基于弗賴登塔爾教育理論在高中數學教學中的應用探究

【摘 要】荷蘭數學家弗賴登塔爾所提出的數學教育特征可概括為“現實化”“數學化”“再創造”。他強調數學教育必須面向社會現實，聯系生活實際;用數學公式表達關系，數學語言描述問題;鼓勵以學生為主體，實現數學過程再現，共同探索結果。本文以“集合”的教學為例，運用弗賴登塔爾教育理論進行教學，以期為廣大教師提供參考。

【關鍵詞】弗賴登塔爾;現實化;數學化;再創造;集合

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0242-03

我國基礎教育目前仍存在一些不足，如部分教師在授課時依然只是單方面的對學生進行知識的灌輸，而并未讓學生真正感受知識生成的過程，導致學生只會死記硬背，對知識不能熟練掌握與運用。美國教育家杜威提出的“做中學”，同樣認為學生只有在不斷改造和重新組織中才能夠更好地掌握知識。新課標也提出將雙基（基礎知識、基本技能）改為四基（基礎知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想），增加基本活動經驗、基本思想，就是要更好地培養學生的思維能力和數學素養。

1? ?弗賴登塔爾教育理論概述

弗賴登塔爾將數學教育劃分為五個特征：情景問題是數學的平臺，數學化是數學教育的目標，學生通過自己努力得到的結論和創造是教育內容的一部分，互動是主要的學習方式，學科交織是數學教育內容的呈現方式[1]。張奠宙先生再次將五個特征概括為“現實化”“數學化”“再創造”[2]。

現實化是指數學源于現實，存在于現實，并且應用于現實，而且每個學生有不同的“數學現實。教師要尊重學生已有的數學基礎，即學生在數學概念、數學運算、數學規律各方面的認識。從現實生活中發現問題，提出問題，解決問題。

數學化是指運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程，是從生活到符號再到概念的轉化。

再創造強調學生主動參與知識生成的過程[3]，教師只作為引導者，不能強行將知識灌輸給學生。

2? ?弗賴登塔爾教育理論在“集合”教學中的應用

2.1? 集合的概念引入——現實化

弗賴登塔爾認為數學應建立在現實生活之上。在集合概念教學引入時，教師可以體育課老師讓學生集合為例子，并且讓學生思考：“當體育老師讓學生集合的時候，大家第一反應是什么？”學生首先想到的是體育老師讓大家聚攏到一起，將全班學生進行集合。教師再接著學生的回答繼續引導：“其實體育課上老師讓學生集合和數學課所學習的集合要求是一樣的，就是把研究對象（班級全體學生）組合在一起稱為一個集合。”

教師給出集合的概念：一般的，一定范圍內，某些確定的、不同的對象全體構成一個集合。而集合中每一個研究對象稱為元素（體育課上每一個學生就是元素）。一般用{}或者大寫字母A，B，C……表示集合，用小寫字母a，b，c……表示元素。

給出概念后，再反過來檢查體育課進行的集合能否稱為一個集合？一定范圍內（整個班級），某些確定的、不同的對象（全體學生，并且每個學生都是獨立的個體），所構成的集合。那么，顯然體育課上所進行的集合符合數學中的集合概念。這樣由學生生活實際所經歷過的事件舉出的實例更能夠讓學生由已知產生聯想，激發其求知欲。

接著，教師又拋出問題：“是否能夠將全校女生組合成集合？”由此引出集合中元素的確定性。教師再提出問題：“那么由全校女生組成的集合中有多少元素？是否能夠數出來呢？”由此給出集合中元素的互異性。教師最后給出問題：“在全校女生進集合過程中，有順序嗎？”引出集合中元素的無序性。

在給出集合三要素后，學生自行討論五分鐘，舉例出生活中的集合實例。如{影院二號觀影廳內所有觀眾}，{全年級所有個子高的男同學}，{全校所有教師}。但全年級所有個子高的男同學不能構成一個集合，教師要準確地向學生解釋清楚（不符合確定性，滿足什么條件才能作為個子高的標準？）。

在集合概念引入時，不能只照著教材讀，而要貼近生活，從學生已有知識經驗出發，創設出便于學生理解的生活情境，讓學生真切感受到數學來源于生活并且應用于生活。

2.2? 集合之間的關系及其運算——數學化

這一環節是集合章節中的重難點，學生在了解集合概念之后，常常將符號混淆，如元素與集合之間用或表示，集合與集合之間用或表示。加上補集、并集、交集、全集的引入，學生頭腦中沒有清晰的思路，學習受阻。下面給出三道例題，運用數學思維解決問題。

（1）已知集合A={x|x2+x?6=0}，B={x|ax+1=0}，且BA，求a的值。

解：由已知，得A={?3，2}，若B是A的真子集，則B=

，或{?3}，{2}。

若B=，方程ax+1=0無解，得a=0。

若B={?3}，方程ax+1=0，得x=?3，a=。

若B={2}，方程ax+1=0，得x=2，a=。

綜上可得，a=0或a=，a=。

小結：在已知集合A的情況下，第一步可將其求出，根據B是A的真子集，可知B集合有三種情況，分別為空集、{?3}、{2}，再依次求出a的取值。

重難點：①了解真子集的定義，如果集合A是集合B的子集，并且集合B不是集合A的子集，那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B，且A不等于B，就說明集合A是集合B的真子集（如圖1）。②明白空集的含義，清楚空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。

數學思想：轉化與化歸，將文字、符號、圖像進行轉化，得到所需要的條件。

（2）設全集U={xN+|x≤8}，若A∩（CuB）={1，8}，（CuA）∩B={2，6}∩（CuB）={4，7}，求集合A，B。

解：由題可畫出圖2。

得出A={1，8，3，5}，B={2，6，3，5}。

小結：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，由A∩（CuB）={1，8}可知，在A中且不在B中的元素有1，8;由（CuB）∩B={2，6}，可知不在A中且在B中的元素有2，6;由（CUA）∩（CUB）={4，7}，可知不在A中且不在B中的元素有4，7;則元素3，5一定在A∩B中。根據推導畫出圖像，一目了然。

重難點：了解補集、交集、全集的概念，并能夠靈活運用。

數學思想：數形結合思想，將數學語言與圖像相結合，使其能夠在一定條件下相互轉化[4]。

（3）已知全集U=R，非空集合

命題p：xA，命題q：xB，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍。

解：∵ a2+2a>a，B={x|a

①當3a+1>2，即a>時，A={x|2

∵ p是q的充分條件，

②當3a+1=2時，即a<，A= ，符合題意。

③當3a+1<2時，即a<，A={x|3a+1

由 AB可得，

上可得，a的取值范圍是。

小結：解題時需仔細讀題，理解充分與必要條件的區別，計算時要細心。

重難點：根據q是p的必要條件，推出A含于B，再分類討論情況即可。

數學思想：分類討論思想，各個擊破，做到不重

2.3? 以學生為主體的數學過程再現——再創造

弗賴登塔爾認為反思是數學活動的重要一環，是數學活動的核心與動力[5]。這一過程通常體現在課堂上，教師引導學生以（數學）活動促思維，通過觀察問題，數學化思考，探索規律，得出結論，發掘本質，從而經歷數學思維與應用過程，并通過該過程讓學生的思維形成創新性的突破、重組和再創造，建構起新的數學知識結構。下面給出兩道例題，進行詳細講解。

（1）下面哪些屬于集合，哪些不屬于集合？為什么？請同學們一起探討。

①所有大開本的書。②某市個子高的男性。③某校高一3班全體學生。

設計思路：學生分組討論，依據集合三要素，明確集合與非集合的區別。

追問：若將②中的“個子高”換為“170以上”，是否能看作一個集合？

總結：集合三要素，即無序性、確定性、互異性，是指集合中元素之間的關系，當且僅當集合中元素滿足三要素時，該集合才能被稱為集合。

（2）請同學們按照學習小組，小組成員之間互相出題，要求體現出集合中交集與并集的性質。

設計思路：在了解集合中交集、并集、全集、補集的概念之后，給予學生探討的時間，利用學習小組，讓成員之間進行探討，表達自己的見解。討論結束之后教師點評，鞏固新知。

本文將弗賴登塔爾教育理論與實際教學相結合，目的在于通過這種教學方式，讓學生真正成為課堂的主人，激發學生學習數學的興趣，提高教學質量。教師在課堂上靈活運用“現實化”“數學化”“再創造”教學理念，既能豐富學生的直接經驗，又能夠提高學生的創新能力、培養學生的創新精神，最終可提升教學效果，促進學生發展。

【參考文獻】

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]張奠宙.數學教育學[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[3]弗賴登塔爾，陳昌平.作為教育任務的數學[J].數學教學，1995（2）.

[4]李萍.尋找數學與生活的交集[J].延邊教育學院學報，2017（4）.

[5]陳思曼.弗賴登塔爾數學教育思想探析[J].廣西科技師報，2020（2）.

【作者簡介】

梁皓森（1996～），男，漢族，四川綿陽人，喀什大學數學與統計學院學科數學專業2020級碩士研究生。