分式方程的四種特殊解法

王紅梅

一、拆項法

例1 解方程[1x+2+4xx2-4+22-x=1].

解析：將原方程變形為[1x+2+2·（x+2）+（x-2）（x+2）（x-2）+22-x=1]，應用關系式[x+yxy=1x+1y]，

則[1x+2+2x+2+2x-2-2x-2=1]，即[3x+2=1]，∴x = 1. 經檢驗x = 1是原分式方程的根.

二、添項法

例2 解方程[x-1x+1+x-4x+4=x-2x+2+x-3x+3].

解析：分式方程兩邊項數相同，各項都同時添項加1.

原分式方程化為[1+x-1x+1+1+x-4x+4=1+x-2x+2+1+x-3x+3]，

即[2xx+1+2xx+4=2xx+2+2xx+3]，顯然，x = 0為原分式方程的根.

當x≠0時，上述方程可變形為[1x+1-1x+2=1x+3-1x+4]，得[1（x+1）（x+2）=1（x+3）（x+4）]，

∴（x + 1）（x + 2） = （x + 3）（x + 4），解得[x=-52]. 經檢驗，x = 0，[x=-52]都是原分式方程的根.

三、兩個分式相等，若分子相同，則分子為零或兩個分母相等

例3 解方程[3x-2-4x-1=1x-4-2x-3].

解析：將分式方程兩邊分別通分，得[5-xx2-3x+2=5-xx2-7x+12]，由5 - x = 0，得x = 5.

又由[x2-3x+2=x2-7x+12]，得[x=52]. 經檢驗，[x=5]， [x=52]都是原分式方程的根.

四、兩個分式相等，若分子相同，并且分母的項數、次數相同，只有常數項不同，則化分子為1

例4 解方程[x-8x-9+x-4x-5=x-5x-6+x-7x-8].

解析：將原分式方程每個分式拆項，得[1+1x-9+1+1x-5=1+1x-6+1+1x-8]，

∴[1x-9+1x-5=1x-6+1x-8]. 兩邊分別通分得[2x-14x2-14x+45=2x-14x2-14x+48]

∴令2x - 14 = 0，得x = 7. 經檢驗，x = 7是原分式方程的根.