淺談數形結合法在高中數學中的應用

劉永俠

【摘要】采用數形結合法學習高中數學，可以更快更有效地解決數學中的難題.數字和圖形的結合，不僅可以培養學生們的思維能力，還能直觀地讓學生們理解數學內容，提高高中生數學的解題效率.本文根據實踐教學，主要分析了數形結合在高中數學教學中的有效使用.

【關鍵詞】數形結合;高中數學;應用研究

數形結合是將數字與圖形相聯系，用簡單的圖像來表達抽象的數量關系，使之更加直觀.大部分高中數學題目都是基于一定的空間和數量基礎上進行研究的，采用數形結合法可以促進學生數學學習的有效性.新課改背景下，高中數學有很多政策需要改進實施，但是如果數學學科的教學質量仍然保持原樣，則無法讓學生更好地理解.因此，在數學課堂上，老師要嘗試將數形結合的方法融入數學的講解，以提升學生的知識理解能力，甚至提升最終的高考分數.

一、數形結合法的基本概述

數形結合法是以題目所給的條件和結果構成的聯系作為基本的條件，根據這些基本的條件進行幾何分析和代數分析，用空間圖形或者幾何圖形的形式把關系更直接準確地體現出來，讓學生能直觀分析條件之間存在的隱性關系.在使用數形結合法的過程中，教師可以讓學生們更加高效地解決數學上的難題，讓思路更加順暢，簡化數學教學中的重點和難點，把抽象的問題具體化.通過有效的分析和轉化，可以突出題目的重點，消除不明顯的條件，甚至可以提高學生們的綜合解題水平.

在高中階段的數學教學中，不等式、三角函數、幾何圖形證明的內容，大都需要數形結合的方法來實現.對數學的研究和探索，最初圍繞“數”與“形”的研究展開，隨著人們的不斷探索，逐漸發現兩者之間可以在特定條件下實現相互轉換.數形結合的基本含義是以待處理的數學問題與公式定理之間的關系為理論基礎，探討問題的代數意義，展示問題的幾何意義.在此過程中，數學空間圖形圖像實現了與代數、數字的巧妙融合.將該方法應用于數學問題求解，可以更快地找到解決問題的線索，簡化復雜的過程，并準確、快速地解決問題.

采用數形結合的概念來描述數字與圖像之間的對應關系，簡單地說，它是數字和形狀的組合，結合了人們可以直接觀察到的位置的數量、聯系的數量和專門的數學術語，用數字分析形狀，用形狀注釋它們，并優化現有的解決方案，解決困難和復雜的問題.

二、數形結合法的意義

在傳統的數學課堂上，由于教師的教學方法單一、枯燥，在一定程度上降低了學生學習數學的效率.因此，在高中數學課堂上有效地采用數形結合的方法，可以提高學生的邏輯思維能力，還能讓學生對數學的重點難點加深記憶和理解，提高學生的學習效率和興趣.

（一）有利于構建數學知識的框架

數學是一門抽象的學科，由于其知識點抽象且難以理解，對于高中生來說，一些數學專業化、難以理解的數學語言可能會使他們對數學學習失去興趣，也會導致教師的教學目標難以實現.在數學學習過程中，構建一個良好的數學知識框架體系是學生學習數學的關鍵.因此，在高中數學中，有效運用數形結合的方法使抽象的數學知識點具體化，將復雜難懂的問題變得簡單易懂，不僅可以培養學生們的感性思維能力，還可以提高數學知識的理解記憶能力.

（二）有利于提高對數學知識的應用能力

在傳統的數學課堂教學過程中，都是把教師當作課堂的主體，教師在講臺上講，學生聽，由于學生缺乏主動性，對數學的知識點理解不透徹，記憶不深刻，學習的主動性不能有效發揮，思維方式不僅受到限制，而且不利于學生思維的全面發展.因此，在高中的數學課堂上，教師應采用數形結合的方法來教學數學問題，這樣既打破了傳統教學模式下的枯燥乏味，也讓數學的課堂變得多角度，更加生動和多樣化.同時，讓學生成為課堂的主體，讓學生可以根據所學的數學基礎知識進行獨立思考，進而采用數形結合的方法，把已知的題目條件轉換成自己看得懂的、可以理解的圖形，這樣不僅可以在根本上提高學生的解題能力，而且可以提高學生的學習興趣.

（三）有利于激發數學學習的興趣

數學學習的過程枯燥乏味，尤其高中數學又比較復雜，所以學生在學習的過程中，經常會由于做不出來而失去興趣.因此，在數學課堂上，教師應采用數形結合法將數字和形狀相結合，把知識點進行簡化，讓學生能夠更直觀地通過學習數學的“形”去深刻了解“數”，這樣不僅可以在一定程度上消除學生們對數學的厭倦，而且可以把枯燥的課堂氛圍變得更加生動有趣，調動學生們的學習積極性，從根本上提高學生的學習成績.

三、掌握數形結合法的原則和思想

（一）數形結合法原則

在進行數學學習的過程中，高中生應該根據老師的想法和要求，把數形結合法融入數學的解題過程中，充分掌握數學結合法，不斷練習，直至可以熟練運用.在這個過程中，要遵循兩個基本原則，第一是質變和量變的原則，第二是啟發性原則.

1.量變到質變的原則

所謂質變原則，就是在學習數學的過程中把握最基本的概念，通過對其他概念的理解，發現這些概念之間的關系和本質，以及數學中各種結構和運算之間的差異，不斷地積累數學與數學之間的關系，建立它們之間的關系，進行它們之間的轉換，從而可以讓數學問題得到更加全面的理解.在提高學生思維能力的基礎上，然后逐步把量變累積形成質變.

2.啟發性原則

這里說的啟發性原則，是指在教師教學的過程中，讓學生們先接受對簡單問題的解決，然后再逐步深入解決難題，先從基本的概念定義入手，讓學生們在逐步理解概念和定義的基礎上，探索更深層次的內容.在這個探索的過程中，不僅要求學生們能夠有探索的結果，還要掌握探索的過程和方法，以便于更好更深層次地進行有效的探索.

（二）數形結合法的思想

學生掌握數形結合概念的本質，要特別注意以下四個方面：首先，在求解問題之前要觀察圖形，從觀察中得到相對量的關系.其次，為了讓圖形中的數量關系更加清晰準確，可以確定好題目的已知條件，再進行繪制圖形，以保證圖形的準確性和正確性.再次，要清楚地理解“數”與“形”的關系，以便于更好地把握條件進行繪制.最后，為了使數形結合法得到靈活運用，我們應該很好地掌握數與形之間的轉換.

四、數形結合在高中數學教學中的作用

1.幫助學生理解課堂知識

一般來說，從初中到高中的過渡，不僅包括學習的壓力，還有課程知識的深度和內容的廣度.高中數學比初中數學更復雜，也更深奧，學生很容易受挫折，停止學習.學生的邏輯思維和抽象理解能力需要在課堂上積累和提高，如果教師能在課堂上使用數字和圖形的組合，數學學習就會簡單得多.

2.幫助學生激發數學興趣

在數學教學中，不是所有的數學問題都能被學生理解，但在課堂上運用數字和圖形的組合則有助于簡化這些問題，并向學生展示問題的本質.由此，學生找到了解決數學問題的方法，不再排斥數學.在數學課堂上運用數形結合的方法，可以更加清晰、全面地展示數學知識的結構，讓學生在學習中變得積極主動，這樣可以增強學生的學習信心和興趣，同時可以提高學生的解題能力和數學成績.

例如，可以采用維恩圖來解決的問題.比如一個班有60個學生，其中有20人報名參加了英語競賽，15人參加了數學競賽，5人同時參加了英語競賽和數學競賽，問在這當中有多少人沒有參加.這個問題就可以通過維恩圖來解決：參加英語競賽的有20人，物理競賽的有15人，各自畫包圍圈，則兩個包圍圈的交點意味著同時參加英語和物理競賽的5人.包圍圈之外則是沒有參加競賽的人數.這樣可以得出公式：60-（20+15-5）=30（人）.

3.培養學生的思維能力

仔細分析高中數學我們可以發現，現有的數學教科書中的大多數問題都可以應用數形結合的解決方案.在應用過程中，教師應幫助學生發展抽象數學思維和形象理解能力，并將這些能力應用到后續課程中，這樣可以使學生更好地掌握解決問題的技巧，簡化復雜問題，提高應用的靈活性、準確性.

例如，有關X的一元二次方程：x2 +（a2-9）x+a2-5a+6=0，如果其中一個根小于0，另一個根大于2，求實數 a的值的范圍.如果用傳統方法求解，可以用求根公式直接得到方程的兩個根，然后用“其中一個根小于0，另一個根大于2”的方法建立不等式.用根的符號求解兩個不等式是很麻煩的，如果我們根據三個二次函數的關系畫出圖像，并用二次函數和數的圖像特征求解，問題就變得非常簡單了.

這樣一來，學生對二次函數有了更全面的理解，對應的坐標、位置、形狀也能更清楚地顯示出來.教師在教學中運用數字與圖形的組合，可以為學生找到解決問題的新思路，如以圖形的形式顯示函數，便于標記相應的范圍或變化趨勢，減少出錯的可能性，也可以更容易、更準確地確定最大值和對稱軸.

總之，教師在課堂中運用數形結合的方法，可以幫助學生更好地理解數學問題，拓展學生的思維能力，這種能力也將會在幾何、統計、概率、函數等方面得到運用.因此，教師在平時的教學中，不僅要注重鉆研教材，充分找到教材中的精髓，也要合理利用數形結合法，培養學生的解題能力，最終實現高效解決問題的目的.

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