基于改進修正權重的證據組合方法

蔣 斌，梁小安，張 亮，高楊軍

空軍工程大學 裝備管理與無人機工程學院，西安710051

D-S證據理論[1-2]具備堅實的數學理論基礎，相較于傳統概率論能夠更好地進行不確定信息的表達、處理和融合，因此自提出以來就逐步在信息融合[3-4]、風險評估[5]、模式識別[6-7]、決策分析[8-9]等諸多領域得到了廣泛應用。同時，針對D-S證據理論在處理高沖突證據時出現的悖論問題[10-11]，眾多學者進行了針對性研究[12-15]，其中，修正證據源的解決方法保留了經典Dempster組合規則滿足交換律、結合律等性質的優良特性，更有利于降低證據理論在工程應用中的計算復雜度。為此，本文從修正證據源的思路出發，以修正權重的確定為研究重點，通過對證據源的預處理提出證據信息有效組合的科學方法。

針對證據修正權重的確定問題，Murphy[16]提出的證據算術平均組合方法對每條證據賦予了相同的權重，在解決證據沖突的同時卻忽視了證據間的關聯關系。我國學者鄧勇[17]引入Jousselme距離衡量證據間的沖突程度，進而通過對證據關聯關系的有效量化確定了修正權重，為此類問題的解決提供了全新思路。隨后，文獻[18]和文獻[19]則分別利用Pignistic概率距離和蘭氏距離對證據沖突進行了度量，提出了相應的修正權重確定方法；文獻[20]將證據看作向量，基于向量相似度對沖突證據進行了修正組合，克服了傳統沖突度量方法存在的不足；文獻[21]在利用Pignistic概率函數對非單子集進行轉換的基礎上，引入了相關系數，實現了相關系數在證據修正權重確定中的有效應用；文獻[22]則通過對相關閾值的設定比較，給出了局部沖突修正和全局沖突分配的不同策略，進一步豐富了沖突證據修正的方法。上述研究成果基于證據沖突程度的不同計算方法對證據修正權重的確定進行了有益的探索，在實際應用中改進了沖突證據組合的收斂性，但這一類方法僅僅關注證據間的關聯關系，沒有考慮證據綜合不確定度對修正權重的影響，弱化了待組合證據的信息價值，導致修正權重的確定存在一定的片面性，證據組合結果的可信度有待進一步提升。

事實上，關聯關系是衡量證據可用與否的關鍵因素之一，它從證據的外部關系反映了證據間的相似性。而不確定度作為反映證據內部可靠性的重要指標，是衡量證據可用與否的另一個重要因素。基于上述分析，本文在對證據綜合不確定度進行系統闡述的基礎上，從證據外部的關聯關系和內部的不確定度入手，分別提出基于改進沖突度的相似性權重確定方法和基于綜合不確定度的可靠性權重確定方法，進而得到一種改進的證據修正權重，應用Dempster組合規則對修正后的加權平均證據進行組合，并通過實例驗證分析了所提方法的有效性和合理性。

1 D-S證據理論基礎

定義1[23]在辨識框架Θ中，若集函數滿足，則稱m為Θ上的基本概率分配（Basic Probability Assignment，BPA），也稱為mass函數，m()A表示證據對命題A的信任程度。若A?Θ且m(A)＞0，則稱A為m的焦元，所有焦元的集合稱為核。

定義2[23]Dempster組合規則。設m1,m2,…,mn為同一辨識框架Θ上相互獨立的mass函數，則對于?A?Θ，滿足：

式中，k∈[0],1為沖突系數，表示證據間的沖突程度且

定義3[24]Jousselme距離。設m1和m2是辨識框架Θ上的兩個mass函數，則兩者之間的Jousselme距離可以表示為：

式中，m1和m2為mass函數的向量形式的相似性矩陣，其元素表示為：

定義4[25]Pignistic概率函數。設m為辨識框架Θ上的mass函數，對于?A?Θ，其Pignistic概率函數為：

式中，m(?)≠1，|·|表示子集中所含元素的個數。

2 證據的綜合不確定度

證據理論中證據信息的不確定度反映證據的可靠性，對不確定度的有效度量將影響證據組合結果的準確性。文獻[26]和文獻[27]分別給出Deng熵和證據精度的概念定義，用來衡量證據的不確定度；文獻[28]借鑒模糊熵的表達形式，通過對證據體中的命題進行Pignistic概率轉換，用求得的熵值表征不確定度的大小；文獻[29]對多義度進行了改進，以修正證據向量的Shannon熵實現了對不確定度的度量。證據理論將概率論中的基本事件空間拓展為辨識框架，并在辨識框架上建立了基本概率分配函數，這是其相較于其他不確定性推理方法更能有效表達和處理不確定信息的優勢所在，因此，基于對證據體數據結構的分析，提出綜合不確定度的科學度量方法。

辨識框架和焦元是證據理論中最基本的數據結構，證據理論通過對不確定信息的分解提煉，將其轉化為某一辨識框架下的焦元形式，并賦予一定的基本概率分配，實現對不確定信息的有效表達。因此，證據體中包含了不確定性的多維特性，即隨機性和不具體性[30-31]，其中，隨機性表現為辨識框架下各焦元的分散性，不具體性表現為焦元內部的不精確性，綜合這兩個方面能夠對證據信息的綜合不確定度進行科學完整的度量。

Shannon熵是描述概率理論隨機性最好的方式，基于對Shannon熵的認識理解，文獻[32]對度量證據體隨機性的多種不同形式進行了對比分析，認為式（5）的ST(m)相較于其他形式在絕大多數情況下滿足次相加性，能夠對隨機性進行有效表達。

因此，使用ST(m)表示證據信息的隨機性，特別地，當證據信息只有一個焦元A且m(A)=1時，ST(m)=0，說明這一信息對于此問題能夠給出明確唯一的證據，不具有隨機性。

類哈利熵[33-34]是在借鑒哈利熵的基礎上提出的，具體表達形式如式（6），因其符合不確定性公式的所有公理性要求，被公認為是表達證據不具體性的理想公式。

當焦元內部的元素越多，其不具體性越大，特別地，當證據體中所有焦元均只有一個元素時，V(m=)0，說明焦元內部沒有可選擇的元素，在純粹隨機性證據體中沒有不具體性。

綜上所述，證據體的綜合不確定度應由隨機性和不具體性兩部分組成，隨機性用ST(m)確定，表示辨識框架下焦元的分散性，不具體性用V()m確定，表示焦元內部的不精確性，綜合兩者之和得到式（7），能夠較為全面地度量證據的綜合不確定度。

3 改進修正權重的確定方法

從人的認知角度來看，更傾向于選擇與其他證據更為相似、證據信息更為可靠的證據作為自身決策判斷的依據，因此在確定證據修正權重的過程中，應綜合考慮證據間的相似性與證據自身的可靠性兩個方面因素。通過對基于改進沖突度的相似性權重和基于綜合不確定度的可靠性權重的計算，提出一種改進的證據修正權重確定方法。

3.1 基于改進沖突度的相似性權重確定

沖突系數和Jousselme距離作為衡量證據沖突度的常用指標，在實際應用中還會出現違背常理的情況，但兩者存在一定的互補性。因此，基于沖突系數和Jousselme距離確定證據間的改進沖突度，通過改進沖突度得到證據與其他證據的相似性系數，相似性系數越大，則應賦予較大的權重，反之，則應賦予較小的權重。

若θ為Θ中的任一命題，則證據m的最大支持假設為另k12和d12分別表示證據m1和m2之間的沖突系數和Jousselme距離，則證據m1和m2之間改進的沖突度cf12為：

假設有n個待組合證據，則由改進沖突度可計算得到改進沖突度矩陣CF：

進而計算mi的相似性系數矩陣SM：

從而得到mi的相似性系數S(mi)：

因此，基于改進沖突度的證據相似性權重為：

3.2 基于綜合不確定度的可靠性權重確定

基于第2章對綜合不確定度的定義，本節提出基于綜合不確定度的證據可靠性權重確定方法。證據的綜合不確定度越大，其可靠性越低，則應賦予較小的權重，反之，則應賦予較大的權重。

對于證據mi(i=1,2,…,n)，由式（5）和式（6）分別求得證據的隨機性ST(mi)和不具體性V(mi)，從而由式（7）得到證據的綜合不確定度T(mi)。

因此，基于綜合不確定度的證據可靠性權重為：

3.3 改進修正權重的確定

證據之間的相似性和自身的可靠性對于證據組合結果均有較大的影響，只有綜合考慮這兩個方面才能對證據進行合理的修正。因此，在分別基于改進沖突度確定相似性權重和基于綜合不確定度確定可靠性權重的基礎上，能夠得到改進的證據修正權重為：

式中，η(0≤η≤1)為折衷系數，根據個人偏好確定，若偏好相似性權重，則取0.5＜η≤1；若偏好可靠性權重，則取0≤η＜0.5；若無偏好，則取η=0.5。本文在實例應用中取η=0.5。

4 算例分析

通過改進修正權重對待組合證據進行加權平均后，可以利用Dempster組合規則對證據進行組合，從而得到基于改進修正權重的證據組合完整流程，如圖1所示。

圖1 證據組合流程Fig.1 Process of evidence combination

4.1 實例應用

假設識別框架Θ={A,B,C}，有5個證據的基本概率分配函數分別為：

步驟1計算證據相似性權重。由式（2）和式（3）分別計算證據間的沖突系數kij和Jousselme距離dij，進而由式（8）求得改進沖突度cfij(1≤i≤5,1≤j≤5)。這里以cf12為例對計算過程進行說明，由式（2）可得k12=0.709 0，由式（3）可得d12=0.538 6，由式（4）計算m1和m2的Pignistic概率函數為：

所以

由式（8）可知：

同理，可構建改進沖突度矩陣CF5×5為：

由式（11）得到證據mi(1 ≤i≤5)的相似性系數為：

由式（12）得到基于改進沖突度的證據相似性權重為：

當證據組合數量變化時，可得到證據的相似性權重如表1所示。

表1 相似性權重Table 1 Similarity weights

步驟2計算證據可靠性權重。由式（5）和式（6）計算證據的隨機性ST(mi)和不具體性V(mi)，并由式（7）得到綜合不確定度T(mi)，計算結果見表2。

表2 證據不確定度Table 2 Uncertainty degree of evidence

則由式（13）得到證據的可靠性權重如表3所示。

表3 可靠性權重Table 3 Reliability weights

步驟3由式（14）得到改進的修正權重如表4所示。

表4 改進的修正權重Table 4 Improved modified weights

步驟4通過改進的修正權重對原始證據進行修正，得到修正后的加權平均證據m′，如表5所示。

表5 修正后的加權平均證據Table 5 Modified weighted average evidence

步驟5對n個證據進行組合時，應用Dempster組合規則對修正后的證據m′進行n-1次組合，得到組合后最終的BPA如表6所示。

表6 組合后的BPA Table 6 Combined BPA

4.2 對比分析

為驗證本文所提方法的有效性和合理性，分別應用Dempster組合方法[1]、Murphy組合方法[16]和Deng組合方法[17]對上例中的證據進行組合計算，各方法的計算結果見表7，同時對組合后的m(A)和m(B)進行對比，如圖2和圖3所示。

圖2 m(A)的組合結果對比Fig.2 Comparison of m(A)’combination result

圖3 m(B)的組合結果對比Fig.3 Comparison of m(B)’combination result

表7 不同組合方法的組合結果Table 7 Combination results of different combination methods

通過對組合結果的對比分析可知：

（1）從直觀來看，本例中m1、m3、m4、m5認為A的可能性更大，而證據m2則更支持B，因此從證據整體來看，相較于其他證據，證據m2為一條高沖突證據。但由于證據m2中m2(A)=0的存在，使得Dempster組合規

則無法在更多證據支持A的情況下做出合理的決策，始終認為組合后A的值m(A)=0，導致了“一票否決”悖論問題的出現，說明Dempster組合規則無法對沖突證據進行有效組合；而隨著證據信息的增加，其他三種方法均能得到合理的組合結果，但Murphy組合方法只是對證據進行了簡單的平均，沒有考慮證據間的關聯關系和自身的可靠性，本文所提方法在綜合考慮這兩個方面的基礎上，在收斂性上相較于Murphy方法也有一定優勢。

（2）從圖2和圖3可以看出，本文所提方法在收斂性上不如Deng組合方法，但結合綜合不確定度的計算結果表2就可以給出合理的解釋。Deng組合方法在確定修正權重過程中僅僅考慮沖突度，而從綜合不確定度的計算結果來看，證據m2的綜合不確定度最小，說明m2給出的證據信息更為可靠，因而在對m1、m2或m1、m2、m3進行組合時，賦予了證據m2更高的權重，使得組合結果的m(A)更小，m(B)更大，表明本文所提方法在沒有充足證據支持A的情況下，沒有一味地追求收斂速度，過早地否定“沖突”證據，而是充分利用了其信息價值。另外，在加入證據m4、m5后，明確了證據m2的沖突性質，從圖中可以看出，此時本文方法組合結果的收斂速度更快，說明本文所提方法在證據信息明確可靠的情況下能夠更快地得到可信的組合結果。

5 結論

針對證據組合過程中修正權重的確定問題，提出了綜合考慮相似性權重和可靠性權重的改進修正權重確定方法。本文的主要貢獻和結論如下：

（1）解決了證據不確定度度量不夠全面的問題，從隨機性和不具體性兩個維度給出了證據綜合不確定度的計算方法，實現了對證據不確定度的全面度量。

（2）提出了改進修正權重的確定方法，通過基于改進沖突度的相似性權重和基于綜合不確定度的可靠性權重確定修正權重，充分考慮了證據間的相似性和自身的可靠性，所得改進的修正權重更加科學合理。

算例分析結果表明，基于本文改進修正權重的證據組合結果更加客觀、準確，充分利用了證據信息，證據組合過程更加符合人的客觀認識，組合結果可信度更高。