形成豐富的數(shù)學(xué)表象，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知由“粗淺”走向“精致”，抽象出本質(zhì)，從而有效建模[2]。

如在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和是180°”這部分內(nèi)容時，教師可引導(dǎo)學(xué)生參與探究活動，通過拼、折、量、算等操作驗(yàn)證猜想的正確性，豐富解決問題的思路和角度，提升學(xué)生的觀察能力和推理能力。教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在進(jìn)行探究操作之前預(yù)測學(xué)生的行為，保證學(xué)習(xí)材料的可操作性，使學(xué)生積極參與到活動中。教師要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用實(shí)物、模型、圖片等，幫助學(xué)生在頭腦中建立正確而豐富的表象，進(jìn)而幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。

2.2? 動態(tài)演示，深化表象，有效建模

教師應(yīng)設(shè)計結(jié)構(gòu)化、層次性、動態(tài)化的學(xué)習(xí)材料，鼓勵學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極參與教學(xué)活動，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力和探索精神，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到充分發(fā)展。教師要有效利用多媒體、幾何畫板等設(shè)備，向?qū)W生展示直觀、形象的數(shù)學(xué)模型。化靜為動，在動態(tài)演示過程中，化難為易，幫助學(xué)生理解知識以及知識之間的關(guān)系，突破認(rèn)知局限，完善知識結(jié)構(gòu)。

如在教學(xué)“數(shù)線”這部分內(nèi)容時，“數(shù)線”實(shí)際上是數(shù)軸的“雛形”，它是刻畫“數(shù)”的一種直觀模型，教師要幫助學(xué)生認(rèn)識與表達(dá)數(shù)的幾何模型。借助數(shù)線，學(xué)生能夠體會數(shù)的順序、大小，而且還可以總結(jié)出：“順著數(shù)”相當(dāng)于加法，“倒著數(shù)”相當(dāng)于減法。教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)線來呈現(xiàn)思維過程，并能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的想法，這樣既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，又能幫助學(xué)生有效地建模。

2.3? 彼此貫通，豐富表象，優(yōu)化建模

表象的形成是一個逐步產(chǎn)生、發(fā)展、自我構(gòu)建的過程。它以物為媒，以具體操作激發(fā)和促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，能對反映在人腦中的物象，進(jìn)行有目的的操作思考活動。教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自主地對數(shù)學(xué)表象進(jìn)行加工、調(diào)整、積累、補(bǔ)充、修改、提煉，最后構(gòu)建起清晰、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表象，從而幫助學(xué)生更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。即通過原有數(shù)學(xué)表象對新表象的同化、順應(yīng)，最終達(dá)到認(rèn)識結(jié)構(gòu)的平衡，取得良好的圖式。

計數(shù)器是小學(xué)數(shù)學(xué)常用的教學(xué)工具之一，主要作用在于幫助學(xué)生理解十進(jìn)制、位值制、計算法則等概念。如在教學(xué)人教版三年級下冊“口算除法”時，教材利用10張為一沓的手工紙幫助學(xué)生理解算理，但手工紙只能用于商是整十的口算除法，對于商是整百、整千數(shù)的口算除法并不能直觀展示，因而需要教師探尋其他教具、學(xué)具，讓學(xué)生通過操作、觀察、思考等途徑理解口算除法的算理。

2.4? 學(xué)以致用，遷移表象，拓展建模

在經(jīng)歷了“具體—表象—抽象”的思維發(fā)展后，學(xué)生能自主通過觀察、思考、操作、比較、分析、概括等深入探究相關(guān)數(shù)學(xué)知識。此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生對原有的知識體系進(jìn)行調(diào)整、補(bǔ)充與重組，靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，加入新的教學(xué)環(huán)節(jié)，不斷拓展課堂學(xué)習(xí)活動。引導(dǎo)學(xué)生在探索活動中主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會建模的價值，并把它運(yùn)用到實(shí)際問題中。通過解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生能對原有的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，最終形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型。

教師可設(shè)置開放性題目，如題：一盒糖果內(nèi)有水果味4粒，牛奶味5粒。媽媽買了3盒，你能提出什么問題？

學(xué)生會根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)提出以下問題：

（1）一盒糖果里面有多少粒糖果？

（2）一盒糖果里面牛奶味糖果比水果味糖果多幾粒？

（3）二盒糖果里面分別有幾粒水果味糖果？幾粒牛奶味糖果？

（4）二盒糖果里面水果味糖果比牛奶味糖果多幾粒？

（5）三盒糖果里面分別有幾粒水果味糖果？幾粒牛奶味糖果？

（6）三盒糖果總共多少粒糖果？

（7）三盒糖果里水果味的糖果比牛奶味的糖果一共多了多少粒？

數(shù)學(xué)的魅力在于促思，學(xué)生提出一個問題往往比解決一個問題更重要。教師可將學(xué)生提出的這些問題形成“問題云”，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生自主探究、主動理解不同問題之間的相通之處，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己喜歡或熟悉的方法來解決這些問題。在全班總結(jié)討論之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清不同問題之間的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，從而增強(qiáng)學(xué)生的審題意識、提高學(xué)生解決問題的能力。

表象對數(shù)學(xué)建模的作用是相當(dāng)重要的，因此教師在教學(xué)中要重視表象的橋梁作用，幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為直觀、具體的知識結(jié)構(gòu)，形成正確清晰的表象，從而有效建模。另外，教師在教學(xué)中也要注意表象的一些“副作用”，加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)涵義，完善知識結(jié)構(gòu)，正確建模。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式[J].課程·教材·教法，2012.

[2]周蕾.有機(jī)融合巧設(shè)活動，多為表征建立“表象”[J].教學(xué)月刊（小學(xué)版），2019.

【作者簡介】

金佳婕（1986～），女，漢族，浙江杭州人，本科，二級教師。研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。