“做思合一”培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

李強(qiáng)

【摘 要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育應(yīng)著力于學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力的培育。兒童數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以問(wèn)題情境為驅(qū)動(dòng)借助具象的事物支撐為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)空，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)會(huì)更清晰、更全面、更有深度地看待問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中幫助學(xué)生聯(lián)結(jié)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【關(guān)鍵詞】“做思合一” 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)。學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的核心要義在于“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題并加以分析和解決的綜合素養(yǎng)，在于用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的綜合素養(yǎng)”。筆者認(rèn)為支撐學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長(zhǎng)與發(fā)展的主要有兩點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)思維，二是數(shù)學(xué)能力。“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”就是在數(shù)學(xué)思維的幫助下學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識(shí)對(duì)外部世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析，剝離非數(shù)學(xué)元素，留下數(shù)學(xué)元素并加以分析，可見(jiàn)其背后核心是數(shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)能力是將知識(shí)、方法、技能等綜合應(yīng)用于外部世界的具體表現(xiàn)。因此，小學(xué)階段數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)在于學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的培育。依據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，小學(xué)階段的學(xué)生思維發(fā)展正處于具體運(yùn)算階段，思維的培育與發(fā)展離不開(kāi)具體的事物支持。因此，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育正不斷尋求新的教學(xué)方式，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)習(xí)場(chǎng)域讓學(xué)生能真正走進(jìn)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷思考、設(shè)計(jì)、探究、發(fā)現(xiàn)、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在獲得知識(shí)的同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、掌握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。兒童數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以具體問(wèn)題或情境為背景，在數(shù)學(xué)思維指導(dǎo)下借助一定工具或數(shù)學(xué)方法來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的主要功能是“讓學(xué)生一天比一天更智慧、一天比一天更加聰明”，“要引導(dǎo)學(xué)生更清晰、更深入、更全面、更合理地去思考”。以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)的兒童數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以問(wèn)題分析為抓手讓學(xué)生思考得更全面，以任務(wù)設(shè)計(jì)為驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生思考得更清晰，注重學(xué)生在現(xiàn)象分析中思考得更深入、更合理。

（一）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)讓學(xué)生思考更全面

核心素養(yǎng)背景下，知識(shí)的學(xué)習(xí)不再局限于知識(shí)本身，更應(yīng)關(guān)注到知識(shí)的起源、本質(zhì)、價(jià)值、應(yīng)用等。例如，在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，筆者以問(wèn)題“關(guān)于圓的周長(zhǎng)，你最想研究的是什么”驅(qū)動(dòng)學(xué)生圍繞圓的周長(zhǎng)展開(kāi)思考。學(xué)生的回答普遍聚焦在“圓的周長(zhǎng)怎么測(cè)量”這一問(wèn)題上，主要問(wèn)題是“圓的周長(zhǎng)可以用什么工具測(cè)量”“圓的周長(zhǎng)怎么算”。筆者從“圓的周長(zhǎng)怎么測(cè)量”這一問(wèn)題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考“測(cè)量什么”，即引導(dǎo)學(xué)生了解周長(zhǎng)的本質(zhì);“以前學(xué)習(xí)過(guò)哪些平面圖形的周長(zhǎng)，分別是怎么算的”，即喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn);“為什么要學(xué)習(xí)圓周長(zhǎng)計(jì)算”，即使學(xué)生懂得學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價(jià)值。依托問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主思考，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中提升數(shù)學(xué)思維能力。

（二）“以疑啟思”讓學(xué)生的思考更有深度

長(zhǎng)期以來(lái)，答案統(tǒng)一、答案唯一成為了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的一種“默契”。在這樣的氛圍下，學(xué)生逐步失去了思考力，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生以批判的思維審視實(shí)驗(yàn)過(guò)程，做到“取優(yōu)去劣”，這也是讓學(xué)生思維從“理性思維”到“理性精神”的重要一步。

在學(xué)生經(jīng)歷了“用繩子測(cè)量”“將圓在直尺上滾一圈”兩種方法測(cè)量出圓的周長(zhǎng)，并出現(xiàn)了兩種不同的答案時(shí)，筆者提出了以下問(wèn)題：“為什么同一個(gè)圓兩次測(cè)量出的圓的周長(zhǎng)不同？”“如何避免測(cè)量的誤差？”“為什么在生活中很少有人用工具直接去測(cè)量圓的周長(zhǎng)？”

筆者以問(wèn)題讓學(xué)生辯證地審視利用工具測(cè)圓的周長(zhǎng)的價(jià)值與不足。學(xué)生很快認(rèn)識(shí)到工具測(cè)量必然會(huì)產(chǎn)生誤差，但可以通過(guò)多次測(cè)量、改進(jìn)測(cè)量工具等方式減少誤差，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)因?yàn)闇y(cè)量的方法存在一定的局限性，所以人們會(huì)去尋找更好地測(cè)量圓的周長(zhǎng)的方法。

數(shù)學(xué)教育的價(jià)值就在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看待事物，即能發(fā)現(xiàn)事物的價(jià)值，使用工具測(cè)量可以方便快捷地得到圓的周長(zhǎng)，但存在一定的誤差與局限性。因此，人們?yōu)榱俗非蟾奖恪⒏珳?zhǔn)的數(shù)據(jù)，就需要探究測(cè)量圓的周長(zhǎng)更好的方法。

（三）“以問(wèn)促思”讓學(xué)生合理分析

合理分析其實(shí)是學(xué)生抽象能力的一種具體體現(xiàn)，是指學(xué)生能夠在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象和內(nèi)容繁多的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)共性的內(nèi)容。如何才能培養(yǎng)學(xué)生合理分析的能力？筆者認(rèn)為，首先，要有豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生在活動(dòng)中積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);其次，需要通過(guò)問(wèn)題進(jìn)行引領(lǐng)，讓學(xué)生的思維更聚焦。顯然，圓的周長(zhǎng)與圓的直徑的關(guān)系探究是本課的重點(diǎn)。教材設(shè)計(jì)通過(guò)例題1、例題2幫助學(xué)生感知確定圓的周長(zhǎng)與圓的直徑之間的關(guān)系。

筆者以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體為學(xué)生呈現(xiàn)了三種大小不同的車(chē)輪，學(xué)生嘗試著將三種車(chē)輪各往前滾動(dòng)一周，以問(wèn)題“圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)”引導(dǎo)學(xué)生探秘實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的奧秘。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生大致經(jīng)歷了三次分析過(guò)程。

（1）根據(jù)圓越大滾得越遠(yuǎn)的現(xiàn)象，分析得出圓的周長(zhǎng)與圓的大小有關(guān)。

（2）根據(jù)圓的半徑（直徑）決定圓的大小，分析推理得出圓的周長(zhǎng)與圓的半徑（直徑）的長(zhǎng)短有關(guān)。

（3）對(duì)比圓滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度與圓的直徑，猜想圓周長(zhǎng)和直徑可能存在倍數(shù)關(guān)系。

可見(jiàn)，合理分析是建立在學(xué)生已有知識(shí)與具體現(xiàn)象的基礎(chǔ)之上的，是基于學(xué)生已有知識(shí)再構(gòu)、再發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生思維的發(fā)展搭建了外部世界與內(nèi)部知識(shí)的橋梁，讓學(xué)生在具體分析的過(guò)程中學(xué)習(xí)合理的思考問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從“育知”走向“育能”

史寧中教授指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物，強(qiáng)調(diào)學(xué)生只有親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)，才能真正形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中孕育起來(lái)的。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值不僅在于以具象的事物支撐學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，而且是基于實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加深入，從而使其獲得一些方法、經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。

（一）“以實(shí)促學(xué)”發(fā)掘?qū)W習(xí)深度

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種深度學(xué)習(xí)，它關(guān)注知識(shí)與知識(shí)的鏈接，知識(shí)與生活的聯(lián)結(jié)，學(xué)以致用、“以學(xué)致用”是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程中兩種顯著的特征。學(xué)以致用關(guān)注的是學(xué)生是否可以靈活運(yùn)用已有知識(shí)解釋、解決數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問(wèn)題;“以學(xué)致用”關(guān)注的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用即所學(xué)知識(shí)、技能、方法是否可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在“圓的周長(zhǎng)”一課的教學(xué)中筆者就十分關(guān)注學(xué)生這兩個(gè)方面的培育，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中走向“深度學(xué)習(xí)”，如在認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng)環(huán)節(jié)中，筆者就引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的知識(shí)和方法去發(fā)現(xiàn)、理解圓的周長(zhǎng)。筆者以周長(zhǎng)的定義——平面圖形一周邊線的長(zhǎng)度，延伸到長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為長(zhǎng)方形一周邊線的長(zhǎng)度，幫助學(xué)生從已學(xué)知識(shí)出發(fā)推導(dǎo)出“圓一周邊線的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)”。在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)以后，筆者設(shè)計(jì)了“選擇合適的方法測(cè)量出圓桌防撞條的長(zhǎng)度”“摩天輪的周長(zhǎng)該怎么算”“設(shè)計(jì)計(jì)算學(xué)校圓形花壇周長(zhǎng)方案”“我們解決生活中哪些關(guān)于圓周長(zhǎng)的問(wèn)題”四個(gè)層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中綜合運(yùn)用測(cè)量、周長(zhǎng)計(jì)算等知識(shí)。

（二）“以實(shí)育法”拓展學(xué)習(xí)寬度

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)也需要關(guān)注知識(shí)學(xué)習(xí)中思想方法的獲得。不可否認(rèn)的是在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生仍處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的境地。學(xué)生的學(xué)習(xí)往往是“被設(shè)計(jì)”的，學(xué)生根據(jù)教師先前設(shè)定的方案亦步亦趨地展開(kāi)學(xué)習(xí)，在這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)中學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法、思想的感知是被動(dòng)的。體現(xiàn)在學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)方法、思想的感知如湖邊上的水波一樣，有了外界的“攪動(dòng)”，平靜的湖面上才能泛起陣陣漣漪，而不會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生共鳴。兒童數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生從“被設(shè)計(jì)”的學(xué)習(xí)走向主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)。以“圓的周長(zhǎng)與直徑關(guān)系”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為例，在前期學(xué)生感知“圓周長(zhǎng)與直徑可能存在3倍關(guān)系”的基礎(chǔ)上，為了驗(yàn)證這一想法，教師就必須設(shè)計(jì)一個(gè)可行的驗(yàn)證方法。學(xué)生在教師引導(dǎo)下設(shè)計(jì)并完善數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，如在實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)，要充分考慮普適性原則，選擇不同大小的圓進(jìn)行設(shè)計(jì);在選擇實(shí)驗(yàn)工具時(shí)，通過(guò)多次反復(fù)嘗試確定用手杖膠帶作為主要測(cè)量工具;在如何處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)單;等等。可見(jiàn)，以真實(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)才能讓學(xué)生真正融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生展開(kāi)真正的學(xué)習(xí)。

（三）“以實(shí)育人”增加學(xué)習(xí)厚度

中國(guó)學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，也包括科學(xué)的態(tài)度……如具有規(guī)則意識(shí)、崇尚平等、崇尚真知，等等。簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)教育就是以數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)為載體開(kāi)展育人工作。筆者認(rèn)為育人的關(guān)鍵在于經(jīng)歷，即設(shè)計(jì)有空間的學(xué)習(xí)項(xiàng)目讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)、思考、辨析、歸納等過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中感知事物的多樣性，學(xué)會(huì)從不同維度看待問(wèn)題，體會(huì)科學(xué)看待問(wèn)題的必要性與可行性。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生搭建了學(xué)習(xí)時(shí)空，讓這種經(jīng)歷變得可能。如筆者引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑并求出它們的比，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)除以直徑并不等于3.14，于是對(duì)所測(cè)量的圓周長(zhǎng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了“改造”以保證所求“圓周長(zhǎng)與直徑的比是3.14”。對(duì)于這樣的現(xiàn)象，筆者借助大數(shù)據(jù)分析法引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地看待實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（見(jiàn)下圖）。首先，通過(guò)分析，學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)大部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集中在3.14附近，但恰好得到3.14的可能性比較小，因?yàn)闇y(cè)量是存在誤差的;其次，由于學(xué)生認(rèn)識(shí)到測(cè)量操作不當(dāng)，或者計(jì)算時(shí)受“四舍五入”的影響，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差會(huì)較大，但可以通過(guò)多次測(cè)量取平均值等方法減少誤差;最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史中關(guān)于圓周率的知識(shí)，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)通過(guò)測(cè)量是無(wú)法精確得出圓周率的數(shù)值的，在這個(gè)過(guò)程中幫助學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是一個(gè)長(zhǎng)期的、持續(xù)的過(guò)程，依賴(lài)于學(xué)生的“真學(xué)習(xí)”。借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生經(jīng)歷分析、思考、猜測(cè)、論證、反思、應(yīng)用等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孔凡哲，史寧中.中國(guó)學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成途徑[J].教育科學(xué)研究，2017（6）.

[2]鄭毓信.以“深度教學(xué)”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（6）.