汽車懸置系統固有特性的混合不確定性傳播與可靠性分析

黃曉婷 鄭澤濱 鄭靜遠 呂 輝

(1. 廣州城市理工學院汽車與交通工程學院 廣州 510800； 2. 華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州 510641)

發動機振動是汽車振動的主要來源之一，汽車動力總成懸置系統(Powertrain mounting systems, PMS)的隔振性能直接影響著發動機振動向車身傳遞。在實際工程中，受結構復雜性、加工制造以及材料老化等因素影響，PMS不可避免地存在各種不確定因素[1-2]。因此，當系統參數存在不確定性時，有必要對PMS的固有特性開展不確定性傳播和可靠性分析研究。

當系統參數信息充足時，隨機模型是處理PMS不確定性傳播和優化設計問題最常用的工具[3-4]。Xin等[5]開展了電動汽車懸架剛度參數為正態隨機變量的多目標優化。張武等[6]分別基于3σ和6σ的隨機模型開展了PMS解耦率的穩健性優化設計。系統參數信息匱乏的情況下，難以精確構建隨機模型。為此，一些非概率模型受到了廣泛關注，如區間模型[7]和模糊模型[9]等。Cai等[8]將Chebyshev級數展開與頂點法相結合，提出了一種PMS區間不確定性傳播分析的高效方法，并進一步用于PMS的優化設計。基于模糊模型，呂輝等[9]開展了含模糊不確定性的PMS固有特性的可靠性分析與優化。

上述的PMS不確定性研究均基于單一的不確定性模型開展，沒有考慮到PMS可能存在一部分參數信息充足而另一部分參數信息不足的混合不確定情形。針對這種情形，Cai等[10]基于隨機與區間混合不確定性模型，提出了一種混合不確定情形下PMS的不確定性傳播分析方法。工程中，PMS還可能遇到一部分參數因信息充足可視為隨機變量，另一部分參數因存在模糊特性而視為模糊變量的混合不確定情形。目前，隨機與模糊不確定情形下PMS的不確定性傳播分析和可靠性分析研究尚不多見。

本文旨在開展隨機與模糊混合不確定情形下PMS固有特性的不確定性傳播分析和可靠性研究。首先引入隨機與模糊混合不確定性模型處理系統參數；然后提出一種求解PMS固有頻率和解耦率不確定性響應的蒙特卡洛法；接著將泰勒展開和中心差分法相結合提出一種快速求解PMS固有特性響應的混合攝動中心差分法；再基于模糊可靠性和準則提出一種PMS固有特性的可靠性分析方法。通過算例驗證了方法的有效性。

1 PMS的固有特性

1.1 固有頻率

PMS一般通過若干個懸置將動力總成支撐在車架上，動力總成可視為一個剛體。圖1給出了某一PMS的6自由度動力學模型。該模型中，懸置被簡化為具有三向剛度和阻尼特性的彈性元件。由于懸置阻尼對系統固有特性影響很小，因此PMS通常被視作無阻尼的自由振動系統。其運動方程為：

圖1 PMS動力學6自由度模型Fig.1 Six degree-of-freedom model of PMS

(1)

其中，M和K分別為PMS的質量和剛度矩陣；q為PMS廣義坐標的位移向量。

求解式(1)可得PMS的固有頻率及對應的振型：

ft=ωt/2π，φt={φ1t,φ2t,…φ6t}T,

t=1,2,…6

(2)

其中ft代表第t階固有頻率，φt表示第t階振型。

1.2 解耦率

當PMS以第t階固有頻率振動時，第t階振型振動能量分布為：

(3)

其中k表示第k個主坐標系列向量；Mkl為M的第k行第l列元素；φkt和φlt分別為φt的第k個和第l個元素。第t階模態的解耦率定義為:

dt=max{E(k,t)},t=1,2,…6

(4)

dt越大，表明第t階方向的振動解耦程度越高。

2 PMS固有特性的混合不確定性傳播分析

2.1 隨機與模糊混合不確定性模型

(5)

(6)

(7)

圖2 三角模糊數Fig.2 A triangular fuzzy number

實際工程中，PMS中可能存在這樣的不確定情形：一部分參數信息充足適合采用隨機變量描述；另一部分參數由于缺乏足夠的數據而具有模糊特性，宜采用模糊變量來描述。這種情形下，PMS的固有特性響應S(Y)可表示為：

Y={Y1,Y2,…Yn}T

R={R1,R2,…Rm}T

(8)

2.2 不確定性傳播的蒙特卡洛法

(3)對隨機變量R進行隨機抽樣，記為R(q)，q=1,2,…Q，Q為隨機抽樣次數。

2.3 不確定性傳播的混合攝動中心差分法

E(YFα)=E(Y1,Fα,Y2,Fα,…Yn,Fα)=

(E(Y1,Fα),E(Y2,Fα),…E(Yn,Fα))

V(YFα)=V(Y1,Fα,Y2,Fα,…Yn,Fα)=

(V(Y1,Fα),V(Y2,Fα),…V(Yn,Fα))

(9)

區間向量Fα可表示為：

(10)

為求解S(YFα)，先假定Fα為常數向量，則S(YFα)變成一隨機函數。基于隨機矩法[13]，一階原點矩和二階中心矩分別代表隨機函數的均值和方差。S(YFα)在YFα均值處的泰勒展開式為：

(Yi,Fα-E(Yi,Fα))×(Yj,Fα-E(Yj,Fα))+…

(11)

忽略高階項(二階及以上)，S(YFα)的均值和方差可以近似為:

E(S(YFα))≈S(E(YFα))

(12)

Cov(Yi,Fα,Yj,Fα)

(13)

其中E(·)，V(·)和Cov(·)分別表示均值、方差和協方差函數；YFα的變量相互獨立時上式可簡化為：

(14)

重新考慮區間變量Fα對S(YFα)的影響，上述E(S(YFα))和V(S(YFα))以及S(YFα)的一階偏導均是Fα的函數。E(S(YFα))和V(S(YFα))在Fα中點處的一階泰勒展開式為[14]：

(15)

(16)

(17)

(18)

其中δFl,α≤ΔFl,α，δFl,α為Fl,α微小增量，δFl,α={0,…δFl,α,…0}T。當Fα不確定水平較小時，δFl,α可用ΔFl,α來近似替代，則式(17)和式(18)可改寫為：

(19)

(20)

將式(19)和式(20)分別代入式(15)和式(16)中可得到：

(21)

(22)

根據區間算法，E(S(YFα))和V(S(YFα))的上下界可以近似為：

(23)

(24)

(25)

(26)

3）SAGD污水處理方式中，如MVC和MVR之類的蒸發式污水處理技術較為成熟且應用前景廣泛，因此考慮結合MVC和MVR來進行余熱回收利用的方案設計。

3 PMS固有特性的可靠性分析

(27)

結合可靠性分析理論，分別定義SI(R,Fα)大于Smin和SI(R,Fα)小于Smax的極限狀態函數為：

M1,α=SI(R,Fα)-Smin

(28)

M2,α=Smax-SI(R,Fα)

(29)

一個區間數大于或小于另一個區間數的可能性可以采用區間可靠度進行量化。根據區間可靠度，在截集水平α處，SI(R,Fα)大于Smin和SI(R,Fα)小于Smax的可靠度h1(α)和h2(α)可以分別定義為：

h1(α)=Poss(M1,α=SI(R,Fα)-Smin>0)=

(30)

h2(α)=Poss(M2,α=Smax-SI(R,Fα)>0)=

(31)

(32)

(33)

4 算例分析

4.1 分析模型

為驗證所提出方法的有效性，以圖 3所示的PMS模型為研究對象進行分析，相關參數取值如表 1-表 4所示。

圖3 PMS示意圖Fig.3 PMS schematic diagram

表1 動力總成質量、轉動慣量與慣性積Table 1 Mass，moment of inertia and product of inertia of powertrain

表2 懸置的初始剛度(單位：N·mm-1)Table 2 Initial stiffness of each mount (unit: N·mm-1)

表3 懸置的安裝位置Table 3 Assembly location of each mount

表4 懸置的安裝角度Table 4 Assembly orientation of each mount

繞曲軸中心線旋轉方向(Pitch方向)是發動機主要的振動激勵方向，本文將重點研究該方向的固有特性，即固有頻率fP和解耦率dP，其中下標P指Pitch方向。

結合工程實際，將懸置安裝位置參數視為服從正態分布的隨機變量，其均值為各參數初始值，標準差取3 mm。同時，將懸置靜剛度視為模糊變量，用最大不確定度為±5%的三角模糊數對其進行描述，且將每個模糊數均勻劃分為11個隸屬度水平(α=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0)進行分析。模糊數的相關取值如表 5所示。

表5 模糊數取值及類型Table 5 Values and types of fuzzy numbers

此外，系統固有特性響應的設計上下限要求給定為fP,min=9 Hz，fP,max=12 Hz和dP,min=80%。由于解耦率值越大越好，故本文不對解耦率的上限進行限定，僅給出了其設計的下限要求。

4.2 不確定性傳播分析

當抽樣次數足夠多時蒙特卡洛法能獲得非常高的計算精度。因此，本文將蒙特卡洛法視為參考方法，對比分析所提出混合攝動中心差分法的計算性能。經仿真收斂性分析，選取蒙特卡洛法的抽樣次數為：P=104，Q=104。圖 4和表 6分別給出了固有頻率fP和解耦率dP的均值和方差的響應圖和響應誤差。

從圖 4和表 6可得出以下結論：

表6 固有特性的均值和方差響應的誤差Table 6 Errors of expectation and variance responses of inherent characteristics

圖4 固有特性的均值和方差響應Fig.4 Expectation and variance responses of inherent characteristics

(1)由混合攝動中心差分法求得的響應曲線和蒙特卡洛法獲得的結果具有很好的一致性，最大的誤差僅3.811%。說明所提出的混合攝動中心差分法在解決隨機與模糊混合不確定情形下的PMS固有特性響應時具有較高的計算精度。此外，混合攝動中心差分法求解固有頻率的精度略高于求解解耦率的精度，這是由于解耦率響應對不確定因素較為敏感。

(2)大部分情況下，隨隸屬度逐漸增大，混合攝動中心差分法的計算誤差逐漸減小，最大誤差基本處于α=0時的對應值，而在α=1.0時則最小。因此，在不確定性水平較低時，混合攝動中心差分法的計算效率更高。

在計算效率方面，蒙特卡洛法求解上述結果的時間約為17.6×104s，而混合攝動中心差分法的計算時間僅為2.13 s。因此，混合攝動中心差分法處理隨機與模糊混合情形下的PMS不確定性響應時具有很好的計算效率。

4.3 可靠性分析

利用3σ準則可以將PMS固有特性的均值和方差結果進行綜合考慮，并可確定固有特性響應的上下界范圍。基于第4.2節的分析結果，圖 5給出了利用3σ準則計算得到的固有頻率fP和解耦率dP的上下界范圍。為便于比較，系統固有特性響應的設計上下限要求fP,min=9 Hz，fP,max=12 Hz和dP,min=80%也分別繪在圖中。

圖5 固有頻率和解耦率上下界范圍Fig.5 Lower and upper bounds of natural frequency and decoupling rate

從圖 5可得出以下結論：

(1)混合攝動中心差分法求得的固有頻率和解耦率上下界范圍與參考結果十分接近。這說明混合攝動中心差分法在計算隨機與模糊混合不確定情形下的PMS固有特性響應上下界范圍方面具有很高的計算精度。此外，兩種方法求得的固有頻率響應曲線幾乎重合，而求得的解耦率響應曲線略有差異。這表明相對于解耦率的求解，混合攝動中心差分法在求解固有頻率時具有更高的計算精度。

(2)固有頻率的響應曲線完全位于其設計上下限范圍之內，解耦率的響應曲線大部分位于其設計下限曲線的左邊。這說明固有頻率的響應完全滿足設計要求，而解耦率的響應僅在一小部分情況下滿足設計要求。

進一步，采用可靠度對上述結果進行度量。基于上述求得的均值和方差響應，表 7和表 8分別給出了fP和dP響應滿足設計要求的區間可靠度和模糊可靠度。由于解耦率dP沒有給定上限要求，故表 8 只給出了解耦率滿足dP>dP,min=80%的可靠度結果。

表7 fP響應滿足設計要求的可靠度Table 7 Reliability of fP meeting design requirement

表8 dP響應滿足設計要求的可靠度Table 8 Reliability of dP meeting design requirement

從表 7和表 8可得出以下結論：

(1)固有頻率fP滿足設計要求的區間可靠度和模糊可靠度均為100%，這說明在隨機與模糊混合不確定情形下系統的fP響應完全滿足給定的上下限設計要求。此外，兩種方法求得fP響應的區間可靠度和模糊可靠度結果完全一致，說明混合攝動中心差分法可有效用于處理隨機與模糊混合不確定情形下的固有頻率可靠性分析。

(2)對于解耦率dP，兩種方法求得其滿足設計要求的模糊可靠度分別為0.50%和1.40%，結果差異不大，求得的可靠性結果具有較好的一致性。此外，兩種方法求得的模糊可靠度值遠小于100%，這說明在隨機與模糊混合不確定情形下dP的響應幾乎不滿足設計下限的要求，后續需要進行優化設計。

5 結束語

本文開展了隨機與模糊混合不確定情形下汽車PMS固有特性的不確定性傳播和可靠性分析研究。引入隨機與模糊混合不確定性模型處理了PMS同時存在的隨機變量和模糊變量，提出了求解PMS固有頻率和解耦率響應的蒙特卡洛法和混合攝動中心差分法，并提出了一種PMS固有特性的可靠性分析方法。算例分析結果表明，所提出的混合攝動中心差分法能有效處理隨機與模糊不確定情形下PMS固有特性的不確定性響應分析以及可靠度計算。以蒙特卡洛法為參考，混合攝動中心差分法具有較高計算精度和計算效率。本文所提出的可靠性分析方法可為PMS固有特性優化設計提供參考。