高階導(dǎo)數(shù)的分析與求解

摘要：高階導(dǎo)數(shù)的求解和應(yīng)用是微積分導(dǎo)數(shù)部分的重要章節(jié)，計(jì)算方法采用逐次求導(dǎo)的方式進(jìn)行。在高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中常遇到含參數(shù)類型的問題求解，需靈活變通求解思路，尋求解題的規(guī)律，得到正確的答案。

關(guān)鍵詞：函數(shù);高階導(dǎo)數(shù);參數(shù)

中圖分類號(hào) G 712 ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 高階導(dǎo)數(shù)的定義

定義1 一般地[1]，如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然可導(dǎo)，則的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即

相應(yīng)地，把叫作函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).通常對(duì)一階導(dǎo)數(shù)不指明它的階數(shù).

類似地[2]，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地，的（-l）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作的階導(dǎo)數(shù)，分別記作

或或

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

為便于對(duì)高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，按照問題解答類型進(jìn)行分類求解。

2.1 具體函數(shù)指定階數(shù)類型

（1）不復(fù)合的具體函數(shù)指定階數(shù)

此類題型采用高階導(dǎo)數(shù)定義[3]，逐次求導(dǎo)進(jìn)行解答。

例1 設(shè)函數(shù)，求和.

解：1）.

2）.

（2）復(fù)合的具體函數(shù)指定階數(shù)

此類題型采用高階導(dǎo)數(shù)定義，利用復(fù)合函數(shù)逐次求導(dǎo)進(jìn)行解答。

例2 設(shè)函數(shù)，求.

解： 因，

所以.

2.2 歸納推導(dǎo)類型

（1）周期變化類

利用試求具體階數(shù)導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)出求導(dǎo)結(jié)果規(guī)律。

例3 設(shè)函數(shù)，求.

解：

因，

所以在求高階導(dǎo)數(shù)過程中最小正周期為4，，。

參數(shù)變化類

利用試求具體階數(shù)導(dǎo)數(shù)[4]，結(jié)合導(dǎo)數(shù)結(jié)果與參數(shù)變化的關(guān)系，得到答案。

例4 設(shè)函數(shù)，求.

解： 因，.

注：可以采用取特殊值法試求結(jié)果規(guī)律方式進(jìn)行。

例5 設(shè)函數(shù)，求.

解： 因，.

例6 設(shè)函數(shù)，求.

解： 因，當(dāng)，跟常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，所以.

例7 設(shè)函數(shù)，求.

解： 因.

3 總結(jié)

高階導(dǎo)數(shù)的定義雖通俗易懂，但在在求解過程中，應(yīng)充分分析題目的特點(diǎn)，結(jié)合高階導(dǎo)數(shù)的定義，找到準(zhǔn)確的解決方法，靈活解答問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 熊慶如.高等數(shù)學(xué)[M].西安：西安交通出版社，2015.

[2] 葉永春等.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3] 陳廣生.高職院校《高等數(shù)學(xué)》課堂教學(xué)最優(yōu)化研究[J].大眾科技，2010，（12）.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者簡介：張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，副教授，主要研究方向：從事高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。

基金項(xiàng)目：瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2021年上半年校級(jí)科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：K-2111）;瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2020年度院級(jí)教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：JG-202017）;瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2018年度院級(jí)精品在線開放課程（項(xiàng)目編號(hào)：SJPZXKC-201805）.