HPM視角下復(fù)數(shù)的教學(xué)

陳碧如

摘要：復(fù)數(shù)是為了解決數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題而引入的。本文對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)進(jìn)行了研究，闡明了復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展過(guò)程以及復(fù)數(shù)的幾何意義，針對(duì)當(dāng)今學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的情況，給出了教學(xué)上的意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù);歷史;應(yīng)用;教學(xué)

很長(zhǎng)一段時(shí)間以來(lái)，似乎數(shù)學(xué)教育的目的僅僅是弘揚(yáng)科學(xué)精神，而人文教育則很少被提及，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)與其他學(xué)科特別是人文學(xué)科的過(guò)度分離，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育過(guò)程中人文精神的進(jìn)一步喪失。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教育部進(jìn)行了新一輪的課程改革。新課程的改革主旨就是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和整體素質(zhì)，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程理念中要求了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，提出“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分”。

復(fù)數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而又艱難的歲月，具有深刻的歷史意義，而我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中總是忽略。復(fù)數(shù)是在人們解方程時(shí)引入的。從意大利數(shù)學(xué)家卡丹1545年寫(xiě)下復(fù)數(shù)平方根那一刻起，到1831年德國(guó)數(shù)學(xué)家提出了完備的復(fù)數(shù)幾何解釋?zhuān)祟?lèi)認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的300年。這300年的歷史包括了虛數(shù)的引入，復(fù)數(shù)的幾何解釋和復(fù)數(shù)的應(yīng)用。虛數(shù)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)都籠罩在一層神秘的面紗之下，后來(lái)因?yàn)閺?fù)數(shù)被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，人們才慢慢地開(kāi)始接受它。隨著復(fù)變函數(shù)理論的日漸發(fā)展和壯大，復(fù)數(shù)不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)，還在其他領(lǐng)域，比如力學(xué)、電學(xué)、航海航空等方面扮演著重要角色，正因?yàn)槿绱耍藗儗?duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)也從此進(jìn)入了一個(gè)新的境界。

從復(fù)數(shù)發(fā)展的歷史來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)人類(lèi)在認(rèn)知復(fù)數(shù)的過(guò)程中曾經(jīng)產(chǎn)生了困惑。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)家在研究復(fù)數(shù)的進(jìn)程中遇到的問(wèn)題也可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的過(guò)程中的難點(diǎn)。前車(chē)之鑒，后事之師，根據(jù)歷史上數(shù)學(xué)家沖破認(rèn)識(shí)障礙的這個(gè)過(guò)程，可以指導(dǎo)如今的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂活動(dòng)。

（一）、復(fù)數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題

如今復(fù)數(shù)是中學(xué)內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)之一。因?yàn)閺?fù)數(shù)具有多樣的表示形式，靈活地計(jì)算方法，以及具有融合代數(shù)、三角函數(shù)、幾何為一體的特點(diǎn)，使學(xué)生在應(yīng)用復(fù)數(shù)解決問(wèn)題時(shí)感到了較大的難度。因此，復(fù)數(shù)的教學(xué)應(yīng)該如何抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)是一個(gè)重要的問(wèn)題。結(jié)合實(shí)際，我認(rèn)為，妥善處理好以下幾個(gè)問(wèn)題至關(guān)重要。

1、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系

因?yàn)閺?fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)擴(kuò)充來(lái)的，它與實(shí)數(shù)既緊密聯(lián)系又有區(qū)別。在教學(xué)中，教師往往因?yàn)樵诮榻B復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別上不到位導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)總是出現(xiàn)知識(shí)性的錯(cuò)誤。因此老師在教學(xué)中除了講授好復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以外，還應(yīng)該補(bǔ)充一些針對(duì)性的問(wèn)題給學(xué)生多加練習(xí)，以利于加深學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別的認(rèn)知。

2、復(fù)數(shù)表示的多樣性和運(yùn)算的合理性的關(guān)系

復(fù)數(shù)表示形式的多樣性決定了它既有代數(shù)運(yùn)算又有三角函數(shù)的計(jì)算，因此，復(fù)數(shù)的運(yùn)算在復(fù)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該被加以足夠的重視。實(shí)踐證明：采用實(shí)踐—類(lèi)比—?dú)w納總結(jié)的教學(xué)方式效果最好。比如，復(fù)數(shù)代數(shù)式的加減與合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行類(lèi)比，代數(shù)式的除法與分母有理化進(jìn)行類(lèi)比等等。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生注意運(yùn)算的合理性以及靈活性，努力做到避繁就簡(jiǎn)。

3、復(fù)數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想

任何一個(gè)復(fù)數(shù)，它的表示形式無(wú)論是代數(shù)式還是三角式，都有鮮明的特點(diǎn)和意義。因此在明確了其意義的前提之下，將復(fù)數(shù)問(wèn)題代數(shù)化，通常可以得到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果。

（二）、復(fù)數(shù)的教學(xué)

為了更好的做好教學(xué)設(shè)計(jì)，我查閱了相關(guān)的文獻(xiàn)。研究表明，已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的學(xué)生中，百分之六十的學(xué)生對(duì)這個(gè)定義產(chǎn)生過(guò)疑惑，歷史上人們剛開(kāi)始接受復(fù)數(shù)的時(shí)候也存在著同樣的疑惑，這一點(diǎn)驗(yàn)證了歷史理論的相似性。百分之八十的學(xué)生對(duì)的來(lái)歷不甚了解，即使學(xué)了復(fù)數(shù)還有百分之六十的學(xué)生認(rèn)為虛數(shù)是虛幻的，是不存在的，百分之七十七的學(xué)生認(rèn)為虛數(shù)沒(méi)有用途，將近一半的學(xué)生認(rèn)為虛數(shù)這個(gè)概念是復(fù)數(shù)整章中最難的部分。而百分之二十八的學(xué)生對(duì)于書(shū)本中利用方程引入虛數(shù)單位這種做法表示不能接受甚至是非常不能接受，僅只有百分之三十八的學(xué)生對(duì)此表示沒(méi)意見(jiàn)。以上這些數(shù)據(jù)表明，學(xué)生在復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中確實(shí)存在了一些問(wèn)題，對(duì)于復(fù)數(shù)的概念的存在性都不甚了解，對(duì)于書(shū)本中的引入方式也不是很能接受。從上述數(shù)據(jù)可以看出目前學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的情況：對(duì)于復(fù)數(shù)本身的相關(guān)概念知之甚少，例如虛數(shù)單位怎么來(lái)的？復(fù)數(shù)有什么用途？這種刻板的學(xué)習(xí)方式并沒(méi)有達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的—數(shù)學(xué)學(xué)于生活并應(yīng)用于生活。因此我們?yōu)榱诉_(dá)到更好的教學(xué)效果需要嘗試改變復(fù)數(shù)的教學(xué)方式。

同時(shí)，研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念的最直接的動(dòng)機(jī)是來(lái)自于這個(gè)概念的用途，有用的知識(shí)學(xué)生才愿意去學(xué)。對(duì)于一個(gè)新的概念，百分之七十二的學(xué)生希望了解它的歷史背景，百分之四十五的學(xué)生希望最先知道新概念的來(lái)源，百分之三十五的學(xué)生希望最先了解新概念的用途，只有百分之二十的學(xué)生希望直接介紹新概念的內(nèi)容。據(jù)調(diào)查，最受學(xué)生喜歡的概念的介紹的順序是來(lái)源——內(nèi)容——用途，理由是：符合邏輯順序，從了解到應(yīng)用。

1、虛數(shù)的引入

這部分的內(nèi)容教材安排在3.3.1節(jié)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”，為第一課時(shí)，作為新課的引入部分。

在教材中，引入虛數(shù)是為了解決方程x2+1=0在實(shí)數(shù)域中無(wú)解這個(gè)問(wèn)題。假設(shè)i為方程x2+1=0的根，那么i2=-1。再把這個(gè)i添加到實(shí)數(shù)集中，就構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)集。在這個(gè)數(shù)集中，方程x2+1=0是有解的，x=i。這種引入似乎是一種很好的引入虛數(shù)的方式，但是，有的學(xué)生就會(huì)問(wèn)，初中里老師說(shuō)x2+1=0是沒(méi)有實(shí)根的，那么現(xiàn)在為什么又要引入這個(gè)i作為這個(gè)方程的根呢？

其實(shí)在歷史上，引入虛數(shù)i并不是為了解決二次方程根的問(wèn)題，而是為了解決三次方程的根的問(wèn)題。先是有卡丹等人發(fā)現(xiàn)三次方程的解中有負(fù)數(shù)平方根的存在，再到后來(lái)的邦貝利和萊布尼茲等人對(duì)負(fù)數(shù)平方根的思考以及理解，才引入這個(gè)數(shù)。那么，遵循歷史來(lái)給學(xué)生引入虛數(shù)是不是能更加符合學(xué)生的認(rèn)知呢？因此，根據(jù)虛數(shù)的歷史，我做了以下教學(xué)設(shè)計(jì)，以供參考。

“虛數(shù)的引入”教學(xué)設(shè)計(jì)

回顧我們之前學(xué)過(guò)知識(shí)，可以看到，數(shù)系的每一次擴(kuò)充都是為了更好地解決問(wèn)題。自然數(shù)中我們?yōu)榱私鉀Q減法運(yùn)算我們引入了負(fù)數(shù);整數(shù)中為了解決除法運(yùn)算我們引入了分?jǐn)?shù);有理數(shù)中，我們?yōu)榱私鉀Q開(kāi)方運(yùn)算引入了無(wú)理數(shù)。那么，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，是不是也存在著我們解決不了的問(wèn)題呢？

我們知道二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為。同樣的，對(duì)于三次方程x3+bx+c=0也有求根公式，。但是當(dāng)用這個(gè)求根公式解三次方程x3-15x-4=0是遇到了困難。一方面，帶入公式我們得到。我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)是沒(méi)有平方根的，所以這個(gè)根不存在。但是，另一方面，對(duì)方程進(jìn)行因式分解我們可以得到（x-4）（x2+4x+1）=0，顯然這個(gè)方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根。

那么怎么解釋這兩種求解的結(jié)果不一樣呢？問(wèn)題的關(guān)鍵在與是否有意義。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們只能承認(rèn)負(fù)數(shù)在某一個(gè)數(shù)系里面能開(kāi)平方根，規(guī)定為虛數(shù)單位，這樣問(wèn)題就得到了解決。

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

這部分的內(nèi)容是教材3.1.2節(jié)，是第二課時(shí)。教材中的做法是直接給出的復(fù)數(shù)的兩種幾何意義：（1）a+bi與復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）一一對(duì)應(yīng);（2）a+bi與平面向量OZ一一對(duì)應(yīng)。這種方式雖然簡(jiǎn)單，但是沒(méi)有讓學(xué)生體驗(yàn)這兩種幾何表示的形成過(guò)程，沒(méi)能展現(xiàn)虛數(shù)的直觀形象。

我們知道歷史上，引入虛數(shù)是為了滿(mǎn)足人們解方程的需要。但是虛數(shù)畢竟是想象出來(lái)的數(shù)，是抽象的，人們找不到它的原型，所以一直對(duì)它持有懷疑的態(tài)度，復(fù)數(shù)也一直籠罩著一層神秘的面紗。這種情況一直持續(xù)了200年。在這期間為了證明這個(gè)虛數(shù)的存在，人們一直試圖尋找一些能夠直觀表達(dá)虛數(shù)的方式，韋塞爾、阿爾岡就是其中的代表人物。在他們工作的基礎(chǔ)上，才創(chuàng)立了如今的復(fù)平面。因此，了解復(fù)平面的由來(lái)能幫助我們更好地理解復(fù)平面。此外，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)探索復(fù)數(shù)幾何意義的過(guò)程能讓學(xué)生將虛數(shù)化抽象為具體。

3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用

復(fù)數(shù)的應(yīng)用這部分內(nèi)容被安排在學(xué)生學(xué)完復(fù)數(shù)之后，是為了消除學(xué)生腦中虛數(shù)是“虛幻”的這個(gè)錯(cuò)誤的觀念而安排的。教師可以在課堂上做簡(jiǎn)單的介紹，或者讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

復(fù)數(shù)通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義可以直觀地展現(xiàn)在人們面前，這證實(shí)了虛數(shù)的存在性。但是虛數(shù)的廣泛及其奇妙的用途才是被人們接受的真正理由。復(fù)數(shù)在無(wú)論上理論上還是實(shí)際生活中都起到了重要的作用。同樣地，對(duì)于學(xué)生，只有讓他們知道復(fù)數(shù)的實(shí)用性，才能讓他們真正的認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，接受復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)是源于生活并且服務(wù)于生活的。作為一名老師，應(yīng)該使學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀。因此，學(xué)完復(fù)數(shù)之后，讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)的奇妙的用途很有必要。

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