實驗報告：系數對二次函數圖像的影響

文／江蘇省東臺市實驗中學“幾何畫板”社團 王鑫坤

自學教材“二次函數”這一章，我的直覺告訴我，要類比“一次函數”的學習過程。果不其然，老師講二次函數時，也是從熟悉的、簡單的實際問題出發，通過問題中的數量關系引入二次函數的概念，利用描點法畫二次函數的圖像，用運動變化的觀點，由特殊到一般，運用數形結合的思想探索二次函數的圖像和基本性質。當看到教材第18—19 頁“數學實驗室”中介紹“用幾何畫板軟件研究二次函數的性質”后，我嘗試自主操作實驗，觀察系數a、b、c對二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）圖像的影響。這里，我將實驗操作的過程整理出來與同學們分享。

實驗目的：利用幾何畫板軟件畫圖、動態演示、觀察探索、度量計算等，從局部到整體理解二次函數表達式中系數a、b、c對圖像的影響，深度理解二次函數。

實驗工具：裝有幾何畫板軟件的計算機。

實驗過程及數學發現：

1.新建可變參數a，畫出二次函數y=ax2（a為常數，且a≠0）的圖像，如圖1，當a＞0時，開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點。

圖1

2.改變參數a的值，使它漸漸地變大，并追蹤拋物線，如圖2，觀察發現：它的開口方向、頂點、對稱軸都不變，但開口漸漸地向y軸收縮。

3.過y軸上的點作垂直于y軸的直線，交拋物線于E、F兩點，改變參數a的值，使它漸漸地變大，并追蹤拋物線，如圖3，隨著參數a的值漸漸增大，線段EF漸漸變短，驗證2 的觀察結果。

圖3

4.過x軸上的點D作垂直于x軸的直線，交拋物線于點P，拖動點D向x軸的正方向運動，如圖4，觀察發現：當a＞0 時，隨著點D由左向右運動，在y軸的左邊，點P由上向下運動，到原點時，位置最低，越過原點后，在y軸的右邊，點P由下向上運動。驗證性質：a＞0，當x＜0時，y隨x增大而減??；當x＞0時，y隨x增大而增大；當x=0 時，y的值最小，最小值是0。

圖4

5.改變參數a的值，使它由正變負，漸漸地變小，并追蹤拋物線，如圖5，我們可以觀察到二次函數的圖像隨著a值的變化而變化帶來的直觀圖像。

圖5

圖6

7.只改變參數a的值，追蹤頂點D，觀察發現：拋物線的形狀、位置都在變化，其頂點D在一條直線上運動，如圖7。

圖7

8.只改變參數b的值，追蹤頂點D，觀察發現：拋物線的形狀不變，位置改變，其頂點D在一條拋物線上運動，如圖8。

圖8

圖9

教 師 點 評

王鑫坤同學進入初中后始終對數學保持較高的學習興趣，在完成學校的學習任務之余，經常主動找數學問題鉆研，深入思考，挑戰極限，越是難題越能激起他的斗志。幾何畫板是教師上課引導學生探索新知的重要工具，王鑫坤同學在潛移默化中也學會用幾何畫板去探索數學的世界。著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個探索者、發現者、研究者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈?！睕]有什么東西比成功更能增強滿足的感覺，也沒有什么東西比成功更能鼓起進一步取得成功的努力。王鑫坤同學從數學探索中獲取樂趣，我們希望更多的同學主動學習、發現問題、探究問題，實現由“學會”到“會學”，由“會學”到“創新”的目標。