多位置檢測實現MEMS加速度計的自校準

周凱月，李 佳，王瑋冰，陳大鵬

(1.中國科學院大學,北京 100049; 2.中國科學院 微電子研究所,北京 100029)

基于MEMS加速度計的尺寸、成本功耗等方面的優勢，其廣泛應用于物聯網、智能穿戴設備[1-2]，尤其在SLAM(simultaneous localization and mapping)、姿態識別、跌倒檢測等應用中對IMU(inertial measurement unit)設備的姿態角精確計算有重要作用[3-4]。但是由于加速度計的安裝偏差、尺度因子、零偏和隨機噪聲等因素的影響，其輸出存在一定的誤差[5-6]。因此需要建立校準補償模型以實現穩定、高精度的加速度輸出。

傳統分立式標定校準依賴于大型轉臺設備，價格昂貴、操作方法復雜，標定精度取決于轉臺設備，不利于大批量的生產使用。為了降低校準對大型設備的依賴，顏開思等[7]提出借助于立方體治具將加速度計依次旋轉90°，旋轉6次，依此求得模型參數；為了解決六面體算法中治具所處平面可能不水平的問題，陸續有學者[8-11]提出九位置法、十位置法，十二面體法、二十四位置法等，將相差45°，90°，180°的兩面求均值作為其中一組數據來抵消水平夾角問題，但均需要依賴治具。L?tters等[12]首次提出基于模觀測的加速度計標定方法，將標定問題轉化為優化問題，其關鍵在于非線性方程組的求解，最為常見的為迭代法、牛頓法[13]，其缺點為迭代結果嚴重依賴于初值的選取。Cheuk等[14-15]提出在多組任意位置下觀測數據來求解模型參數，擺脫了治具的限制，但仍無法解決初值依賴問題。

針對LM算法過度依賴初值的問題，本文結合了LM算法與最小二乘法算法，在初值預估不準確情況下，實現誤差模型參數的精確標定，并在標定后的姿態解算中，精度能達到與傳統標定方法相同的量級。

1 加速度計誤差補償模型

根據誤差產生原因，MEMS三軸加速度計誤差主要來源于軸間非正交誤差、尺度因子、零偏和噪聲的隨機游走，可以建立如下誤差模型：

(1)

θcal=[Kyz,Kzy,Kzx,Sxx,Syy,Szz,Bx,By,Bz]

(2)

加速度計處于靜止狀態下，只受到重力，理論上加速度計的任意姿態下，各軸輸出數據的模等于1 g，因此有

‖g‖2=‖O‖2=‖Tk*Ts(R+B)‖2=

‖h(R,θcal)‖2

(3)

為求解誤差模型中θcal參數，可以利用多組靜態觀測數據使用最小二乘法對多元方程求解；也可以通過構建橢球模型近似等效加速度計誤差模型，通過大量靜態觀測數據擬合求解橢球參數來近似求解誤差模型參數，這些已有方法將在下文具體說明。針對LM算法過度依賴初值的問題，本文提出的LM&最小二乘法自校準法在LM &最小二乘法自校準法的實現中進行詳細闡述，并在實驗驗證與分析中進行相關實驗結果的呈現。

2 已有方法求解模型參數

2.1 十二面體法求參

在十二面體法[16]求解加速度計誤差模型參數中，需要將被測加速度計固定在治具中，依次旋轉0°，90°，180°，270°，如圖1所示。將所得到的12組數據分為2組，按照加速度計誤差補償模型的誤差模型，將觀測數據代入，通過最小二乘法，求得兩組參數，再對參數進行加權獲得最后的加速度計誤差模型參數：

(4)

注：本圖參照文獻[16]中圖1繪制。

2.2 橢球擬合法求參

在忽略軸間偏差，即三軸之間均正交的情況下，加速度計任意靜止狀態輸出數據的模為定值g，在三軸正交坐標系中表現為一橢球面上的點[17]，即：

a1x2+a2y2+a3z2+a4xy+a5xz+a6yz+
a7x+a8y+a9z

(5)

[X-C]M[X-C]T=1+CMCT

(6)

(7)

式中：X為橢球面上的數據，C為橢球球心，M為所求參數矩陣。通過最小二乘法對大量靜止狀態樣本數據進行擬合得到橢球球心即零偏，橢球在各個軸上的投影為尺寸因子。

3 LM &最小二乘法自校準法的實現

3.1 LM算法

LM(levenberg-marquardt)算法[18-20]是介于牛頓法和梯度下降法之間的非線性優化算法，廣泛應用于非線性最小化的求解。在對于模型參數求解問題中，如式(8)，LM算法通過將狀態轉移矩陣中Hessian矩陣近似為Jacobian矩陣的方式，如式(9)、(10)，解決了梯度下降法收斂速度緩慢的問題，避免了牛頓法求解高階非線性問題時復雜二階導數計算過程，以及Hessian非滿秩和非正定情況。LM算法最終訓練形式通過如下進行擬合求參：

(8)

H≈JTJ+μI

(9)

xk+1=xk-(JTJ+μI)*gk

(10)

(11)

式中：x為輸入參數向量，ω為待求參數向量，N為待求參數向量個數，E為目標函數殘差，M為離散非線性系統采樣點個數。

利用LM算法求解加速度計誤差模型參數，需要構建目標函數以及殘差。由加速度計誤差補償模型可知，加速度計處于靜止狀態下，只受到重力，因此將式(3)作為目標函數。

為求解誤差模型中θcal參數，需要求解式(2)非線性輸出方程，即需要多組不同姿態的靜態觀測數據。由于上述的各類誤差導致加速度計各軸輸出數據的模值不等于g，因此構造目標函數殘差方程(12)，通過對目標函數最小化實現模型參數的求解。

(12)

3.2 基于LM&最小二乘法自校準法

3.2.1 基本方案

LM算法擁有高斯-牛頓算法快速收斂的優點，也在梯度下降法的基礎上解決了負梯度收斂緩慢的問題，但是其本身因在泰勒展開式中忽略了高階項，在一定情況下會出現收斂緩慢的情況。另外LM算法高度依賴初值的設定，所以在單次加速度誤差模型參數的求解中，由于初值的設定不準會導致模型參數擬合不準確。

因此，為實現加速度計應用過程中的閉環校準，就需要對加速度計誤差模型的初值進行實時修正，確保LM算法可以迅速收斂。本文通過對加速度計任意位置下的靜態數據樣本進行濾波、篩選、截斷，獲取可用于最小二乘法的姿態數據，即加速度計某個軸垂直于水平面，另外兩個軸平行水平面的姿態。與已有初值相關數據共同求解修正初值，并以此初值為LM算法訓練初值，進行訓練擬合，獲得最終加速度計誤差模型參數。

如圖2所示，為本文所提出的加速度計LM&最小二乘法自校準法的流程圖。主要過程分為3個部分：數據采集處理、模型參數初值修正、模型參數訓練擬合。

圖2 MEMS加速度計自校準流程

3.2.1.1 數據采集處理

1)采集加速度計靜止姿態數據樣本需要滿足如下條件。

①加速度計連續靜止Twait。對連續采集到的Twait*f采集頻率個數據，均需要滿足|ζ(k)|<δ1，其中ζ(k)如式(13)所示，為加速度計各軸輸出數據模值與重力加速度g的差，δ1為判斷加速度計靜止的閾值。

(13)

②壓力傳感器輸出的標準差P(t)<δ2。針對本文實驗對象為智能鞋墊，以k個鞋墊內嵌壓力傳感器輸出的標準差作為檢測算子，檢測鞋墊是否處于靜止姿態，δ2為檢測閾值。

(14)

③保證訓練樣本豐富性。所獲得的靜止姿態數據樣本不與已存在樣本重復，即需式(15)中，γ>δ3,以保證解算結果精準。

(15)

2)加速度計靜止姿態數據樣本預處理。

①濾波。對收集到的靜止姿態數據樣，通過式(13)進行濾波和提取有效數據，如圖3所示為采集到加速度計的原始靜態數據樣本與濾波后的靜止姿態數據。

圖3 濾波和截斷前、后數據對比

②分類。為獲得最小二乘法所需要的靜止姿態數據樣本，需要從所有樣本中篩選出加速度計某個軸垂直于地面，即輸出接近|g|，另外2個軸輸出接近為0的數據集合，在所有觀測樣本中找到滿足式(16)的樣本作為Ocor,用以修正每次迭代的初值；其余靜止姿態數據樣本作為Otrain,用來LM算法訓練。

|Oij-g|<σ&&|Oij+1|<σ&&|Oij-1|<σ

(16)

3.2.1.2 模型參數初值修正

將誤差模型(1)轉換為

(17)

通過最小二乘法求解多元方程參數得到:

(18)

3.2.1.3 模型參數訓練擬合

對于LM算法訓練樣本Otrain在非相關樣本數m>6即可收斂，這獲利于初值修正。

3.2.2 算法步驟

步驟2收集加速度計靜止數據樣本，需滿足式(13)～(15)。

步驟3根據式(16)，對步驟2中收集到的靜止姿態樣本分類。

1)用于修正第k+1次迭代模型初值的觀測樣本Ocor。

2)用于訓練擬合第k+1次模型參數ak+1的觀測樣本Otrain。

4 實驗驗證與分析

本文實驗以自主研發的多傳感器集成的智能鞋墊為被測對象，內置三軸加速度計、4組柔性壓力傳感器以及低功耗藍牙片上系統、無線充電模塊，如圖4所示。以藍牙傳輸的方式將鞋墊數據實時傳輸到終端，傳輸頻率為20 Hz。

圖4 被測對象智能鞋墊與立方體治具

根據已有方法求解模型參數所述，設計如下實驗驗證環節。

4.1 實驗步驟

4.1.1 LM訓練法

1)收集同一時段任意靜止姿態加速度計輸出數據M組。

2)給定隨機誤差模型參數初值(0～1)，通過LM算法，以M組數據進行訓練求解誤差模型參數。

4.1.2 LM&最小二乘法自校準法

1)在為期30 d正常使用智能鞋墊的情況下，按照4.2所述條件每3 d自動檢測收集任意靜止姿態加速度數據M組。

2)根據LM算法，對第1次M組樣本數據給定隨機模型參數初值(隨機范圍0～1)，使用LM算法進行訓練，得到初始誤差模型參數。

3)根據基于LM&最小二乘法自校準法，對后續9次樣本數據依次以前一次訓練得到的參數為初值進行迭代訓練，更新得到最終誤差模型參數。

4.1.3 十二面體法

1)將鞋墊固定在治具上，保持鞋墊與治具水平與對齊。

2)連接藍牙設備，并根據圖1按照x,y,z軸旋轉0°，90°，180°，270°，每個狀態保持1 min。

3)根據十二面體法求解加速度計誤差模型參數。

4.1.4 橢球擬合法

1)采集智能鞋墊任意靜止姿態加速度數據M組。

2)根據橢球擬合法求解橢球擬合方程系數，并求解出橢球中心(即偏差)和橢球半徑(即尺寸因子)。

4.2 實驗結果

1)LM&最小二乘法自校準法所得結果如圖5(a)所示，在多次、長時間的循環迭代中，由初值設定不準引起的誤差模型參數的估計誤差在迭代中逐步消除，3次迭代后，由初值設定失誤引起的模型參數平均相對誤差降低95%。優化初值后，提高了參數訓練的運算速度，訓練時間由25 s降低到平均0.4 s，如圖5(b)所示。

2)如表1所示為4種校準方式下獲取的加速度計誤差模型參數及其參數的相對誤差。十二面體法、橢球擬合法、單純LM方法與LM&最小二乘法自校準法分別求解得到誤差模型中12、6、9、9個參數。

其中十二面體法、橢球法以及LM迭代法3種校準方法均對該加速度計在y軸方向存在較大零偏具有一致性描述。

圖5 LM&最小二乘法校準法迭代過程中參數變化

表1 本文方法與其他方法標定結果對比

3)橢球擬合法模擬出加速度計數據樣本構成的橢球面，如圖6所示，數據樣本越豐富，橢球擬合法越精準。本實驗中48組樣本擬合得到的零偏和尺寸因子6個參數。采用橢球擬合法對加速度數據進行補償，見表2，補償后三軸相對誤差分別為-83.36%，12.80%，3.70%，存在一定誤差。

圖6 橢球擬合球面圖

表2 橢球擬合法補償后的相對誤差

4)LM&最小二乘法自校準法構建的誤差模型對加速度計進行補償，所得結果見表3，相對誤差分別為18.110%，4.300%，0.316%，相對橢圓擬合法精度有明顯升高。進一步解算姿態角度，如圖7所示，解算所得各軸角度誤差為0.363 5°，0.699 6°，0.643 3°，誤差小于1°，可實現誤差補償后的姿態解算精度與傳統標定方法十二面體法同等量級。

表3 本文方法補償后誤差

圖7 本文方法補償加速度計后的姿態角度

結合不同方法的標定結果對比，可以得到本文提出的LM&最小二乘法自校準法的優勢如下：

1)在不斷LM迭代擬合過程中，加入了初值修正的步驟，優化解決了LM算法過度依賴初值的問題。并在可穿戴設備長期使用過程中采集校準數據，不需要人工設定姿態，實現了對加速度計實時校準。

2)對于橢圓擬合法，只能解算出6項參數，并且需要大量的靜態樣本對橢球擬合才能達到解算的精度，通過對比其解算得到的加速度數據，仍有較大誤差。LM&最小二乘法自校準法需要靜態觀測樣本少，且可解算出9種誤差參數，參數相對誤差更低。

3)傳統十二面體法可以解算誤差模型中所有參數，精度相對較高，但是需要相關立方體治具，需要人工固定，也需要相對水平的測試平臺。本文提出的LM&最小二乘法自校準法可以實現實時采集，實時解算的效果，且在一定程度上脫離了治具的束縛。以本文方法對加速度計標定后，解算出角度值與十二面體法解算出角度值誤差均小于1°，說明本文方法可以達到傳統標定方法相同量級的精度。

5 結 論

1)為保證MEMS持續、高精度的輸出，本文建立了基于LM算法的加速度自校準模型，根據靜態加速度計三軸輸出模等于1 g，將標定問題轉換為非線性方程優化問題。為解決LM算法過分依賴初值，導致擬合模型參數誤差較大的問題。本文提出對靜止姿態數據預處理，篩選出加速度計某個軸輸出接近g，另外2個軸輸出接近為0的靜止姿態數據，通過最小二乘法修正初值。

2)實際測試結果表明，由于初值的修正，與單純LM校準算法比，本文方法降低了對初值的依賴，提高了訓練效率。與橢球擬合法相比，本文方法標定時間短、精度高，解算參數的靜止姿態觀測樣本數量需求不高。

3)與傳統十二面體校準法相比，本文方法不需要轉臺與治具，并能達到與傳統校準方法相同的精度，并可以實現加速度計的實時自校準，針對可穿戴設備在未來能起到更廣泛的應用。

4)綜上所述，本文所闡述的方法融合了傳統誤差模型參數求解的方法與人工智能訓練的方法的優點。傳統誤差模型求解方程的算法可以為了數據訓練提供更精準的收斂方向，LM算法則擺脫了治具的限制，為加速度的自校準提供了新的方向。