光滑時變約束轉子動力特性分析

劉棣，李超，馬艷紅，洪杰

（北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100083）

Abstract：The smooth time-varying constraint is a mechanical effect of continuous contact produced by the rubbing between rotor and stator，in which the periodic time-varying constraint is applied to the rotor.The additional stiffness curve caused by contact between the stator and the rotor is a smooth and derivable function with time.A smooth time-varying constraint model is established based on the orbit of rotor in experiment，and the modal frequency，stability and response of rotor system with smooth time-varying constraint are analyzed based on the Hill method，which provides an analysis frame for the fault identification and stability analysis of the rubbing rotor.The research results show that the rotor with smooth time-varying constraint has the characteristics of frequency coupling，multi-frequency and instability.In the unstable speed region，the amplitude of the rotor gradually increases with time.The frequency component that causes the instability of the rotor system is the frequency component whose real part of eigenvalue is greater than 0 in the rotor modal analysis.In the stable speed region，the rotor＇s frequency response is mainly the frequency combination composed of speed frequency and contact frequency.

Keywords：smooth time-varying；rotor；modal characteristics；stability；response

碰摩是轉子系統中一種常見故障，可以根據轉子的碰摩形式分為全周碰摩［1-2］、局部碰摩［3-5］及干摩擦反向渦動［6-8］。其中，全周碰摩、局部碰摩在航空發動機轉子系統中最為常見。

Muszynska［9］指出，碰摩發生時轉靜子之間同時存在摩擦、沖擊、扭轉和剛度耦合4種效應。當發生全周碰摩時，摩擦效應占主導地位；而發生局部碰摩時，沖擊效應占主導地位。全周碰摩狀態下，轉子與靜子始終保持接觸狀態，且一般靜子對轉子的約束作用是恒定的。Choi［10］通過建立碰摩試驗裝置分析了全周碰摩的產生機理。局部碰摩狀態下，轉子的部分弧段與靜子發生碰摩，對轉子產生復雜的力學效果，包括沖擊、摩擦及靜子對轉子產生附加剛度，使轉子系統高度非線性［11］。Sinha［12］通過顯示積分算法研究了葉尖與機匣發生局部碰摩所產生的周期沖擊載荷對懸臂Timoshenko梁的響應特性。Dai等［13］通過數值方法研究了飛輪轉子與制動裝置發生碰摩所產生的非線性振動響應，通過簡諧激勵模擬碰摩時靜子對轉子產生的低頻擾動，利用庫倫摩擦模型和分段線性彈簧來模擬轉靜子之間的接觸狀態，研究表明隨著激振力的增加，局部碰摩會發展為反向渦動，降低制動裝置的效果。Wang等［14］以懸臂轉子為研究對象，分析了局部碰摩轉子運動過程，建立了對應的周期時變系數方程并通過試驗研究了局部碰摩轉子的響應特性。Abuzaid等［15］通過實驗和數值分析的方法研究了局部碰摩下不同碰摩程度對轉子動力特性的影響，輕微碰摩使轉子出現1倍、2倍、3倍轉速頻率，嚴重碰摩使轉子出現1／3、2／3轉速頻率，同時碰摩使得轉子的固有頻率增加。Goldman和Muszynska［16］分析了局部碰摩轉子的動力特性，獲得轉子諧波頻率、次諧波頻率及混沌的運動特征。局部碰摩過程中，轉子與靜子發生接觸碰撞-反彈分離，靜子結構會對轉子產生周期性的附加約束作用，其附加約束剛度由轉靜子的接觸狀態決定，對時間求導是不連續的，將其稱為非光滑約束作用。Hong等［17］建立了由碰摩時間、沖擊頻率、約束剛度幅值3個參數所決定的非光滑約束模型，分析得到轉子模態頻率、穩定性特征。相比非光滑約束轉子，靜子對轉子產生的周期時變約束作用，且靜子與轉子保持持續接觸狀態，其附加約束剛度隨時間變化曲線是一條光滑可導的函數，將該約束作用稱為光滑時變約束。光滑時變約束兼具全周碰摩轉靜子持續接觸特征和局部碰摩的周期時變特性，是一種特殊的碰摩形式。

本文根據試驗中轉子的附加剛度曲線建立一種光滑時變約束模型，并分析該約束下轉子的模態特性、穩定性及響應特性，為碰摩轉子故障識別和穩定性分析提供一種分析途徑。

1 光滑時變約束轉子

根據轉子在光滑時變約束下的附加剛度曲線建立光滑時變約束模型，推導動力學方程并建立相應的模態分析方法。

1.1 光滑時變約束模型

圖1為Hong等［17］所設計的懸臂轉子碰摩模型。在懸臂端處，轉子軸套與限位環發生碰摩，限位環模擬機匣結構，其機匣剛度主要由圖2所示金屬橡膠的剛度決定，進而得到不同機匣剛度下，轉子附加約束剛度隨時間的變化曲線，如圖3所示。根據圖3附加約束剛度隨時間的變化曲線，可以將靜子對轉子的約束作用分為非光滑約束和光滑時變約束。

圖1 碰摩轉子系統試驗器［17］Fig.1 Rub-impact test device of rotor system［17］

圖2 靜子碰摩試驗裝置Fig.2 Rub-impact test device of stator

圖3 不同機匣剛度下約束剛度隨時間變化Fig.3 Constraint stiffness changing with time with different case stiffness

對于非光滑約束（如圖3曲線l3、l4所示），靜子對轉子的約束作用是不連續的，且具有周期變化特征。Hong等［17］將非光滑約束的力學效果提煉為時變剛度knon-smooth隨時間t的變化，主要包含3個關鍵物理參數：碰摩時間α、沖擊頻率β、約束剛度幅值?ks，進而建立非光滑約束模型，如式（1）所示。其中，碰摩時間α為轉靜子接觸時間與碰摩周期的比值；沖擊頻率β＝Tr／Trotation為轉子旋轉一周發生碰摩的次數，Tr為發生一次沖擊反彈所需時間，Trotation為轉子旋轉一周所需時間；約束剛度幅值?ks為轉靜子侵入量達到最大時刻靜子對轉子的附加剛度。

根據式（1）繪制約束剛度隨時間的變化曲線，如圖4所示。值得注意的是，該模型不失一般性地將沖擊頻率與轉速頻率的比值作為變量去考慮，分析其變化規律對轉子系統模態特性的影響。此外，針對非光滑約束的研究中，文獻［11］考慮單點碰摩狀態下轉子系統的響應特性，此時轉子系統的碰摩頻率與轉速頻率一致。

圖4 非光滑時變剛度曲線Fig.4 Non-smooth stiffness curves

對于光滑時變約束（如圖3曲線l1、l2所示），靜子對轉子的約束作用具有連續、波動、時變特征，類似簡諧函數。將該光滑時變周期約束的力學效果提煉為3個關鍵物理參數，即平均剛度km、波動剛度kh、波動頻率ωk＝2π／Tk（Tk為波動周期），進而建立光滑時變約束模型，如式（2）所示：

根據式（2）繪制約束剛度隨時間的變化過程，如圖5所示。

1.2 動力學方程

Hong等［17］建立的運動學方程僅分析靜子對轉子產生的徑向約束作用，然而轉靜子因持續接觸摩擦產生的周向約束同樣會影響轉子的動力特性，因此，建立綜合考慮徑向、周向光滑時變約束作用的Jeffcott轉子運動方程。Jeffcott轉子模型如圖6所示，轉子由質量忽略不計的軸段和跨中圓盤組成，軸中間位置剛度為k，圓盤質量為m，阻尼為c，轉子轉速為ω，偏心距為e。

圖6 局部碰摩轉子模型Fig.6 Rotor model with local rub-impact

當轉子受到光滑時變約束作用時，會受到來自于靜子2個方向的作用力，即徑向力Fn和周向摩擦力Fτ。

徑向力Fn的表達式為

進而得到慣性系數歸一化動力學方程：

式中：ξ為轉子阻尼比；ωn為轉子固有頻率；κ＝km／k為光滑時變周期約束平均剛度與轉子軸段剛度比值，簡稱“平均剛度比”；η＝kh／k為光滑時變周期約束波動剛度與轉子軸段剛度比值，簡稱“波動剛度比”。值得注意的是，應滿足κ＞η，即靜子不會對轉子產生負剛度。

進一步將式（6）寫為如下矩陣形式：

1.3 模態分析方法

去掉式（7）中等式右邊的不平衡激勵項，得到光滑時變約束轉子模態方程式（8），該方程為周期時變系數方程，可以通過Hill無窮行列式理論進行求解，以預測結構在外部激勵下的實際振動響應。

式中：Kt＝Kc／2。

上述線性周期時變系統方程的解形式如下：

式中：λ為周期時變系統的特征值；?為“類模態”向量，類模態向量具有周期時變性，且時變周期與方程中時變系數的周期相同，Tk＝2π／ωk。

可以將“類模態”向量?進行傅里葉展開，形式如下：

方程左右兩邊相同指數項的系數相加為0，則得到代數方程構成的方程組：

根據Hill無窮行列式的收斂定理，對類模態向量的幅值具有顯著貢獻的傅里葉展開階次的數量是有限的，因此對式（13）選取適當的截斷階次jmax，可以近似得到原時變周期系統的模態解。另外，根據式（13），類模態各個階次的模態向量中，僅相鄰階次模態向量之間存在耦合關系。此時，若要保證類模態第j階階次模態向量的求解精度，截斷階次的最小取值為jmax＝j＋1。

式（13）可以進一步寫成Hill特征值求解問題：

式中：

值得說明的是，根據式（15）獲得的特征頻率數量遠高于相同維數的時不變線性系統，可以證明，基于Hill行列式法獲得的特征頻率按照頻率簇的形式分布：

式中：ωn0為系統第n階類模態向量?n的基礎頻率，稱為第n階基礎模態頻率；ωnj為第n階類模態向量?n的第j階傅里葉展開階次模態向量對應的頻率，稱為第j階階次分量頻率。階次模態頻率與主模態頻率之差為系統時變頻率的整數倍，是由系統時變參數產生。另外，主模態頻率與傳統線性系統的模態頻率相對應，在分析中需要重點關注。

對于任一階模態，其穩定性條件如下：

如果類模態的所有階次模態分量所對應的特征頻率實部均小于0，則該階類模態穩定；否則，不穩定。

2 動力特性分析

根據第1節所建立的Jeffcott轉子方程及模態分析方法，分析光滑時變約束轉子的模態特性與響應特性。

2.1 模態特性

暫不考慮阻尼影響，設定Jeffcott轉子參數ξ＝0、ωn＝1 rad／s、κ＝2、η＝1.5、ζ＝1.7（ζ＝ωk／ωn表示光滑時變約束波動頻率與轉速頻率之比，簡稱“頻率比”）、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉子在不同摩擦系數μ下的模態特性，如圖7所示。計算結果表明：

1）轉子模態頻率具有多頻特性，其模態頻率不僅包含基礎模態頻率成分ω0，還包含＋1、－1階模態頻率成分ω＋1、ω－1。在部分轉速區域內出現0頻區和頻率耦合區，其中基礎模態頻率與－1階模態頻率發生頻率耦合。摩擦系數μ能夠弱化頻率耦合效果，如圖7（a）所示，μ＝0，基礎模態頻率與－1階模態頻率耦合明顯；如圖7（b）和（c）所示，隨著μ的逐漸增加，頻率耦合效果逐漸減弱。

2）圖7（d）所示轉子模態阻尼具有2個明顯的失穩區A、B，區域A為次模態失穩區，為圖7（a）的0頻特征值實部大于0所致；區域B為主模態失穩區，為圖7（a）的基礎模態頻率與－1階模態頻率特征值實部大于0所致。當摩擦系數μ大于0，如圖7（e）和（f）所示，轉子從局部失穩轉變成全局失穩，即在全轉速域中都存在特征值實部大于0，且隨μ增加失穩程度越明顯。

圖7 摩擦系數對模態特性的影響Fig.7 Influence of friction coefficient on modal characteristics

不考慮阻尼和摩擦系數的影響，設定Jeffcott轉子參數ξ＝0、μ＝0、ωn＝1、κ＝2、ζ＝1.7（頻率比）、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉子在不同波動剛度比η下的模態特性，如圖8所示，計算結果表明，波動剛度比η對轉子系統的頻率耦合特性和穩定性有顯著影響。當η＝0，靜子對轉子產生恒定的約束作用，約束不再具有周期時變特性，該狀態下轉子系統不具有頻率耦合特性，且不存在失穩區。當η逐漸增大，轉子系統的0頻區和頻率耦合區逐漸擴張，失穩區逐漸擴張。波動剛度比η對非失穩區域轉子系統模態頻率的影響不顯著，增大剛度比不會增大轉子系統基礎模態頻率。

圖8 波動剛度比對模態特性的影響Fig.8 Influence of wave stiffness ratio on modal characteristics

不考慮阻尼和摩擦系數的影響，設定Jeffcott轉子參數μ＝0、ξ＝0、ωn＝1 rad／s、η＝1.5、jmax＝2。計算得到光滑時變約束轉子在相同平均剛度比（κ＝2）、不同頻率比ζ下的模態特性，如圖9所示。同時得到在相同頻率比ζ＝1.7、不同平均剛度比κ的模態特性，如圖10所示。

圖9 頻率比對模態特性的影響Fig.9 Influence of frequency ratio on modal characteristics

圖10 平均剛度比對模態特性的影響Fig.10 Influence of average stiffness ratio on modal characteristics

進一步分析阻尼對光滑時變轉子模態特性的影響，設定Jeffcott轉子參數η＝1.5、μ＝0.2、ωn＝1、κ＝2、ξ＝0.2、ζ＝1.7（頻率比）、jmax＝2，得到模態頻率、特征值實部隨轉速的變化曲線，分別如圖11（a）、圖11（b）所示。計算結果表明，阻尼對模態頻率影響不顯著，對轉子的穩定性影響顯著。特征值實部曲線在圖7（f）基礎上整體下移0.2，轉子的穩定性從全局失穩變成局部區域B失穩。

圖11 阻尼對模態特性的影響Fig.11 Influence of damping on modal characteristics

進一步將阻尼參數ξ增加至0.3，得到特征值實部隨轉速的變化曲線，如圖11（c）所示，計算結果表明，轉子在0～3 rad／s轉速范圍內特征值實部均小于0，未發生失穩。

綜上，可以得到光滑時變約束模型中各參數對轉子模態特性的影響規律，其中，摩擦系數、波動剛度比、阻尼對轉子的穩定性有顯著影響，其中摩擦系數會引起轉子全局失穩，波動剛度比會引起轉子的頻率耦合、局部失穩，適當增加轉子阻尼會消除轉子的失穩區。平均剛度比和頻率比對轉子失穩轉速區的分布有顯著影響。此外，平均剛度比是基礎模態頻率的敏感參數，其大小表征了靜子結構對轉子的約束強度。

2.2 響應特性

Hong等［17］僅分析了非光滑約束轉子系統的模態特性，未通過響應分析進行驗證。本節進一步通過計算不平衡激勵下轉子系統的響應來對光滑時變約束轉子的多頻、失穩特性進行驗證。

在圖11（b）參數基礎上設定轉速為2 rad／s，偏心距e＝0.5 mm。利用Newmark-β方法計算式（7），得到在x方向轉子位移隨時間變化過程和頻率成分，如圖12（a）和（b）所示。計算結果表明，失穩區內轉子的振幅隨時間不斷增加，頻率成分主要為基礎模態頻率ω0、＋1階模態頻率ω＋1、－1階模態頻率ω－1，驗證了光滑時變周期轉子系統的多頻特性。同時可以看出，轉子的幅值隨時間不斷增加，發生失穩。為進一步分析轉子失穩機理，通過小波變換計算得到頻率成分隨時間的變化過程，如圖12（c）所示。計算結果表明，隨著時間的增加，基礎模態頻率成分ω0不斷發散，成為影響轉子發生失穩的主要因素。上述模態分析表明，基礎模態頻率成分ω0特征值實部大于0，是轉子系統發散的本質原因。

圖12 失穩區轉子響應特性Fig.12 Response characteristics of rotor in unstable region

將轉速改為1.5 rad／s，得到非失穩區域轉子盤心的運動軌跡和在x方向的頻率成分，如圖13所示。計算結果表明，在靜子的光滑時變約束下，轉子的運動軌跡具有花瓣特征，頻率成分為轉速頻率ω和波動頻率ωk所構成的頻率組合。其中ωk－ω、ω頻率成分占主要影響。

圖13 非失穩區轉子響應特性Fig.13 Response characteristics of rotor in stable region

在圖13參數的基礎上，計算得到不同頻率比ζ下轉子系統運動軌跡、光滑時變剛度曲線和頻域成分，如圖14所示。計算結果表明，當頻率比ζ從1.3增加至1.9，波動頻率ωk＝ζωn從1.95 rad／s增加至2.85 rad／s，頻率成分ωk－ω從0.45 rad／s增加至1.35 rad／s，ωk－ω逐漸接近轉子系統的基礎頻率，導致該頻率所對應的幅值不斷增加，轉子軌跡從圓環形轉變成花瓣形；當頻率比ζ從1.9增加至2.7，波動頻率ωk＝ζωn從2.85 rad／s增加至4.05 rad／s，頻率成分ωk－ω從1.35 rad／s增加至2.25 rad／s，ωk－ω逐漸遠離轉子系統基礎頻率，該頻率所對應的幅值不斷下降，轉子軌跡從花瓣形轉變成圓環形。此外，不同頻率比對應的轉子系統頻率分布規律一致，可以為光滑周期時變約束轉子系統的碰摩故障診斷提供參考。

圖14 不同頻率比下轉子系統響應Fig.14 Rotor system response with different frequency ratios

2.3 模型應用

本節進一步從光滑時變約束模型角度分析經典Jeffcott碰摩模型的響應特性，該經典Jeffcott碰摩模型被文獻［8，18］廣泛采用，如圖15所示。轉子由質量忽略不計的軸段和跨中圓盤組成，軸中間位置剛度為k，圓盤質量為m，質量偏心距為e，轉子轉速為ˉω；靜子為彈性支承的無質量剛性環，支承剛度為kc，剛性環與轉子表面接觸時的摩擦系數為μ；轉靜子初始間隙為r0，其推導過程參見附錄A。

圖15 Jeffcott轉子碰摩的物理模型Fig.15 Physical rub-impact model of Jeffcott rotor

給定計算參數如下：ξ＝0.05，γ＝0.04，R0＝1.05，μ＝0.15，Rdisk＝20r0（Rdisk為轉子幅值），轉子轉速范圍ω取0～1。利用Newmark-β數值積分方法掃頻得到不同轉速轉子的穩態幅值及分叉圖，如圖16所示。

圖16 經典Jeffcott轉子碰摩模型響應特性Fig.16 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model

計算結果表明，當轉速小于0.16時，轉子振幅小于間隙，轉靜件未發生碰摩；當轉速高過該值時，轉靜件發生碰摩，但在不同轉速下具有不同的碰摩形式，轉速0.16～0.40范圍，轉子處于轉靜子持續接觸狀態；轉速0.40～0.58范圍，轉子處于局部碰摩狀態；轉速超過0.58時，轉子發生反向渦動。

以持續碰摩接觸狀態（ω＝0.38）為例，分析運動軌跡、約束剛度曲線和頻域成分，如圖17所示。約束剛度曲線須根據轉子的運動軌跡并結合式（18）得到：

圖17 光滑時變約束轉子系統模態頻率Fig.17 Modal frequency of smooth time-varying constrained rotor system

式中：k1為光滑時變約束剛度；k2為機匣剛度；r1為轉靜子間隙；q為轉子幅值。計算結果表明，持續碰摩過程中，轉子與靜子持續接觸，靜子對轉子產生周期時變的約束作用，其頻率分布與圖14光滑時變約束轉子模型頻率分布一致。

選取反向渦動狀態ω＝0.8，計算得到運動軌跡、約束剛度曲線和頻域成分，如圖18所示。計算結果表明，反向渦動過程中，轉子與靜子持續接觸，靜子對轉子產生微小的周期時變約束作用。頻域分析表明轉子系統主要由2個頻率成分決定，分別為轉速頻率成分ω和ω′。ω′可以通過光滑時變約束轉子模態頻率方法分析，首先根據圖18（b）剛度曲線得到光滑時變約束轉子關鍵參數：平均剛度km、波動剛度kh、波動頻率ωk＝2π／Tk，然后根據光滑時變轉子的定義，建立經典Jeffcott碰摩轉子參數與光滑時變轉子參數對應關系，進而得到：ξ＝0.05、ωn＝0.2 rad／s、κ＝25、η＝0.2、ζ＝1.5、jmax＝2。計算光滑時變約束轉子的模態頻率，如圖19所示。計算結果表明，ω′為無量綱轉速0.8所對應的基礎頻率。

圖18 經典Jeffcott轉子系統ω＝0.38轉速響應特性Fig.18 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model with rotational speedω＝0.38

圖19 經典Jeffcott轉子系統ω＝0.8轉速響應特性Fig.19 Speed response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model withω＝0.8

3 結 論

分析了轉子在光滑時變約束下的動力特性，得到以下結論：

1）模態分析中，光滑周期時變系統具有多頻、頻率耦合、失穩的特性，其中波動剛度比是引起轉子頻率耦合、局部失穩的首要影響因素；轉靜子摩擦系數使頻率耦合弱化，使轉子系統從局部失穩轉變成全局失穩。阻尼能夠顯著影響轉子系統的穩定性，轉子系統增加適當阻尼可以消除失穩區。平均剛度比和頻率比對轉子失穩轉速區的分布有顯著影響。平均剛度比表征了靜子結構對轉子的約束強度。

2）響應分析中，光滑周期時變系統能夠有效驗證轉子系統多頻、失穩等特征，增加波動頻率會使轉子的幅值增加。非失穩區的頻率成分主要為轉速頻率和波動頻率構成的頻率組合，其分布形式可以為碰摩轉子系統的故障診斷提供參考。

3）光滑時變約束模型能夠解釋傳統碰摩模型在持續接觸狀態和反向渦動狀態所體現的頻率成分及分布規律，說明光滑時變約束轉子系統在分析轉子碰摩方法具有一定的應用價值。

附錄A