單位球上含梯度項的橢圓邊值問題的正徑向解

唐 穎, 李永祥

(西北師范大學數學與統計學院, 蘭州 730070)

非線性項中含有梯度項的一般橢圓邊值問題出現在應用數學與物理的許多領域, 其可解性的研究有重要價值. 本文考慮如下單位球上含梯度項的橢圓邊值問題(BVP)

(1)

正徑向解的存在性, 其中Ω={x∈RN: |x|<1},N≥2,I=[0,1],R+=[0,+∞),f:I×R+×R+→R+為非線性連續函數.

對于非線性項中不含梯度項的特殊情形, 即簡單橢圓邊值問題

其徑向解的存在性已有較深入的研究, 見文獻[1-5]. 對于非線性項含梯度項的情形, 當Ω為環形區域或球外部區域時, 部分文獻[6-8]討論了其正徑向解的存在性.其中，文獻[6-7]在非線性函數f(r,ξ,η)非負且允許f關于ξ,η超線性或次線性增長的條件下利用不動點指數理論獲得了BVP(1)正徑向解的存在性. 對于f關于ξ,η超線性增長的情形, 文獻[6-7]還假設f滿足Nagumo型增長條件, 該條件限制了f關于η至多二次增長. 然而, 對球域而言此結果不成立. 事實上, 文獻[6]給出了一個例子:

(2)

(3)

沒有正徑向解. 此時 BVP(3)為BVP(2)中a=1,b=0的特例，從而BVP(2)在球域上無正徑向解. 這說明文獻[6]中的結論對球域上的BVP(1)不成立.

一般來說, 研究球域上的橢圓邊值問題徑向解的存在性比環域及球外部區域上的情形更復雜. 目前關于球域上BVP(1)徑向解的存在性結果還很少. 最近, 文獻[9]應用上下解方法研究了單位球上BVP(1)正徑向解的存在性，在非線性項f滿足適當的不等式條件下獲得了BVP(1)正徑向解的存在性, 該不等式條件允許f(r,ξ,η)關于ξ與η負向超線性增長，在f(r,ξ,η)關于η超線性增長情形下要求f(r,ξ,η)關于η滿足 Nagumo 型增長條件.

本文繼續研究單位球上BVP(1)正徑向解的存在性. 在與文獻[9]不同的不等式條件下, 我們給出BVP(1)正徑向解的存在性結果，其中的不等式條件允許f(r,ξ,η)關于η可超線性增長.

2 預備知識

對問題(1)的徑向對稱解u=u(|x|), 我們令r=|x|, 將其轉化為區間I上的常微分邊值問題(BVP)

(4)

構成的 Banach 空間.

為了討論BVP(4), 我們先考慮相應的二階線性邊值問題(LBVP)

(5)

引理2.2對?h∈C+(I), LBVP(5)的解u=Sh滿足下列條件

(ii)u≥0,u′≤0.

證明 (i) 由H?lder不等式有

(ii) ?h∈C+(I), 方程(5)兩邊同乘rN-1得

-(rN-1u′(r))′=rN-1h(r),r∈I

(6)

對方程(6)兩邊積分, 應用(5)中的邊界條件得

因此,

u(r)≥0,u′(r)≤0,r∈I.

證畢.

記P={u∈C1(I)|u(r)≥0,r∈I},則P為C1(I)中的閉凸錐. 由引理2.1及引理2.2，ii), LBVP(5)的解算子S:C+(I)→P為全連續算子.

3 主要結果

定理3.1設f:I×R+×R+→R+連續. 若f滿足

(H1) 存在常數a,b≥0, 滿足a/2+b<1及C0>0, 使得

f(r,ξ,η)ξ≤aξ2+bη2+C0,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+;

(H2) ?M>0, 存在單調遞增的連續函數gM:R+→(0,+∞), 滿足

(7)

使得

f(r,ξ,η)≤gM(η), (r,ξ,η)∈I×[0,M]×R+

(8)

則BVP(1)至少有一個正徑向解.

證明 ?u∈P,令

則F:P→C+(I)連續且把有界集映為有界集. 定義映射A=S°F.由S:C+(I)→P為線性全連續算子知算子A:P→P為線性全連續算子. 再由S的定義, BVP(4)的正解等價于算子A的正不動點.

考慮同倫簇方程

u=λAu, 0<λ<1

(9)

下面我們證明方程簇(9)的解集在P中有界. 設u∈C2(I)∩C+(I)為方程簇(9)中某個λ∈(0,1)對應的方程的解, 則u=S(λF(u)). 令h=λF(u)，按S的定義,u為h=λF(u)相應的LBVP(5)的解. 因此,u∈C2(I)∩C+(I)滿足方程

(10)

方程(10)兩邊同乘u(r), 由條件(H1)及引理2.2(ii)有

-u″(r)u(r)≤

λf(r,u(r),|u′(r)|)u(r)≤

f(r,u(r),|u′(r)|)u(r)≤

au2(r)+b|u′(r)|2+C0,r∈I

(11)

式(11)兩端同時在I上積分, 由引理2.2(i)可得

從而

因

故有估計

(12)

對此M>0, 由Nagumo型增長條件(H2)可知, 存在連續函數gM:R+→(0,+∞)滿足式(7), 使得f滿足式(8). 由式(7)可知, 存在常數M1=M1(M)>0, 使得

(13)

則0≤r1

λf(r,u(r),|u′(r)|)≤

f(r,u(r),|u′(r)|)≤

gM(-u′(r)).

所以

上式兩邊從r1到s1積分得

u(r1)-u(s1)≤u(r1)≤‖u‖C≤M

(14)

對式(14)左端做變量代換ρ=-u′(r), 有

(15)

即方程簇的解集在C1(I)中有界. 由錐上的Leray-Schauder不動點定理[10]知A在P中有不動點, 該不動點為BVP(4)的正解，從而BVP(1)有正徑向解.證畢.

在定理3.1中,f(r,ξ,η)關于η可超線性增長, 見例3.3. 特別地, 當f(r,ξ,η)關于ξ,η均一次增長時, 我們有下述推論.

推論3.2設f:I×R+×R+→R+連續. 若f滿足

(H3) 存在常數a,b≥0, 滿足a/2+b<1及C0>0, 使得

f(r,ξ,η)≤aξ+bη+C0,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+,

則BVP(1)至少有一個正徑向解.

證明 (H3)?(H2)顯然，下證(H3)?(H1). 任取(r,ξ,η)∈I×R+×R+,令

利用不等式2pq≤p2+q2,p,q∈R并由條件(H3)有

f(r,ξ,η)ξ≤aξ2+bξη+C0ξ=

aξ2+2p1q1+2p2q2≤

aξ2+p12+p22+q12+q22

(16)

令

由常數a,b≥0,滿足a/2+b<1知

所以a1/2+b1<1.由式(16)有

f(r,ξ,η)ξ≤a1ξ2+b1η2+C,

(r,ξ,η)∈I×R+×R+.

因此條件(H1)成立. 由定理3.1, BVP(1)有正徑向解.

例3.3設N≥2.考慮單位球Ω={x∈RN: |x|<1}上含梯度項的橢圓邊值問題

對應于BVP(1), 相應的非線性項為

(r,ξ,η)∈I×R+×R+

(18)

當‖u‖C≤M時,

C1(M)+C2η2.

令gM(η)=C1(M)+C2η2，則f(r,ξ,η)滿足條件(H2).

下面驗證f(r,ξ,η)滿足條件(H1).取

則

由式(18)有

0≤f(r,ξ,η)ξ=

aξ2+bη2+C0,(r,ξ,η)∈I×R+×R+,

即f(r,ξ,η)滿足條件(H1). 從而由定理3.1知BVP(17)有正徑向解.