基于全相位FFT三譜線校正的電網(wǎng)諧波與間諧波檢測算法

譚保華，張文宇，黃程旭，鄭焙天，何嘉奇

(1.湖北工業(yè)大學理學院，武漢 430068；2.長江大學物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023；3.湖北工業(yè)大學機械工程學院，武漢 430068)

隨著非線性負載的普及使用，電網(wǎng)的結構復雜化的同時，電網(wǎng)諧波污染[1-3]也日益嚴重.因此，為了抑制諧波危害，必須對諧波進行檢測，以保證電網(wǎng)的穩(wěn)定運行.

目前，快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)在電網(wǎng)諧波檢測中應用較為廣泛[4]，但時域截斷過程中常產(chǎn)生頻譜泄露和柵欄效應，影響諧波分析精度.加窗函數(shù)和譜線插值算法是FFT算法常用的改進方法，一方面是選用更好的窗函數(shù)，而另一方面是增加修正的譜線條數(shù)，文獻[5-7]通過卷積得到旁瓣特性更好的窗函數(shù)，雖然構造的窗函數(shù)抑制頻譜泄露能力更強，但卷積也使得窗的主瓣寬度增加，頻率分辨率損失加大.文獻[8-9]中使用更多的譜線修正，提高精度的同時算法復雜度也大大提高，影響了電網(wǎng)諧波分析的實時性.

在傳統(tǒng)加窗插值FFT算法的基礎上，文獻[10]首次提出了全相位FFT算法的概念，其計算所得各條譜線的相位值與頻率誤差無關，滿足“相位不變性”，相位檢測精度較FFT更高，并且全相位FFT算法本身帶有頻譜泄露抑制能力.文獻[11]中提出了一種組合優(yōu)化算法，利用改進FFT算法計算幅值和頻率，利用全相位FFT算法計算相位，該方法沒有完全利用全相位FFT算法優(yōu)點，文獻[12]中提出了一種雙窗全相位FFT雙譜線校正算法，將傳統(tǒng)FFT修正所用的比值校正法[13]推廣到全相位FFT算法，獲得了更好的諧波檢測精度.文獻[14]中將二譜線插值算法應用于全相位FFT，相比FFT二譜線插值精度更高.

綜上所述，傳統(tǒng)FFT結合譜線插值算法如果過于追求算法精度，會使算法的復雜度提升，在一些實際設備上運行較慢，最終無法同時兼顧時間和精度.文章通過分析全相位FFT算法原理，將一種FFT三譜線校正算法用于全相位FFT，并推到全相位FFT下的修正公式.文章算法能夠準確計算諧波和間諧波參數(shù)，且具有一定的抗噪聲能力.

1 全相位FFT

1.1 全相位FFT算法原理

傳統(tǒng)FFT對信號分析時，直接對離散信號的截斷數(shù)據(jù)進行FFT運算，大多數(shù)情況下，會導致頻譜泄露效應，而相比較傳統(tǒng)FFT截斷，全相位FFT算法在一定區(qū)間范圍內(nèi)考慮了該序列的全部采樣情況.根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)，全相位FFT算法等效的算法流程如圖1所示.

全相位FFT本質(zhì)上是在FFT算法之前進行了數(shù)據(jù)的預處理，首先使用卷積窗wc與 2N-1個信號數(shù)據(jù)相乘，再將間隔為N的數(shù)據(jù)兩兩相加，產(chǎn)生的N個數(shù)據(jù)進行FFT處理，即得全相位FFT算法結果[15-16].

圖1中，卷積窗wc是由前窗f與經(jīng)過翻轉(zhuǎn)的后窗b進行卷積后得到，即

wc(n)=f(n)×b(-n)，n∈[-N+1，N-1].

(1)

若前窗f和后窗b相同，且互為對稱窗，則由時域卷積定理可得該卷積窗對應的離散傅里葉變換為

Wc(ω)=F(ω)·B(ω)=|W(ω)|2，

(2)

式中，|W(ω)|2為窗函數(shù)的幅值頻域表達式.

1.2 全相位FFT頻譜性能分析

一單頻復數(shù)指數(shù)序列x(n)以采樣頻率fs進行采樣，得到的離散信號表達式為

(3)

式中，A、f0和φ0分別為信號的幅值，頻率和相位.

對信號x(n)乘以窗函數(shù)f進行時域截斷，根據(jù)頻域卷積定理可得，加窗后的傅里葉變換為

(4)

根據(jù)圖1，加f窗函數(shù)的全相位FFT算法的傅里葉變換為

(5)

對比式(4)和式(5)可得，F(xiàn)FT算法的相位受其頻率偏移量的影響，而全相位FFT算法的相位值則不受影響，所以不需修正全相位FFT計算所得相位值即可得到很高的精度，并且全相位FFT中窗函數(shù)旁瓣譜線相比主譜線按平方關系衰減，使得主譜線更為突出，可有效抑制頻譜泄露.

2 全相位FFT三譜線校正算法

如圖2中所示，對信號進行非整周期采樣或異步采樣時，由于柵欄效應的影響，所得頻譜峰值一般會有偏差δ，諧波的實際頻點k0很難位于離散譜線的頻點k上，因此需要對計算的結果進行修正，Jacobsen等[17]提出了一種三譜線校正方法，但該方法僅用于FFT處理，本文將其拓展到全相位FFT算法，并給出該方法下全相位FFT的參數(shù)修正公式.

2.1 窗函數(shù)性質(zhì)

窗函數(shù)的使用對于譜線插值的計算結果影響很大[18]，一般選用旁瓣特性優(yōu)越的窗函數(shù)對信號截斷，但過分追求旁瓣特性忽略主瓣寬度會使得頻率分辨率損失較大，因此在選擇窗函數(shù)時需要兼顧主瓣特性和旁瓣特性.

基本窗函數(shù)的時域方程為：

(6)

式中，M為余弦項個數(shù)，n=0，1，…，N-1.bm為各項的系數(shù)，取決于不同的窗函數(shù).

式(7)的傅里葉變換得到的幅頻函數(shù)為

(7)

當N遠大于1的時候，窗函數(shù)的幅頻函數(shù)可以化簡為

(8)

2.2 三譜線校正算法

設k為真實頻點k0附近幅值最大的譜線，k左邊譜線為k-1，右邊譜線為k+1，非同步采樣時，幅值最大譜線和其左右譜線均具有較大幅值，采用3根譜線的信息進行修正，定義頻率偏移量：

δ=k0-k，δ∈[-0.5，0.5].

(9)

根據(jù)式(4)和式(5)中所得FFT和全相位FFT的頻域函數(shù)區(qū)別，將基本FFT定義的三譜線校正方法用于全相位FFT，推導修正公式：

(10)

式中，P為比例因子.常見窗函數(shù)的比例因子取值如表1所示.

根據(jù)式(5)中所得全相位FFT頻域函數(shù)與窗函數(shù)頻域函數(shù)關系，可將式(10)化簡為：

(11)

由式(8)中化簡得到的窗函數(shù)表達式，利用MATLAB中的polyfit函數(shù)反擬合式(11)，可得δ=f(α)，則頻率的校正公式為

f0=(k+δ)Δf,

(12)

幅值的校正公式為

(13)

根據(jù)全相位FFT算法的相位不變性.相位的計算直接利用全相位FFT算法結果，即

φ0=arg[Y(k)].

(14)

3 仿真分析

3.1 理想諧波信號分析

采用某一諧波信號進行分析，驗證文中的算法具有較高的諧波檢測精度，諧波信號的表達式為：

(15)

式中，基波頻率f1=19.75 Hz.采樣頻率設為40 960 Hz，采樣點數(shù)設為10 240，其他各項參數(shù)的取值如表2所示.

表2 經(jīng)典諧波信號參數(shù)Tab.2 Classical harmonic signal parameters

將該算法與FFT三譜線插值進行對比，選用漢寧窗作為兩種算法所用窗函數(shù)，比較諧波參數(shù)計算的精度.比較結果如表3所示.

表3 諧波參數(shù)估計誤差Tab.3 Harmonic parameter estimation error %

分析表3結果可得，計算式(15)的諧波信號模型時，全相位FFT三譜線校正的幅值、頻率和相位誤差的數(shù)量級在10-7%～10-9%、10-8%～10-9%和10-8%～10-10%之間，相比FFT三譜線插值法，幅值和頻率的精度提高了3～6個數(shù)量級，相位的精度提高了3～7個數(shù)量級，可見全相位FFT算法由于相位不變性，其相位檢測精度明顯高于普通FFT，并且將譜線校正方法用于全相位FFT算法的結果也優(yōu)于FFT算法.

3.2 基波頻率波動時的諧波檢測

實際上電網(wǎng)的頻率往往會出現(xiàn)一定的波動[19]，采用式(15)所示的經(jīng)典諧波信號模型，在認為基波頻率為19.75 Hz，而基波頻率實際在19.25～20.25 Hz之間變化時，采用本文算法對信號進行分析，諧波信號的幅值、頻率和相位檢測的相對誤差如圖3所示.

由圖3可知，隨著基波頻率波動值變大，諧波檢測各項參數(shù)的精度也在下降，但本文算法依然能夠保持較好的精度，在19.25 Hz和20.25 Hz時，幅值、頻率和相位的檢測精度約為10-7%～10-8%、10-4%和10-7%～10-10%，保持了較高的準確度，結果說明本文算法在頻率波動情況下依然能夠進行諧波信號的檢測.

圖3 頻率波動下的信號檢測誤差Fig.3 Signal detection error under frequency fluctuation

3.3 含復雜諧波和間諧波信號分析

在電網(wǎng)諧波分析中，信號一般不止包含諧波，還含有諧波.因此，使用文獻[13]中的諧波和間諧波模型：

(16)

式中,采樣頻率fs=40960 Hz，采樣點數(shù)為10 240，基波頻率為50.1 Hz.其它參數(shù)取值如表4所示.

表4 諧波和間諧波信號參數(shù)Tab.4 Harmonic and inter-harmonic signal parameters

將該算法與文獻[11]中的雙窗全相位FFT雙譜線校正和文獻[13]中的雙窗全相位FFT雙譜線插值算法進行對比，依然選用漢寧窗作為所有算法所用窗函數(shù)，因全相位FFT算法估計相位精度一致，故比較諧波幅值和頻率估計的精度，比較結果如表5及表6所示.

表5 幅值計算相對誤差Tab.5 Amplitude calculation relative error %

分析表5和表6可得，在式(16)所示的諧波與間諧波模型下，本文算法的幅值和頻率誤差的數(shù)量級在10-6%～10-8%和10-7%～10-9%之間，相比雙窗全相位FFT雙譜線校正算法，有四個幅值的檢測精度提高了1個數(shù)量級，有四個頻率的檢測精度提高了1個數(shù)量級，可見采用三譜線校正方法，一定情況下可以獲得較二譜線校正更好的精度；同時，相比雙窗全相位FFT雙譜線插值方法，幅值和頻率的檢測精度均提高了1～3個數(shù)量級.

表6 頻率計算相對誤差Tab.6 Frequency calculation relative error %

針對復雜諧波模型中所用算法和本文算法，對耗時進行對比分析.所用計算機的 CPU 型號為Intel(R)Core(TM)i7-7700HQ CPU @ 2.80 GHz，操作系統(tǒng)為Windows 10家庭版64位，運行環(huán)境為MATLAB 2017.耗時對比結果如表7所示.

由表7可知，采用相同的窗函數(shù)時，全相位FFT算法采用不同改進時對計算時間的影響不大，本文算法采用了三譜線校正，相比二譜線校正利用了更多信息，但是計算耗時并沒有明顯增加.本文算法在提高精度的同時對計算復雜度也沒有很大影響.

3.4 存在白噪聲的諧波信號分析

在實際電網(wǎng)中，諧波信號大多數(shù)情況下含有一定的高斯白噪聲[20]，選用式(16)所示的諧波和間諧波信號模型，信噪比在10～100 dB內(nèi)以10 dB為步長進行變化，與雙窗全相位FFT雙譜線校正算法及雙窗全相位FFT雙譜線插值算法對比，驗證算法的抗噪能力.

添加白噪聲后不同算法計算得到的基波幅值和頻率的相對誤差如圖4和圖5所示.

由圖4和圖5可知，隨著信噪比的減小，全相位FFT雙譜線校正算法、全相位FFT雙譜線插值算法和本文算法的相對誤差相比未加白噪聲減小了1～2個數(shù)量級，但本文算法的幅值和頻率誤差數(shù)量級相比全相位FFT雙譜線校正算法依然提高了1個數(shù)量級左右，全相位FFT雙譜線插值算法在引入白噪聲后隨著信噪比變化時誤差數(shù)量級變化不大，但精度不高.故本文算法的諧波檢測精度較高，且具有一定的抗白噪聲能力.

圖5 不同信噪比條件下的頻率相對誤差Fig.5 Phase relative error under different SNR conditions

4 結語

本文針對目前快速傅里葉變換算法在電網(wǎng)諧波檢測中存在的頻譜泄露現(xiàn)象，提出了一種全相位FFT三譜線校正算法，算法利用全相位FFT計算得到的峰值譜線周圍的三根譜線，構造頻率偏移量修正公式，推導出諧波和間諧波參數(shù)的校正公式.最后，分別使用簡單諧波信號、復雜間諧波和諧波信號和含白噪聲信號作為仿真模型，比較本文算法與其它諧波和間諧波檢測算法精度的精度大小.本文的詳細內(nèi)容和具體結論如下.

1)從公式推導上比較傳統(tǒng)FFT算法與全相位FFT算法在抑制頻譜泄露能力，全相位FFT算法不僅自帶頻譜泄露抑制能力，并且具有相位不變性，因此選擇全相位FFT算法進行改進.

2)將原本用于傳統(tǒng)FFT算法的一種高精度三譜線校正算法拓展到全相位FFT算法，根據(jù)公式推導中全相位FFT算法與FFT算法的關系，推導得到以全相位FFT算法所得結果進行校正時的參數(shù)修正公式.

3)以簡單諧波模型、復雜諧波和間諧波模型和含白噪聲的諧波和間諧波模型為仿真對象，在簡單諧波模型中，本文算法相比FFT三譜線插值算法精度提高了3～7個數(shù)量級；當基波頻率波動時，本文算法依然能夠保持較好的精度，在復雜諧波和間諧波模型中，本文算法相比雙窗全相位FFT算法雙譜線插值和雙窗全相位FFT雙譜線校正算法提高了1～3個數(shù)量級，并且在含白噪聲信號模型仿真中，本文算法的抗白噪聲能力更為突出，可為電網(wǎng)諧波檢測提供有效手段.