(2+1)維AKNS方程的初值擾動(dòng)波及動(dòng)力學(xué)行為

康曉蓉鮮大權(quán)鮮驪珠

(1. 西南科技大學(xué)理學(xué)院 四川綿陽 621010； 2. 成都理工大學(xué)中英合作辦學(xué) 成都 610059)

1980年代由Ablowitz 等導(dǎo)出的如下形式的(2+1)維非線性演化模型[1]：

suxt+uxxxy+2suxyux+suyuxx=0,s∈R-{0}

(1)

被稱為Ablowinz-Kaup-Newell-Segur方程(簡(jiǎn)稱AKNS方程)。該模型描述了不同背景下的許多物理、化學(xué)現(xiàn)象，在一定條件下可約化為著名的Korteweg-De Vries方程、Sine-Gonden方程族和非線性薛定諤方程族等，科學(xué)內(nèi)涵豐富，受到學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注，諸多學(xué)者從不同方面對(duì)它展開了研究，近年來獲得了一系列研究成果[2-10]。作為高維非線性模型，AKNS方程具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，可用于研究AKNS方程的方法有很多[11-13]，本文應(yīng)用初值擾動(dòng)行波變換，結(jié)合相平面分析和橢圓函數(shù)展開法，探索(2+1)維AKNS方程的精確解在初始解擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為特征及其局域激發(fā)結(jié)構(gòu)。

1 方程初值擾動(dòng)行波約化

取方程初值擾動(dòng)波變換：

u=v(ξ)+a1x+a2y+a3(t),ξ=kx+ly-ct

(2)

其中a1x+a2y+a3(t)為方程(1)的一個(gè)初始解,a1，a2∈R,a3(t)為t的任意函數(shù)，k,l,c為非零行波參數(shù)。

將變換(2)代入方程(1)，對(duì)ξ積分一次取積分常數(shù)為B，得如下非線性常微分方程：

(3)

v'=w=w(ξ)

(4)

則有：

(5)

令2a1l+a2k-c=μ,方程(5)化簡(jiǎn)為如下形式：

2sμw+2k2lw"+3sklw2-B=0

(6)

(7)

取積分常數(shù)B=0，則動(dòng)力系統(tǒng)(7)的兩個(gè)平衡點(diǎn)為：

在平衡點(diǎn)處，系統(tǒng)(7)的Jacobi矩陣為：

其特征根分別為：

當(dāng)sμl<0時(shí),λ1為兩不等實(shí)根,λ2為兩共軛純虛根；當(dāng)sμl>0時(shí),λ1為兩共軛純虛根,λ2為兩不等實(shí)根。因此，系統(tǒng)(7)兩平衡點(diǎn)或?yàn)橹行狞c(diǎn)或?yàn)榘包c(diǎn),故存在閉軌、同宿軌和異宿軌。

2 方程(6)的閉軌及同異宿軌解析表達(dá)

依潘勒衛(wèi)分析思想[14]，對(duì)方程(6)作如下的橢圓正弦函數(shù)展開：

w=b0+b1SN+b2SN2

(8)

其中b0,b1,b2為待定常數(shù)，SN=SN(λξ,m)是模為m的Jacobi橢圓正弦函數(shù)，m∈[0,1]。

將(8)式代入方程(6)，得關(guān)于SN的四次多項(xiàng)式，取各項(xiàng)系數(shù)為零，得待定參數(shù)滿足的非線性超定代數(shù)方程組如下：

(9)

當(dāng)b1=0，m≠0,B=0,s,k,l,λ,μ,m滿足關(guān)系

16k4l2λ4(m4-m2+1)=s2μ2

(10)

方程組(9)有唯一精確解：

因此得到方程(6)的Jacobi橢圓正、余弦波解及其初值擾動(dòng)結(jié)構(gòu)如以下3種情況：

應(yīng)用關(guān)系SN2(λξ,m)+CN2(λξ,m)=1,得：

其中CN(λξ,m)是模為m的Jacobi橢圓余弦函數(shù)，m∈(0,1]。當(dāng)m≠1時(shí)，w1(ξ)和w2(ξ)均為閉軌。

(2)當(dāng)ksλ≠0,m→1時(shí),sμ=4k2lλ2,SN(λξ,m)→tanh(λξ),CN(λξ,m)→sech(λξ),則有:

w5(ξ)和w6(ξ)均為閉軌。

3 方程(3)的精確行波解結(jié)構(gòu)

將w1(ξ)-w6(ξ)式代入變換(4),取積分常數(shù)為零，則得方程(3)相應(yīng)的擾動(dòng)波精確結(jié)構(gòu)如下:

以上結(jié)果v1(ξ)-v6(ξ)的結(jié)構(gòu)包含兩個(gè)擾動(dòng)特征,v1(ξ)，v2(ξ)，v5(ξ)和v6(ξ)或?yàn)橹芷诓ǎ驗(yàn)闇?zhǔn)周期波；v3(ξ)，v4(ξ)或?yàn)榕そY(jié)波，或?yàn)闇?zhǔn)扭結(jié)波。

4 AKNS方程(1)的初值擾動(dòng)波分析

4.1 方程(1)的行波初值擾動(dòng)結(jié)構(gòu)

將v1(ξ)-v6(ξ)代入式(2)得方程(1)的行波初值擾動(dòng)解析結(jié)構(gòu)分別如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

4.2 方程(1)的行波解初值擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)特征分析

限于篇幅，僅以(14)式u4為例對(duì)方程的初值擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析。

因?yàn)楫?dāng)m=1時(shí)，約束關(guān)系(10)化為4k2lλ2=sμ，將μ=2a1l+a2k-c代入可得到4k2lλ2=s(2a1l+a2k-c)，取l=s，則有：c=2a1s+a2k-4k2λ2。

(17)

(18)

其中α為非零實(shí)數(shù)。特別地，當(dāng)α=0時(shí)，u4b退化為扭結(jié)波解u4a。

(3)當(dāng)(3sa1-3ksα-8k2λ2)(3sa2-3s2α-8ksλ2)(3sa3(t)+(3s(3sα+4kλ2)kα-32k3λ4)t)≠0時(shí)，得到廣義初值擾動(dòng)波解：

(19)

其中α為任意實(shí)數(shù)。

同理，上述u1，u2，u5和u6在初值擾動(dòng)下的演化特征分別為周期波、準(zhǔn)周期波與廣義非周期波；u3在初值擾動(dòng)下的演化特征分別為扭結(jié)波、準(zhǔn)扭結(jié)波和廣義非扭結(jié)波。

4.3 方程(1)的行波初值擾動(dòng)解局域結(jié)構(gòu)

(20)

圖1 u5a 的結(jié)構(gòu)及投影Fig.1 Structure and projection of u5a

(21)

圖2 u5b 的結(jié)構(gòu)及投影Fig.2 Structure and projection of u5b

(22)

圖3 u5c的結(jié)構(gòu)及投影Fig.3 Structure and projection of u5c

5 結(jié)論

利用相平面分析法定性討論了(2+1)維AKNS方程的行波閉軌和同異宿軌存在性，應(yīng)用初值擾動(dòng)行波變換和橢圓正弦函數(shù)展開法獲得了方程的帶時(shí)間任意函數(shù)初始解擾動(dòng)的扭結(jié)波和周期波精確解結(jié)構(gòu)。分析了方程的行波在初值擾動(dòng)下呈現(xiàn)的三類特征，討論了初值擾動(dòng)精確解的局域幾何結(jié)構(gòu)。 本文所用的綜合性研究思路和所獲結(jié)果，既拓展了AKNS方程的研究方法，也進(jìn)一步豐富了該方程的動(dòng)力學(xué)內(nèi)涵。