探索小學數學方程教學中建立數學模型的策略

方玉紅

新課程注重讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、得到結果、解決問題的過程。利用方程這種基本的數學模型，讓學生經歷從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題，用符號表示數量關系和變化規律，求出模型的結果并討論結果的意義。“稍復雜的方程”一課中，設計時就力求體現：培養學生的學習興趣和應用意識，經歷列方程解決問題的過程，培養模型思想。

然而，對于小學五年級學生來說，要在自主活動經驗的基礎上來建模，學生的直觀經驗、思維品質、知識整合會在很大程度上制約模型建立的過程和理解。因此，在“稍復雜的方程”教學中，教師更加注重數學知識在生活經驗中的生長點，更加關注學生思辨力在建模中的積極作用，讓方程思想與解題模型如行云流水般，自然地滲透于教學過程。對數學模型的建立過程，于此課中做了大膽成功的實踐。

一、課前學情分析，找準知識的生長點

數學建模的基本步驟是：觀察實際情境—發現提出問題—抽象成數學模型—得到數學結果—檢驗（是否合乎實際）—可用結果。情境的引入能不能激發學生的思考、能不能調動學生以往的學習經驗、能不能與后續學習建立有邏輯內涵的聯系，對順利建模有著開局的影響力。于是，教師在設計“稍復雜的方程”一課時，細致分析了學情：在學習稍復雜的方程（一）前，學生已認識字母表示數的意義和作用，并初步了解方程的意義和等式的基本性質，并能運用它解簡易方程。這一課時是對前面知識的提高深化，它擔負著教學列方程和解方程的雙重任務，是本單元的學習重點，也是難點。學會用方程解決問題，能夠讓學生在解決問題的時候擺脫算術思維方法中的某些局限性，尤其是逆向思維的解決問題。

教師在引入課程內容時，沒有用書上原有的足球的情境，而是另辟蹊徑：引導學生感知數量間的關系。1.有一個密碼箱，當輸入26時，顯示56，讓學生猜測是通過怎么樣的運算得到的。學情預設：學生匯報時可能會出現以下情況：26+30=56，26×2+4=56或26×3-22=56……2.若把56看作我國民族個數、26看作云南民族個數，學生嘗試以26×2+4=56為例描述我國民族個數和云南民族個數的關系：云南民族個數×2+4=我國民族個數，即我國民族個數比云南的2倍多4個。

這樣的情境引入，從生活實際中抽象概括了事物間蘊含的數量關系，這就是數學的價值、數學的美。也為整堂課營造最炫民族風這樣的知識背景打開了序幕。

二、放飛思辨的翅膀，探索知識的關鍵點

預設與生成是課堂教學的兩翼。沒有預設的課堂是不負責的課堂，沒有生成的課堂是不精彩的課堂。數學建模是學生將數學知識內化生成加工的過程，思維品質決定著模型形成的實效性，思辨能力決定著模型應用的邏輯性。因此，在探索路上，學生的思辨能力將深遠地影響著知識的發展與應用。于是，教師設計了這樣的思辨過程：初步感知方程思想，體會列方程解決問題的優越性。1.根據以上數量關系，讓學生隱藏某個已知條件編成解決問題的題目。學情預設：學生匯報時可能會出現以下情況：（1）云南有26個民族，我國民族個數比云南的2倍多4個，我國有多少個民族？（2）我國有56個民族，比云南的2倍多4個，云南有多少個民族？2.對應兩道題把學生編為兩組分別列式，要求只列式不計算，完成即刻舉手示意。學情預設：由于思考方向的不同，列式中解決第（1）題的學生速度和正確率明顯優于解決第（2）題的學生。教師借勢判斷一組的同學要比二組聰明，引起兩組學生的爭議。教師要求兩組學生交換題列式并思考一組同學優于二組的原因，引導學生感受第（1）題順向容易思考，第（2）題反推較難思考。3.引導學生想到以第（1）題（順向思考）的思考方法列出含有未知數的等式，列方程解決。

設計意圖：第（2）題若用算術方法解，需要逆向思考，思維難度較大，學生容易出現先除后減的錯誤。讓學生通過編題、小組比賽列式等活動，引起認知沖突：若能用方程解，思路比較順。從而感知方程思想，體會列方程解決問題的優越性。

三、蹊徑探幽，呈現知識的發展點

1.建立數量間的相等關系，列方程

（1）小組合作，提供以下卡片

我國民族個數 云南民族個數的兩倍 4 =

以4人小組為單位，將卡片置于等號兩端，使數量間能保持相等的關系，從而建立“我國民族個數”和“云南民族個數”間的相等關系。

學情預設：學生匯報時可能會出現以下情況：

云南民族個數×2+4=我國民族個數，我國民族個數-云南民族個數×2=4，云南民族個數×2=我國民族個數-4。

（2）根據生成的等量關系，列出方程

在列方程前，應先寫“解：設”以交代未知數代表的數量。

學情預設：學生匯報時可能會出現以下情況：

2x+4=56，56-2x=4，2x=56-4……

選擇形如ax±b=c的方程，引出課題：稍復雜的方程。

設計意圖：通過學生的集體討論并展示研究結果，讓學生講述自己的思路，教師給予適當的評價、補充，肯定學生的研究成果，激發學生的學習興趣，培養學生的思維能力、口語表達能力和解決問題的能力。

2.解方程

（1）以方程“2x+4=56”為例嘗試解方程。

教師提供三種方案供學生選擇：①教師示范解這個方程;②自學教材第65頁內容，獨立嘗試解方程;③不看教材，獨立想辦法解決。

學情預設：學生解方程時可能會出現以下情況：

①自學教材第65頁內容，嘗試解方程：

2x+4=56，2x+4-4=56-4，2x=52，2x÷2=52÷2，x=26。

②不看教材，自己想辦法解決，可能與上述一致，也可能用其他方法解方程。

（2）學生匯報交流，無論以何種方法解方程都給予肯定

師：通過閱讀教材，你要提示其他同學應注意些什么？

學情預設：學生匯報時可能會出現以下情況：

①先把2x看成一個整體。②要記住驗算。③書寫格式等。

（3）驗算并寫出答案。

3.小結列方程解決問題的步驟

（1）弄清題意，找出數量之間的相等關系，列方程。

（2）解方程。

（3）檢驗，寫出答案。

4.溝通三個相等關系的聯系

學生思考三個相等關系之間有什么聯系？

以“云南民族個數×2+4=我國民族個數”為例，溝通它與“我國民族個數-云南民族個數×2=4”和“云南民族個數×2=我國民族個數-4”之間的聯系。

四、培養模型思想，尋找知識的轉化點

數學模型的建立，與培養學生模型思想是同步的。建立模型思想的本質就是使學生體會和理解數學與外部世界的聯系，而且它也是實現上述目的的基本途徑。在教學實踐中，培養模型思想，就要找到知識的轉化點。例如，在本節課中，教師有如下設計：記者從云南省第六次全國人口普查新聞發布會上獲悉，云南省普查實際登記人口中，漢族約有3063萬人。有6個少數民族人口過百萬，由多到少排列依次是彝族、哈尼族、白族、傣族、壯族和苗族。據了解，人口最少的是獨龍族，其次是水族和滿族，水族約有7000人，比獨龍族的2倍少4000人，獨龍族有多少人？學生根據作業單上的信息，選定一個問題列方程解答。通過聽老師讀信息，學生從聽到的眾多信息中篩選出另一條解題需要的信息。

教師讀信息：學校民族歌舞團中，回族有10人。回族人數是彝族的2倍少2人;回族人數是白族的2倍，回族人數是傣族的3倍少2人;回族人數是佤族的3倍多1人。

拓展：播放視屏《舌尖上的中國（1）》片段，介紹云南香格里拉的松茸，通過數量間的關系，溝通一支松茸在原產地、東京和高檔餐館的不同價格，留給學生尋找答案的空間。

這樣在明確建立和求解模型的過程中，學生學會從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律。通過模型去求出結果，并用此結果去解釋討論它在現實問題中的意義。學生在循序漸進的學習中感悟模型思想，這樣的建模方式，其基本特點可以用源于生活而高于生活來概括。這種高于體現在對生活事理的簡約、提煉、概括和數學化的表達上。

總之，數學模型的建立，模型思想的教學，不是能像具體知識點那樣可以單獨作為一個數學內容來進行專門教學的，而是融入具體數學知識的教學過程中，讓學生在學習過程中領悟體會形成的。并且模型思想的建立，需要經歷一個比較復雜的過程，需要教師長時間的滲透與培養。借用屈原的一句話來表達我們的體會，那就是“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”。