基于衰減路徑時變性的壓力容器疲勞裂紋安全裕度研究

謝 陽, 趙 波, 龍 偉, 劉華國, 李炎炎

(1. 四川大學機械工程學院, 成都 610065; 2. 先進制造技術四川省重點實驗室, 成都 610065)

1 引 言

隨著我國邁入中國制造2025計劃，壓力容器作為關乎經濟發展的特種儲存設備，其重要性越來越明顯，尤其在石油天然氣工程、核動力工程、化工工程和空氣動力學試驗等國家重點工程項目中被廣泛使用.大型壓力容器在生產制造和環境介質等外部條件影響下，其表面和內部會存在各種先天性或后發性缺陷，如凹坑、夾渣、裂紋、未焊透等.調查發現，引起這些事故最主要的缺陷形式是裂紋[1-2].傳統方法對于壓力容器安全程度的評估是在考慮彈性斷裂和塑性失穩的基礎上，形成雙判據失效評定圖(Failure Assessment Diagram, FAD)[3].對于安全程度的計算為“射線法”，但是射線法只能從靜態的角度出發，判斷裂紋缺陷靜態的剩余安全裕度大小，無法表征裂紋擴展過程中的時變性對含裂紋缺陷下的動態安全裕度[4].本文的主要研究目的是通過對不同類型的裂紋在擴展過程中裂紋幾何形態變化的研究，得出不同裂紋類型下的安全衰減路徑，建立含缺陷壓力容器在不同裂紋初始尺寸下的動態安全裕度表征模型;從而解決傳統安全裕度計算方法無法實時表征安全裕度大小的缺點，為含缺陷壓力容器的安全裕度評定提供新的思路.

2 裂紋的擴展規律及關聯函數

不同類型的裂紋在擴展過程中裂紋幾何形態變化影響著安全衰減路徑的建立，進而影響含缺陷壓力容器在不同初始裂紋尺寸下，動態安全裕度表征的準確性，所以對于裂紋擴展規律的探究十分必要.

2.1 裂紋擴展規律準則

根據大型壓力容器構造特點，其曲率很小，可以忽略不計. 將含裂紋處簡化為如圖1所示受均勻張力的平板進行研究[5].計算時將表面裂紋和埋藏裂紋規則化為(半)圓形或(半)橢圓形.

圖1 含埋藏裂紋的平板Fig.1 Flat plate with emdedded cracks

疲勞裂紋擴展主要是描述裂紋在疲勞載荷作用下的形狀變化.不同類型的裂紋都遵循基于斷裂力學理論及實驗提出的疲勞裂紋擴展式[6-8]，即Paris公式:

(1)

式中ΔK為應力強度因子變化范圍;C和m是與材料有關的參數, 通過試驗測得,m取值2～7.

考慮到裂紋擴展存在“閉合效應”，Elber[9-10]最早發現該現象，同時，定義了裂紋閉合系數U并給出經驗公式U=0.5+0.4R，Schijve[11]對公式進行修正如下：

U=0.55+0.35R+0.1R2

(2)

將式(2)代入式(1)，有：

(3)

利用Paris公式分別計算裂紋長度值c和深度值a與疲勞應力循環次數的積分關系.以埋藏裂紋為例，如圖2，在計算中只考慮前端的中心裂紋處A和邊界裂紋處B. 其數學表達式為：

(4)

(5)

上兩式中ΔKA、ΔKB分別為中心裂紋處A，邊界裂紋處B的應力強度因子的變化范圍；CA、CB分別為中心裂紋處A，邊界裂紋處B的Paris公式常數.

圖2 埋藏裂紋初始形狀Fig.2 The initial shape of the embedded crack

將式(4)和(5)進行數值迭代，能夠獲得關于裂紋缺陷深度值與長度值的關聯關系：

(6)

從式(6)可知，裂紋在深度和長度方向上的關聯關系，不僅與裂紋尖端處應力強度因子K，而且和材料常數C、m相關. 對于表面裂紋，其在裂紋長度方向上存在較大的塑性區，受表面的延展性阻礙作用[12]，在一定程度上將影響長度c的擴展，可以取CA=0.9mCB，針對埋藏裂紋而言，其不存在表面延展性作用取CA=CB. 因此，埋藏裂紋和表面裂紋通過以下方式擴展：

(7)

式中Δa(Δa→0)為裂紋中心處A點的擴展變化量；Δc為裂紋邊界處B點的裂紋擴展變化量. 由式(7)可知，裂紋在深度和長度方向上的關聯關系，主要與裂紋應力強度因子K有關，且式(7)可寫成：

(8)

將式(8)分別進行迭加計算后，能得到裂紋擴展變化n次后的尺寸值，分別取裂紋初始深度和長度值為a0、c0，長度尺寸an、深度值cn，其表示式為：

an=a0+nΔa(n=1, 2, 3...)

(9)

(10)

2.2 應力強度因子的計算

大型壓力容器埋藏裂紋所在部分假設成如圖2所示的平板，分析位于平板的橫截面區域所對稱埋藏缺陷相關的裂紋路徑，該缺陷受疲勞I型載荷下的均勻張力. 本文運用Newman和Raju[13-15]提供的計算埋藏裂紋和表面裂紋應力強度因子K的方法. 埋藏裂紋計算方程受拉應力下0≤a/c≤∞、c/b<0.5且-π≤φ≤π時有效，當取0≤a/c≤0.2，則有a/t<1.25(a/c+0.6)；當取0.2≤a/c≤∞，則有a/t<1；表面裂紋計算方程受拉應力作用下0≤a/c≤2、c/b<0.5和0≤φ≤π有效，當取0≤a/c≤0.2，則有a/t<1.25(a/c+0.6)；當取0.2≤a/c≤2，則有a/t<1，但兩者對于a/t>0.8作者尚未給出確定的精度，其中a是裂紋深度值(mm)；b是裂紋所在平板長度的一半(mm)；c是裂紋長度的一半(mm)；t是裂紋所在平板厚度(mm).

埋藏裂紋應力強度因子Ke表達式如下:

(11)

表面裂紋應力強度因子Ks表達式如下:

(12)

公式中St為受到的拉力；Sb、Hs分別為受到的彎曲應力和彎曲修正系數；φ為裂紋擴展角度；Fs、Fe、Q為計算中的過程變化量, 和裂紋形狀變化有關，具體推導過程見文獻[14].

我們通過以上公式可以求解裂紋的應力強度因子K，進一步分析裂紋擴展的擴展變化情況.

2.3 裂紋擴展的數值分析與迭代計算

假設裂紋呈(半)圓形或(半)橢圓形，裂紋前沿裂紋點的擴展方向都垂直于裂紋前端方向，如圖2.將橢圓形裂紋的前沿運用Simpson公式離散化分成長度相同的z段.并且每個裂紋點n都在垂直于裂紋前端方向上擴展并且遵循Paris公式，使裂紋的最大裂紋擴展量△amax在擴展變化過程中保持恒定，這樣與橢圓形裂紋前沿上所有裂紋點都相關聯，且最大裂紋擴展量對應存在最大應力強度因子△Kmax.根據Paris迭代計算公式(7)，得到如下公式，通過該公式可以求解橢圓形裂紋前沿上任意一點n的裂紋擴展量△an.

(13)

式中△an是第n點的裂紋擴展變化量，△amax是計算過程中最大裂紋擴展變化量，△Kn是第n點的應力強度因子變化，△Kmax是最大應力強度因子變化.基于Newman和Raju的方程(式(11)、(12))，有如下公式：

(14)

通過上式計算得到某一時刻下任意一點的裂紋變化量，利用最小二乘法進行擬合形成新的橢圓形裂紋前沿，進而可以得到不同時刻下裂紋擴展深度和長度的變化規律.同時利用Python語言將上述數值計算模型編程，分析裂紋路徑變化規律，通過迭代計算得出裂紋深度和長度的變化曲線.通常裂紋形狀變化通過裂紋的深長比a/c和相對裂紋深度a/t來表示，根據計算繪制了a/c隨a/t的函數變化曲線.主要迭代流程如圖3. 流程圖中：Δai為深度方向第i次的裂紋擴展變化量；Δci為長度方向第i次的裂紋擴展變化量.

圖3 迭代計算流程示意圖

2.4 關聯函數分析

首先運用Python語言對模型編程，收斂計算得到了數值結果，將埋藏裂紋和表面裂紋的裂紋前沿離散化為均勻長度的z段，令循環計算過程中裂紋最大深度變化值△amax=0.00001t，壓力容器常用材料16MnR在Paris公式中材料相關系數m取值為2～4，這里取m=3.圖4繪制了埋藏裂紋和表面裂紋在初始裂紋尺寸為(a/t)0={0.02, 0.2, 0.4}和(a/c)0={0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0}共15個初始裂紋尺寸不同的深長比(a/c)隨相對裂紋深度(a/t)的函數變化情況.

圖4 表面裂紋和埋藏裂紋擴展變化對比圖(線上彩色)

從圖4分析可知：(1) 埋藏裂紋和表面裂紋受拉作用下，裂紋形狀變化趨勢相同，當(a/c)0<1時，裂紋深長比a/c隨相對裂紋深度a/t增加而變大，靠近于1時趨于穩定；當(a/c)0>1時，裂紋深長比a/c隨相對裂紋深度a/t增加而變小，靠近于1時趨于穩定，表明兩種裂紋受拉伸應力作用時，最后的形狀變化趨向于近似a=c的方向發展.將圖4中兩種裂紋所有曲線分別收斂于某一趨勢的路徑定義為“最優擴展路徑”，表面裂紋的“最優擴展路徑”比埋藏裂紋更低.(2) 對于相同類型的裂紋，初始裂紋相對裂紋深度(a/t)0一定時，初始深長比(a/c)0的值越大，曲線會更快收斂于最優擴展路徑；當(a/t)0≥0.2受到拉應力時，曲線會更慢收斂于最優擴展路徑.(3) 對于不同類型的裂紋，表面裂紋比埋藏裂紋曲線更快收斂于最優擴展路徑.

選取圖4中部分不同的初始裂紋點所形成的曲線進行曲線擬合，生成表1和表2的裂紋關聯函數.

表1 埋藏裂紋深度a和長度c變化關聯函數

表2 表面裂紋深度a和長度c變化關聯函數

將本文提出的數值計算模型進一步驗證，在相應工況下運用數值模型計算文獻[16-17]裂紋初始值下變化趨勢與文獻實驗值比較，即使考慮到工程材料中疲勞裂紋擴展的固有實驗誤差，模型預測和實驗結果之間的一致性也非常好.

圖5 表面裂紋模型計算值與實驗值對比(線上彩色)

以裂紋擴展變化關聯函數為基礎，基于缺陷失效評定圖計算得出缺陷安全衰減路徑，提出路徑速度積安全裕度動態計算模型，實際表征出缺陷裂紋變化過程中剩余安全裕度的大小.傳統安全裕度研究方法模型有射線法安全裕度模型、衰減路徑法安全裕度模型和模糊評定法安全裕度模型三種，這三種安全裕度模型的計算方法見文獻[4, 18]，雖然以上三種傳統安全評定模型都有各自優點，但都沒有考慮裂紋擴展速度即考慮時變性對于安全裕度表征的影響進行準確判定.因此基于衰減路徑法安全裕度模型，考慮裂紋時變性的問題，提出新的剩余安全裕度模型.

3.1 路徑速度積安全裕度模型

3.1.1 衰減路徑與速率拐點 由圖6可知，隨著裂紋尺寸變化，失效評定圖上失效點從D到C的變化并非呈現射線狀變化而是呈現曲線狀變化，且疏密程度不同的失效點逐漸靠近缺陷失效曲線(FAC)，將DC所連成的散點曲線稱為衰減路徑，仿真過程中由于裂紋類型變化或者規則化處理的原因衰減路徑會出現斷點跳躍的情況[2]. 同時，從圖7[19-20]裂紋擴展速率圖中可以看出，從第二階段到第三階段速度突然增加時存在一個分界點C，將該點稱為“速率拐點”. 對應衰減路徑圖6中存在某一失效點到達速率拐點臨界線之后，任意兩個失效點之間的距離突然逐漸增大，將該點稱也定義“速率拐點”.

圖6 三種安全裕度模型示意圖

圖7 長短裂紋速率變化示意圖

(15)

裂紋擴展中裂紋增長量為Δa，考慮厚度大小無量綱化處理后有Δa/t，則裂紋增長長度可表示為an/t=Δa1/t+Δa2/t+...+Δan/t，失效路徑表征為：

(16)

將含缺陷的衰減速率圖轉化成圖8的υ-S圖，該圖能反映裂紋失效速度υ隨裂紋擴展變化長度的趨勢，其變化趨勢與圖7的變化趨勢極為一致.其中，S0點表示缺陷裂紋開始擴展，S1點表示第二階段開始點，Si點表示擴展過程中任一點，Sn表示速率拐點.

3.1.3 路徑速度積剩余安全裕度表征 不同大小的缺陷裂紋尺寸與失效速度有關，同時反映了設備的安全程度. 由于第三階段失穩崩潰速度較快，考慮到壓力容器評定安全性問題，這里將速率拐點作為分界線，在速度積安全裕度計算過程中把第三階段作省略處理. 利用υ-S路徑速度積對應面積來表示其剩余的安全裕度大小如圖8.

圖8 表面裂紋速度積計算示意圖

將擴展過程中任一點Si的速度積大小用Ai表示：

(17)

分析式(17)可知，Ai的大小是S對υ積分求面積，同理，如圖8，對任意兩個點Si，Sj之間的速度積大小可定義為：

(18)

根據以上定義，對于剩余速度積Ain和全域速度積A的計算可分別定義為

(19)

(20)

以表面裂紋情況計算，衰減路徑轉化后得到速度積散點曲線υ(S)，將各個點運用插值法擬合成圖8的冪函數曲線，可表示為：

(21)

其中bi(i=1, 2, 3，...，M)表示常數.

通過以上定義可知，全域速度積還可代換為A=Ai+Ain，則安全系數F=A/Ai，計算失效點Si的剩余安全裕度為：

M=1-1/F=Ain/A=Ai+Ain/A

(22)

隨著裂紋擴展安全裕度不斷降低，紅色面積Ain逐漸快速趨向于0.

3.2 速度積安全裕度模型實例

以壓力容器常用材料為16MnR為例，假設壁厚t=20 mm的容器內部存在一條初始裂紋深度a0=6 mm，長度2c0=30 mm的表面裂紋，即(a/t)0=0.3, (a/c)0=0.4.通過關聯函數模型計算并擬合得到y=1.12343x1+1.73772x2-5.88087x3+5.21485x4-1.62323x5+0.01806的關聯函數，然后計算得到安全衰減路徑. 由于裂紋擴展過程中變成穿透裂紋，所以出現斷點跳躍情況. 同時考慮了形成初始裂紋之前的微小短裂紋擴展，且假設微小短裂紋的擴展情況滿足上面長裂紋擬合的深度與長度變化的關聯函數表達式，最終得到裂紋從裂紋源形成到失效的全域衰減路徑，如圖9.

圖9 表面裂紋安全衰減路徑實例計算示意圖Fig.9 Schematic diagram of calculation of safety attenuation path of surface crack

通過關聯函數計算裂紋從微小短裂紋出現到最后崩潰的全域衰減路徑，同樣進行速度積轉化，如圖，由放大圖可以看出考慮微裂紋擴展時，裂紋擴展速率是先增大后減小最后進入長裂紋擴展階段，其趨勢與圖7中長短裂紋變化一致，同時文獻[19-20]也指出短裂紋擴展速度隨長度增長而降低，到達某一尺寸后再迅速增大然后進入長裂紋擴展速率趨勢.計算安全裕度時考慮其速率拐點，取速度變化量是前一次速度變化量的兩倍為速率拐點作臨界線，這里取速率拐點為S=0.874 5,υ=0.306 77，對應則的Lr=0.5450,Kr=0.4660，如圖10.

圖10 表面裂紋速度積實例計算示意圖Fig.10 Schematic diagram of calculation of surface crack velocity product example

將臨界線后面第三階段速度進行省略然后利用速度積分求面積來表征安全裕度，與射線法，衰減路徑法和模糊評定法計算的安全裕度進行比較，運用壽命安全裕度評估剩余路徑速度積安全裕度模型的合理性，計算結果由圖11和表3所示.

圖11 安全裕度實例計算對比圖

表3 裂紋變化時的剩余安全裕度大小

從圖11和表3可以看出，裂紋擴展尺寸均勻變化時，射線法，衰減路徑法和模糊評定法變化趨勢初期比較平緩，當到達0.8后時，剩余裕度會出現突然降低的變化，而路徑速度積隨著裂紋尺寸變化趨勢平緩且與圖8中速度υ有關，速度越大安全裕度下降越快.計算的壽命裕度變化與路徑速度積變化規律基本也一致.與衰減路徑法相比，路徑速度積法的差別可達42%左右，而與壽命裕度法相比最大差別僅為2%.說明路徑速度積法更符合裂紋擴展下安全裕度變化，能較好的實時表征動態安全裕度的大小.

4 結 論

本文主要針對含缺陷壓力容器安全評估展開研究.傳統安全裕度判定方法如射線法只能判斷設備是否安全，而無法準確得出剩余安全裕度大小，針對這一局限，本文通過找出不同類型裂紋擴展形狀關聯變化函數，得到裂紋的安全衰減路徑，進而考慮裂紋擴展變化中的時變性建立路徑速度積的安全裕度表征模型.并與射線法、衰減路徑法和模糊評定法進行比較，從剩余壽命法角度對比了其實用性，論證模型的可靠性.本文主要研究內容如下：(1) 基于Paris公式進行迭代得到裂紋擴展規律公式，應用Newman等的數值計算K的理論，考慮裂紋存在閉合效應下埋藏裂紋和表面裂紋擴展規律變化情況，改變Paris公式中材料系數m證明裂紋擴展變化與材料有關，并利用Python計算機語言進行模型編程，得到不同初始值下裂紋的變化規律圖，建立埋藏裂紋和表面裂紋在擴展過程中深度a和長度c的關聯變化函數.(2) 基于傳統安全裕度模型無法考慮裂紋擴展下時變性問題，根據速度積概念，建立了新的大型壓力容器剩余安全裕度模型.以表面裂紋為例進行討論分析，從壽命安全裕度角度評價路徑速度積安全裕度模型，結果符合較好.