尋根問道 追本溯“圓”
——《圓》教材解讀與教學建議

○李淑民 姜永春

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第四部分“實施建議”中指出，為幫助學生真正理解數學知識，教師應揭示知識的數學實質，注重知識的結構和體系，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數學知識的整體性。

圓作為小學數學“圖形與幾何”中最后出現的一種平面圖形和最基礎的曲線圖形，在整個小學階段圖形的測量體系建構中具有承上啟下的作用。本單元的教學，旨在讓學生對所學內容整體理解把握，并通過抓住并解決課堂教學中存在的突出問題，回歸圓的數學本質，促進學生知識結構和學習方法的遷移，進而提升學生的核心素養。

一、教材解讀

1.教材的縱向分析。

從小學低年級開始學生就已經對圓有了直觀的認識，并系統學習了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形，以及它們的周長和面積的測量，進一步對圓的本質屬性及度量本質進行深入的認識和理解。本單元的學習，又將為三維圖形體積的度量提供研究思想方法的支撐。

2.教材的橫向分析。

第一板塊，認識度量對象圓，利用學生已有經驗抽象出圓的圖形，并結合畫、折、比、思等活動，探索并掌握圓的基本特征，初步了解扇形。

第二板塊，圓周長的測量與應用，通過操作實驗，引導學生了解圓周率的意義，得出圓周長的計算公式，并能解決有關圓周長的簡單實際問題。

第三板塊，圓面積的測量與應用，引導學生通過圖形的等積變換，探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題，進一步豐富對圓的基本特征的認識。

3.教材內容編排特點分析。

《圓》單元的學習，是從研究直線圖形到研究曲線圖形的過渡，對于學生而言是一種跨越和挑戰。

（1）合理運用生活素材，凸顯其教學價值。

圓在生活中有著廣泛應用，所以研究圓的時候，教材十分注重將本單元知識與生活實際相結合，把這些生活素材作為引發學生探究、促進學生思考、加深學生感悟的有效載體。

（2）“做中學”，重視活動經驗的積累。

教材在知識編排中，強調以實踐活動讓學生“做”起來，在“做”的過程中又引發學生的思考，進而主動探索，最終理解概念或得出結論。

（3）感悟數學思想，彰顯數學學習的內在價值。

本單元教學中，轉化思想、推理思想、極限思想等數學思想的運用與深化，讓學生學會數學地思考問題、處理問題，初步體驗曲線圖形面積研究的特殊方法，體會數學學習的特有魅力和內在價值。

二、教學建議

1.對圓特征的“追本”。

圓是“到定點的距離等于定長的點的集合”，這是圓最本質的特征。考慮到小學生的認知水平，教材沒有給出圓的幾何學定義，只是在引導學生觀察圓形物體的基礎上，呈現圓的幾何圖形，但并不影響學生對圓的本質內涵有所感悟。

疑難問題：師生對圓的本質認識存在困惑?，F在仍有許多教師在問“圓是否包括圓里面的部分”“扇形是圓的一部分嗎”等問題。教師尚且如此，學生對圓的本質認識更模糊不清。出現此問題的原因是教材中不出現圓的幾何學定義，生活中的語言“月亮是圓的”“桌面是圓的”與數學中的“圓”發生了沖突。

破解策略：層層深入學習，認識圓的本質內涵

（1）區分概念認識圓。

對于圓的認識，教師應幫助學生理解圓是一維的曲線，曲線的長度就是圓的周長，而圓的面積是指圓形所占的平面空間大小。另外，使用圓規畫圓之后可順勢提出：兩腳叉開的線段就是半徑，固定針尖的地方就是圓心，把半徑繞著圓心旋轉一周所畫出的圖形我們叫做圓。這樣就揭示了圓本質的動態形成過程，也明確了圓是一條曲線的特征。

（2）借助扇形認識圓。

扇形的認識是教材修訂之后新增加的內容，一方面是為六年級認識和應用扇形統計圖提供必要的支撐，另一方面也是為了讓學生更好地理解圓的本質特征。

教學時要注意突出扇形與它所在圓的關系，如：介紹“弧”這個概念時，不僅要強調弧是圓上任意兩點之間的曲線，而且要強調弧是圓周上的一部分，這樣學生就能體會圓通常指的是一條封閉的曲線，而不是這條曲線所圍成的平面部分；又如：在突出圓心角和半徑決定扇形大小的特點時，幫助學生進一步加深對圓、圓心和半徑等概念本質的理解。

（3）多樣練習認識圓。

認識圓的練習不可或缺，教學中我們可通過不同形式的練習幫助學生不斷深化對圓本質特征的理解。

如：讓學生在只有直尺情況下畫圓的練習，通過學生畫出若干個長度相等的線段，然后連接線段的各頂點即畫出圓，使學生直觀體會圓就是到一個點的距離等于定長的點的集合，它是一維圖形的本質特征。

又如，教師引入問題：“一頭牛被拴在繩子長3米的柱子上，牛能吃到草的最遠位置在哪？”讓學生通過觀察圓的動態形成過程，加強知識與生活的聯系，體會圓的本質特征。

學生在多樣的練習中不斷獲得新的感悟，既可使原有的認識更加全面、更加深刻，也能為后續學習提供更多有益的啟示。

2.對圓周率內涵的追問。

圓的周長計算公式并不復雜，但是公式中的圓周率“π”是如何得到的，這是一個頗具挑戰性和吸引力的問題。

疑難問題：學生圓周率實驗得到的數據和預想有誤差。在教學過程中，受實驗工具、測量方法、操作技能等因素的影響，學生有時會得不到“圓的周長是直徑的3倍多一些”的結論。如何讓學生真切感受“圓的周長總是直徑的π倍”這一結論的豐富內涵呢？

破解策略：讀、做結合，培養科學態度

（1）豐富探究活動，客觀感受范圍。

在測量計算和比較不同圓形紙片周長與直徑的比值之前，讓學生先在給定的正方形內畫一個最大的圓，再照樣子在圓內畫一個正六邊形，并思考“正方形和正六邊形的周長各是圓直徑的幾倍”，使學生初步認識到“圓的周長應該在此圓直徑的3～4倍之間”。

這樣，可以引導學生從不同的角度，初步感受圓周率是一個客觀存在的固定的數，從而又讓他們在提出猜想、驗證猜想的過程中，真切感受到“圓的周長總是直徑的π倍”這一結論的合理性，積累探索性活動經驗，從而提升思維水平。

（2）數據分析處理，培養科學態度。

對圓周率的實驗，除了在操作細節進行規范、使數值盡量精確外，更重要的是對收集到的數據進行科學的數據分析。

比如：可以讓學生對一個圓的周長進行多次測量，然后取多次數據的平均值作為最后的測量結果；另外，有時為了使推斷更加合理，需要收集更多的數據?？梢栽诿啃〗M獲得的數據基礎上，收集并整理全班同學的測量數據，通過對數據的整理、比較、分析、推斷得到更為科學的結論，這不僅能讓學生養成用數據說話的習慣，還能培養學生科學的學習態度。

（3）操作和閱讀結合，體會人類文明。

圓周率的出現經歷了一個漫長的不斷精確的過程，從古至今很多的數學家都做出了杰出的貢獻，他們當中既有中國的數學家劉徽、祖沖之，也有古希臘的數學家阿基米德、英國數學家奧特雷德等。

人教版教材中的“你知道嗎”欄目，以及教師用書中的“備課資料”中都介紹了圓周率的研究歷史。教師應引導學生操作與閱讀相結合，真正了解圓周率的內涵、數值、取值習慣等，不僅能讓他們受到愛國主義教育，也能使他們感受到數學家的探索精神和堅定意志，體會數學是人類文明的共同成果。

3.對圓度量本質的“溯源”。

關于度量，史寧中教授在《小學數學教學中的若干問題》一書中指出，要度量就必須確定度量單位，而度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。從一維圖形長度單位的累加，到二維圖形面積單位的密鋪，再到三維圖形體積單位的堆積，都指向度量的本質“度量單位個數累加的結果”。

疑難問題：對于曲線圖形圓的測量，難點在于：人們無法通過與長度單位、面積單位的直接比較和測量，來精確計量出圓的周長和面積。教學過程中發現教師能讓學生通過“化曲為直”轉化成學過的圖形，并尋找各元素之間的關系，推導出計算公式。但為什么要化曲為直？化曲為直與度量本質有何關系？通過對圓的測量教學能否打通小學圖形測量內容的隔斷墻？

破解策略：梳理測量過程，感悟度量本質

（1）借助已有的知識經驗探究化曲為直的原因。

圓的周長是對一維長度的度量，圓的面積是對二維面積的測量，本來可用度量工具“直尺”和“小方格”先進行測量，進而感受周長是長度單位的累加，面積是面積單位的累加。

因為圓是曲線圖形，不容易直接測量，教師在教學中可增加梳理原來學過圖形的測量結果和方法的環節，測量結果的梳理可以讓學生猜測圓的測量可能與什么元素（直徑、半徑）有關，測量方法的梳理可讓學生確定研究的方向——化曲為直、轉化成可測量的直直的線和長方形來探究（平行四邊形、三角形、梯形的面積度量源頭仍是長方形）。梳理的過程激活了學生已有的知識經驗，使學生理解了“為什么要化曲為直”，它是對圓測量研究中必用的方法和策略。

（2）利用化曲為直的結果感悟度量的本質。

根據確定的研究方向，學生把圓化曲為直再對周長進行測量，給了圓周長一個合適的數值，測量過程中學生不僅感悟到轉化思想和推理思想的運用，還體會到圓的周長同樣是“長度單位個數的累加”的度量本質；對于圓的面積，學生在觀察飛鏢板的過程中，悟到化曲為直的方法，動手操作把圓從內部打開，平均分成多個近似的小三角形，再拼成一個近似的長方形，體會轉化思想。但此時繞不開的是π的無理數情形，對于此問題，張奠宙教授在《小學數學教材中的大道理》一書中提出：當長方形的長和寬涉及無限時需要用極限方法來解決。

教學過程中教師可再啟發學生想象：如果把圓平均分成更多的份數，拼成的圖形會有什么變化？同時結合呈現更多份數的拼圖，以及虛線、長方形等幫助學生合乎情理地聯想到：平均分的份數越多，拼成的圖形就會越來越接近長方形，感悟了極限思想的運用，由此圓形的面積用歸結為長方形的面積“πr×r”得以解決，同時體會到圓的面積同樣是“面積單位個數累加的結果”的度量本質。

（3）通過梳理測量過程打通度量內容的“隔斷墻”。

通過對所有學過圖形的周長和面積測量過程的進一步梳理，讓學生在“想一想”“說一說”中體會：對于圖形周長的測量，是用長度單位的累加給直直的線一個數值的過程，如果是曲線，那就化曲為直再進行長度單位的累加；對于圖形面積的度量，最基礎的圖形長方形是用面積單位“小正方形”直接累加得到“長×寬”求出面積，平行四邊形的面積無法直接測量，是通過剪拼、拼擺等方式，歸結為長方形的面積“底×高”得到的（三角形、梯形也由此解決），圓的面積是把曲線圖形化曲為直后歸結于長方形的面積“πr×r”得到的。無論是長×寬、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，還是πr×r，它們本質都指向：一行多少個面積單位×一共多少行=面積，即面積單位個數累加的數值就是二維圖形面積的大小。

整個梳理的過程，把周長和面積測量的基本思想和方法貫通起來，使學生體會到不管測量什么圖形的周長和面積，其本質皆為“度量單位個數的累加的結果”，度量單位是一切圖形測量的本源，而這種思想和方法將為今后學習三維圖形體積的測量奠定研究的基礎。

資料存盤

1.《圓》課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的第二學段中提出：探索一些圖形的形狀、大小和位置關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。

2.圓和圓盤。

眾所周知，我國小學數學基本上是從西方移植而來的。英文中circle，我們直譯為圓，其含義是一維的曲線。但是，英文中還有一個詞disk，專指二維的圓形的圖形，《英漢大辭典》解釋為“圓盤、圓板、圓片、圓平面”。因此，在英文里圓和圓盤是兩個不同的詞。但是，在漢語里兩者混同起來了。

3.面積的定義。

幾何學的基本度量之一，是用以度量平面或曲面上一塊區域大小的正數。通常以邊長為單位長的正方形的面積為度量單位。