形形色色的分式方程的解

楊文金

一、解為正數(shù)、負(fù)數(shù)、非負(fù)數(shù)

例1（2021·黑龍江·龍東）已知關(guān)于[x]的分式方程[m+32x-1=1]的解為非負(fù)數(shù)，則[m]的取值范圍是（ ）.

A. [m≥-4] B. [m≥-4]且[m≠-3] C. [m>-4] D. [m>-4]且[m≠-3]

解析：去分母，得m + 3 = 2x - 1，移項(xiàng)，解得x = [m+42].

∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴[m+42] ≥ 0，且[m+42] ≠ [12]，解得[m≥-4]且m ≠ -3.

故應(yīng)選B.

反思：解此類(lèi)題應(yīng)先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解.

例2（2021·湖北·荊州）若關(guān)于[x]的方程[2x+mx-2+x-12-x=3]的解是正數(shù)，則[m]的取值范圍為 .

解析：先用含m的代數(shù)式表示x，再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可.

由[2x+mx-2+x-12-x=3]，得[x=m+72]，且x ≠ 2.

∵關(guān)于[x]的方程[2x+mx-2+x-12-x=3]的解是正數(shù)，

∴[m+72>0]，且[m+72≠2]，解得m>-7且m ≠ -3.

故應(yīng)填m>-7且m ≠ -3.

反思：本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，求出方程的解是解題的關(guān)鍵.

二、整數(shù)解

例3（2021·四川·達(dá)州）若分式方程[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]的解為整數(shù)，則整數(shù)[a=] .

解析：由[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]變形為 [（2x-a）（x+1）-（a-2x）（x-1）（x-1）（x+1）=4]，解得[x=2a].

[∵]分式方程[2x-ax-1-4=-2x+ax+1]的解為整數(shù)，[a]為整數(shù)，

∴當(dāng)[a=±1]時(shí)，解得[x=±2]. 經(jīng)檢驗(yàn)：此時(shí)[x-1≠0]，[x+1≠0]，分式方程成立;

當(dāng)[a=±2]時(shí)，解得[x=±1]. 經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)[x=±1]時(shí)，分母為0，分式方程沒(méi)有意義，故舍去.

綜上所述，[a=±1].

故應(yīng)填±1.

反思：本題應(yīng)注意“整數(shù)”這個(gè)限定條件，同時(shí)不能忽略對(duì)根的檢驗(yàn).

三、增根

例4（2021·廣西·賀州）若關(guān)于[x]的分式方程[m+4x-3=3xx-3+2]有增根，則[m]的值為（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析：去分母，得[m+4=3x+2x-3]，

∵分式方程[m+4x-3=3xx-3+2]有增根，∴[x=3].

將[x=3]代入[m+4=3x+2x-3]，得[m+4=9]，解得[m=5].

故應(yīng)選D.

反思：利用增根求字母取值問(wèn)題的步驟：①化分式方程為整式方程;②讓最簡(jiǎn)公分母等于零，求出增根的值;③把增根代入整式方程中即可求得相關(guān)字母的值.

四、無(wú)解

例5（2021·山東·棗莊·五校聯(lián)考）若關(guān)于x的方程[x-2x-5] = [mx-5] + 2無(wú)實(shí)數(shù)根，則m的值為 .

解析：去分母，得x - 2 = m + 2x - 10，則x = -m + 8，

∵原分式方程無(wú)解，∴x = -m + 8為原分式方程的增根.

∵原分式方程的增根為x = 5，

∴-m + 8 = 5，∴m = 3.

故應(yīng)填3.

反思：分式方程無(wú)解分為以下兩種情況：①原分式方程無(wú)解，也就是化簡(jiǎn)后得到的整式方程無(wú)解;②化簡(jiǎn)后得到的整式方程有解，但其解使原分式方程的分母為零，也就是增根. 因此，求解分式方程無(wú)解問(wèn)題時(shí)，切記一定要討論.

（2021·重慶改編）若整數(shù)[a]滿(mǎn)足一元一次不等式[3a-21<0]，且關(guān)于y的分式方程[y+2ay-1+3y-81-y=2]的解是正整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)[a]的值之和是（ ）.

A. 5 B. 8 C. 12 D. 15

（答案見(jiàn)第31頁(yè)）