新的具有寬參數范圍的五維保守超混沌系統的動力學研究*

張澤峰 黃麗蓮 項建弘 劉帥

1) (哈爾濱工程大學信息與通信工程學院,哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學,先進船舶通信與信息技術工業和信息化部重點實驗室,哈爾濱 150001)

保守系統因為沒有吸引子,與常見的耗散系統相比,它的遍歷性更好,偽隨機性更強,安全性更高,更適合應用于混沌保密通信等領域.基于此,設計了一個新的具有寬參數范圍的五維保守超混沌系統.首先,進行Hamilton 能量和Casimir 能量分析,證明了新系統滿足 Hamilton 能量保守且能夠產生混沌.然后進行動力學分析,包括保守性證明、平衡點分析、Lyapunov 指數譜和分岔圖分析,證明了新系統具有保守系統的特點,且能夠在寬參數范圍內一直保持超混沌狀態,同時對比寬參數范圍內系統的相圖和Poincaré 截面圖,結果表明隨著參數增大,系統的隨機性和遍歷性得到增強.接著,對新系統進行 NIST 測試,結果顯示該系統在寬參數范圍內產生的混沌隨機序列具有很強的偽隨機性.最后對保守超混沌系統進行電路仿真和硬件電路實驗,實驗結果證實了新系統具有良好的遍歷性和可實現性.

1 引言

混沌系統具有遍歷性、偽隨機性和初始敏感性等典型特征,這些特征使混沌理論在混沌保密通信等多領域中具有重要的應用價值[1].從1963 年Lorenz[2]提出第一個混沌系統開始,新的系統不斷被提出,如Sprott 系統[3]、Chen 系統[4]、Lü系統[5]等,這些系統大多數是耗散系統.但是混沌系統的豐富特性,不僅僅只存在于耗散系統中[6-8],還應該包括保守系統和量子系統[9,10].

與耗散系統相比,保守系統的相體積恒定,不存在吸引子,系統維數為整數維,遍歷性更好,偽隨機性更強,安全性更高[11],因而保守混沌系統逐漸引起學者們的注意.2015 年Vaidyanathan和Volos[12]構造了一個三維無平衡點的保守混沌系統,2017 年Cang 等[13]構造了兩個保守混沌系統并進行了電路仿真.2018 年Qi[11]通過構建四維歐拉方程提出6 個不同的四維Hamilton 保守混沌系統,為構建保守混沌系統提供了新的思路.2019 年Dong 等[14]提出一類新的具有多穩定性的Hamilton保守混沌系統,并設計和開發了偽隨機數信號發生器,證明了保守混沌系統的應用前景.2020 年Gu等[15]提出一個新的四維非Hamilton 保守超混沌系統,并對其動力學特性進行了詳細分析.2021 年Chen 等[16]提出了一個二維非自治保守系統并在積分域上進行了重構,使保守運動有了更充分的解釋.

在工程應用中,如果有一類混沌系統能夠隨著某個參數變化,在更寬的范圍內一直保持混沌狀態,那么這類系統在保密通信[17]、密碼學[18]、混沌控制[19]等領域中將更有優勢.2007 年Barboza[20]提出一個線性擴展的四維Lorenz 系統,并證明了該系統在寬范圍下是超混沌的.2009 年Jia 等[21]提出一個大范圍超混沌系統并用模擬電路驗證了系統的復雜性.2013 年Liu和Zhang[22]提出一個寬參數范圍的雙渦卷混沌系統.2018 年Xian 等[23]提出一個大范圍參數下具有共存吸引子的混沌系統,并用模擬電路和FPGA 驗證了系統的混沌特性.2019 年Xu 等[19]提出一個超大范圍混沌系統并進行了自適應滑模控制.同年,Xu和Li[24]又構建了一個具有共存混沌吸引子的超大范圍參數混沌系統.

以上研究都是關于寬參數范圍耗散混沌系統的,對于寬參數范圍保守混沌系統卻鮮有報道.2011 年Sprott[25]提出三條標準,新構建的混沌系統應該至少符合其中的一條.對比近些年關于保守混沌系統的文獻[11-16]發現,尚未有學者專門針對寬參數范圍的保守混沌系統進行研究.文獻[15]雖然提到系統的混沌區域具有較大的參數空間,但是并沒有進行更深入的研究.因此,本文基于五維歐拉方程構造了一個新的具有寬參數范圍的五維保守超混沌系統,它符合Sprott 提出的第二條標準“系統應該表現出一些以前沒有觀察到的行為”.新系統滿足Hamilton 能量保守和相體積保守,具有保守系統特有的中心平衡點,只有混沌軌道而不存在吸引子,并且可以在寬參數范圍內一直保持超混沌狀態和良好的遍歷性.同時還對新系統在寬參數范圍內產生的混沌隨機序列進行了NIST 測試,測試結果表明序列的偽隨機性良好,基于新系統設計偽隨機數發生器是可行的.最后對新系統進行了硬件電路設計與實現,實驗結果與數值仿真結果一致,證實了系統是無吸引子和具有優越遍歷性的保守超混沌系統,同時也是可實現的.

2 系統模型

2.1 五維歐拉方程的建模

本文參考文獻[26]的方法,將子剛體S123和S145耦合共軸于軸1 得到五維剛體Σ1,它的五維歐拉方程的Hamilton 向量場形式可以描述為

因為J1(x)是斜對稱矩陣,所以系統Σ1的Hamilton 能量和Casimir 能量都是保守的.

證明1系統Σ1Hamilton 能量保守.

能量的變化可以通過Hamilton 函數H(x) 關于時間的微分表示,因為J1(x) 是斜對稱矩陣,可得

所以系統Σ1滿足Hamilton 能量保守.

證明2系統Σ1Casimir 能量保守.

Casimir 能量是剛體動力學中一個重要的物理量.Casimir 能量的變化率稱為Casimir 功率,它反映了一個系統供應能量和消耗能量的功率差.當外部轉矩和耗散轉矩不存在時,即≡0和C/=0,Casimir 能量是保守的.定義Casimir 函數為

(6)式滿足Lie-Poisson 括號,={C,H}=0,?H ∈C∞(g*).

對于系統Σ1,可得

所以系統Σ1滿足Casimir 能量保守.

由上述分析可知,本節構造的五維歐拉方程滿足Hamilton 能量和Casimir 能量雙保守,從而不會產生混沌,但可以為下一步構造Hamilton 保守超混沌系統提供框架.

2.2 Hamilton 保守超混沌系統的建模

為了產生混沌,必須破壞系統Σ1Hamilton能量和Casimir 能量的雙保守.因為要構造的系統滿足Hamilton 能量保守,所以可以通過在J1(x)中引入常數來破壞系統Σ1的Casimir 能量保守,使Casimir 功率進行無規則振蕩,從而為產生混沌創造條件.

2.3 能量分析與數值驗證

設置 (Π1,Π2,Π3,Π4,Π5)=(3,2,4,5,8),初始值為 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5),當a=b=c=0 時,系統是五維歐拉方程對應的系統Σ1,此時Hamilton 能量和Casimir 能量都是保守的,系統Σ1只能產生周期軌道,它的時域波形和Casimir 功率都在有規則地振蕩,如圖1(a)和圖1(b)中的紅色曲線所示.當 (a,b,c)=(0.5,0.4,0.2)時,系統Σ1變為系統,Hamilton 能量仍然是保守的,但是Casimir 功率開始不規則的振蕩,Casimir 能量的保守狀態最終被打破,為系統產生混沌創造了條件.圖1(a)和圖1(b)的藍色曲線分別表示系統的時域波形和Casimir 功率,可以看出曲線的變化是隨機的.圖1(c)和圖1(d)分別給出了兩個系統在三維平面和二維平面下產生的相圖,紅色曲線表示系統Σ1產生的周期軌道,藍色曲線表示系統產生的混亂軌道.數值仿真的結果驗證了2.1節和2.2節理論分析的正確性.

圖1 數值仿真,紅色部分為系統 Σ1,藍色部分為系統 (a)時域波形;(b)Casimir 功率;(c) x1-x4-x5 相圖;(d) x1-x4相圖Fig.1.Numerical simulation,the red part is system Σ1,the blue part is system :(a) Time domain waveforms;(b) Casimir power;(c) x1-x4-x5 plane;(d) x1-x4plane.

3 動力學分析

3.1 保守性

3.2 平衡點

設置(10)式中

令fi(λ)=0,i=1,2,3,4,可以得到對應的特征值.表1列出了部分特征值和對應的平衡點類型,從中可以看出,平衡點 (0,0,0,0,0)對應的特征值是(0,jω1,-jω1,jω2,-jω2),由0和純虛數組成,可以判定(0,0,0,0,0)是中心平衡點,滿足保守系統的特點.事實上因為系統是Hamilton 保守系統,不能漸進的到達平衡點,所以系統中只存在中心和鞍型平衡點[27],表1也驗證了這一點.

表1 系統 的平衡點和特征值Table 1.Equilibrium points and characteristic values of system .

表1 系統 的平衡點和特征值Table 1.Equilibrium points and characteristic values of system .

3.3 寬參數范圍的Lyapunov 指數譜和分岔圖

當全局只有一個Lyapunov 指數為正時,系統定義為混沌系統.當有超過一個正的Lyapunov 指數時,系統定義為超混沌系統[28].此外,保守系統的Lyapunov 指數是關于零對稱的,因此所有Lyapunov 指數之和為零,這意味著整個相空間體積是守恒的.

對于系統,設置參數(Π1,Π2,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,2,4,5,8,0.5,0.4,0.2),初值(0.5,0.1,0.5,0.1,0.5).計算Lyapunov 指數的方法有很多,本文選擇Jacobi 矩陣法求Lyapunov 指數[29,30].圖2(a)是系統隨著參數Π2變化的Lyapunov 指數譜,圖中有6 條曲線,其中紅色曲線表示Lyapunov指數之和,與x軸完全重合,恒等于零,再次證明系統是保守的.其余5 條曲線從大到小記為L1＞L2＞0,L3≈0,0＞L4＞L5,滿足超混沌系統的條件,系統是超混沌系統.圖2(b)是對應的分岔圖,沒有出現分岔現象,只有1 條由無數點連成的粗線,符合超混沌狀態的特性,同時還可以看出系統幾乎是瞬間進入超混沌狀態且能夠一直保持,與Lyapunov 指數譜相符.Lyapunov 指數譜和分岔圖還有一個特點是橫坐標Π2∈[0,1600],具有很寬的參數范圍,說明系統是具有寬參數范圍的Hamilton 保守超混沌系統.

圖2 數值仿真 (a)系統 的Lyapunov 指數譜;(b)系統 的分岔圖Fig.2.Numerical simulation:(a) Lyapunov exponent spectrum of system ;(b) bifurcation diagram of system Σ1H.

3.4 參數 Π2對系統 的影響

寬參數范圍的混沌系統最顯著的優勢就是混沌狀態可以任由參數在寬范圍內改變而一直保持.我們利用相圖和Poincaré截面圖分析參數Π2在[0,1600]變化時對系統的影響.仿真參數調為一致,設置參數(Π1,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,4,5,8,0.5,0.4,0.2),初值 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5),選取Π2=2,500,1000,1500時的四種情況,系統的相圖和Poincaré截面圖如圖3所示.左側是Π2取不同值時在x3-x4平面上的相圖,隨著Π2的增大,混沌軌道越來越密集.右側是對應的Poincaré截面圖,可以看出4 個截面上都有大量的面狀點,結合3.3節的分析,說明系統始終處于超混沌狀態.通過右側4 張圖對比,還可以發現隨著Π2的增大,點組成的面的范圍也在變大,這說明系統不僅可以在大范圍內保持超混沌狀態,而且隨機性和遍歷性也都在增強.

值得一提的是,保守系統因為相體積守恒,它的運動軌道永遠不會吸引附近的軌跡,所以沒有吸引子[27],圖3和圖4的相圖可以很好地說明這一點.從圖上還可以看出混沌軌道填滿了大部分平面,證明了保守超混沌系統的遍歷性良好.

圖3 系統 的相圖和Poincaré截面圖 (a) Π2=2時的相圖;(b) Π2=2時 的Poincaré截面圖;(c) Π2=500時的相圖;(d) Π2=500時 的Poincaré截面圖;(e) Π2=1000時的相圖;(f) Π2=1000時 的Poincaré截面圖;(g) Π2=1500時的相圖;(h) Π2=1500 時的Poincaré截面圖Fig.3.Phase diagrams and Poincaré maps of system :(a) The phase diagram when Π2=2;(b) the Poincaré map when Π2=2 ;(c) the phase diagram when Π2=500;(d) the Poincaré map when Π2=500;(e) the phase diagram when Π2=1000 ;(f) the Poincaré map when Π2=1000;(g) the phase diagram when Π2=1500;(h) the Poincaré map when Π2=1500.

圖4 系統在Π2=2的相圖(a)x2-x5平面;(b) x3-x5平面Fig.4.Phase diagrams of system when Π2=2:(a) x2-x5plane;(b) x3-x5plane.

4 NIST 測試和電路實現

4.1 NIST 測試

為了證明本文設計的保守超混沌系統在寬參數范圍內產生的混沌隨機序列具有偽隨機性,我們采用美國國家標準與技術局推出的STS測試包,即SP800-22 標準驗證[31].它的測試項目全面,測試軟件成熟,測試結果認可度高.NIST 總共設定了15 個測試項檢驗真隨機序列或偽隨機序列的質量,每一項測試都會得到1 個P-value.對于測試結果采用兩種方法判斷:1)檢驗通過統計檢驗的序列比例;2)檢驗P-values 的分布是否均勻.

1)對于系統,選擇默認顯著性水平α=0.01,P-value 大于0.01 表示通過該項測試,同時考慮m組測試序列中P-values 大于0.01 的比率,以是否落在置信區間為準.置信區間為

表2 系統 的NIST 測試結果Table 2.NIST test results of System .

表2 系統 的NIST 測試結果Table 2.NIST test results of System .

2)檢查P-values 分布以確保均勻性,通常我們可以使用直方圖來直觀的表示,將0和1 的區間分成10 個等間距的子區間,P-values 分布在每個子區間的數量被顯示.為充分體現P-values 分布的均勻性,選取測試次數最多的非重疊模塊匹配檢驗進行直方圖驗證,如圖5所示,可以看到Pvalues 分布具有很好的均勻性.其他14 項也都有類似的分布,證明了P-values 分布均勻.

圖5 系統 非重疊模塊匹配檢驗的P-values 的直方圖Fig.5.P-values histogram of non-overlapping template matching test of system .

4.2 電路設計與實現

根據文獻[32]提出的基于無量綱狀態方程的模塊化設計方法進行混沌電路設計,采用不同阻值的線性電阻、線性電容、乘法器和運算放大器實現.將參數(Π1,Π2,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,2,4,5,8,0.5,0.4,0.2)代入(10)式中,得:

根據(17)式做模塊化電路設計,如圖6所示.

圖6 系統 的電路設計Fig.6.Circuit design of system .

對應的電路狀態方程為

首先使用仿真軟件進行電路模擬,設置電容C1=C2=C3=C4=C5=20 nF,電阻R4=R9=R13=R17=R22=50 kΩ,R3=R8=R12=R16=R21=100 kΩ.考慮到狀態變量在正常變化范圍內,故不需要對變量進行比例壓縮變換.時間尺度變換因子為100,同時模擬乘法器輸出比例系數選擇100 mV/1 V.通過對比(17)式和(18)式的系數,得到R1=50 kΩ,R2=33.3 kΩ,R5=100 kΩ,R6=500 kΩ,R7=625 kΩ,R10=100 kΩ,R11=250 kΩ,R14=20 kΩ,R15=1250 kΩ,R18=50 kΩ,R19=2500 kΩ,R20=500 kΩ.設置5 個電容的初始電壓分別為0.5,0.1,0.5,0.1,0.5 V,與混沌系統的初始值 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5) 對應.供電電壓選擇±15 V,使用Multisim 軟件進行電路模擬.仿真結果如圖7所示,與圖4的實驗結果一致,證明了系統是沒有吸引子,具有優越遍歷性的保守超混沌系統.

圖7 系統 的仿真電 路 (a) x2-x5相圖;(b) x3-x5相 圖Fig.7.Simulation circuit of system:(a) x2-x5plane;(b) x3-x5plane.

接下來進行硬件電路設計,乘法器選擇AD633JN,運算放大器選擇TL082CP,硬件實驗電路如圖8(a)所示.結合參數取值和實際元件參數限制,同時盡可能的考慮實際電路中可能遇到的問題,設置電容C1=C2=C3=C4=C5=1 nF,電阻R4=R9=R13=R17=R22=100 kΩ,R3=R8=R12=R16=R21=1 kΩ.另外對比系數,選取R1=100 kΩ,R2=66.7 kΩ,R5=200 kΩ,R6=5 kΩ,R7=6.25 kΩ,R10=200 kΩ,R11=2.5 kΩ,R14=40 kΩ,R15=12.5 kΩ,R18=100 kΩ,R19=25 kΩ,R20=5 kΩ.反相器部分的電阻都是 100 kΩ,模擬乘法器輸出比例系數選擇 1V/1 V.供電電壓為±15 V,由EM1716 A 直流穩壓電源提供.利用VOS-620 B 雙蹤示波器觀察結果,如圖8(b)所示.實驗結果驗證了系統的可實現性,為以后的應用提供了一定的參考價值.

圖8 系統 的實際電路 (a)硬件實驗電路;(b)實驗結果Fig.8.Actual circuit of system :(a) Hardware experimental circuit;(b) experimental result.

5 結論

本文基于五維歐拉方程提出了一個新的具有寬參數范圍的五維保守超混沌系統.首先進行了能量分析,包括Hamilton 能量和Casimir 能量,證實了新系統是Hamilton 能量保守且能夠產生混沌.然后分析了動力學特性,包括散度、平衡點、Lyapunov 指數譜和分岔圖,說明了新系統是具有寬參數范圍的保守超混沌系統.分析參數對系統的影響則進一步闡述了新系統寬參數范圍的特性,系統的超混沌狀態可以在參數改變時保持不變,并且隨著參數增大,系統的遍歷性和隨機性也在增強.接著進行的NIST 測試說明新系統產生的混沌隨機序列具有良好的偽隨機性,基于新系統設計偽隨機數發生器是可行的.最后,電路仿真實驗和硬件電路實驗的結果表明新系統具有優越的遍歷性和物理可實現性.本文深入分析了新提出的具有寬參數范圍的五維保守超混沌系統,這對于推動研究保守超混沌系統有著積極的影響,為進一步將保守超混沌系統應用于保密通信等領域提供了理論支撐.

感謝天津工業大學電氣工程與自動化學院胡建兵博士給予的討論.