無線電能傳輸系統(tǒng)小信號模型降階研究

程志遠(yuǎn) 邵會文 陳 坤 眭清洋 李東東

無線電能傳輸系統(tǒng)小信號模型降階研究

程志遠(yuǎn) 邵會文 陳 坤 眭清洋 李東東

（上海電力大學(xué)電氣工程學(xué)院 上海 200090）

無線電能傳輸（WPT）系統(tǒng)具有高階、非線性及強耦合的特點。為準(zhǔn)確描述WPT系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，進而實現(xiàn)控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計與分析，該文以LCL-S電路拓?fù)錇檠芯繉ο螅脧V義狀態(tài)空間平均建模方法得到WPT系統(tǒng)的大信號模型，在此基礎(chǔ)上建立系統(tǒng)高階小信號模型。同時，為簡化系統(tǒng)控制器設(shè)計，采用拉蓋爾多項式展開與平衡理論相結(jié)合的方法，對高階小信號模型進行降階處理，即將11階系統(tǒng)降為3階。仿真與實驗結(jié)果表明，降階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)具有相似的動態(tài)響應(yīng)及小擾動穩(wěn)定性，驗證了降階模型的有效性與準(zhǔn)確性，為WPT控制系統(tǒng)的設(shè)計奠定了模型基礎(chǔ)。

無線電能傳輸 小信號模型 平衡實現(xiàn) 模型降階

0 引言

無線電能傳輸（Wireless Power Transfer, WPT）技術(shù)通過高頻磁場構(gòu)建能量傳輸通道，能在非導(dǎo)電介質(zhì)之間傳輸電能，避免了機械式的連接方式，且具有耐高溫、耐腐蝕、安全可靠性高等諸多優(yōu)點，近年來在電動汽車、醫(yī)療植入設(shè)備、自主式水下機器人（Autonomous Underwater Vehicle, AUV）等領(lǐng)域得到了廣泛研究[1-6]。

由于無線電能傳輸系統(tǒng)通過松耦合變壓器實現(xiàn)氣隙傳能，為最大限度地減少漏磁及滿足直流負(fù)載需求，需引入諧振與不控整流環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)具有高階、非線性及強耦合的特點，極大地增加了控制器的設(shè)計難度與復(fù)雜性。目前針對WPT系統(tǒng)控制器設(shè)計，主要基于建模與控制算法的研究，且為了獲取系統(tǒng)優(yōu)良的動態(tài)性能，系統(tǒng)建模應(yīng)最大限度地接近于實際。為滿足這一需求，現(xiàn)有針對WPT系統(tǒng)的建模方法主要有狀態(tài)空間平均（State Space Average, SSA）、廣義狀態(tài)空間平均（Generalized SSA, GSSA）、頻閃映射方法[7]和拓展描述函數(shù)法。其中，廣義狀態(tài)空間平均法能夠精確地描述15階以下變換器系統(tǒng)各狀態(tài)變量的動態(tài)響應(yīng)，文獻(xiàn)[8]基于此方法建立了雙向WPT系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。文獻(xiàn)[9-10]使用拓展函數(shù)法，對于SS拓?fù)涞腤PT系統(tǒng)進行建模，得到了一個9階的小信號模型。

然而系統(tǒng)階數(shù)過高會增加控制系統(tǒng)設(shè)計的難度。因此針對系統(tǒng)模型降階的研究得以重視。模型降階即在保證動態(tài)特性及穩(wěn)定性與原系統(tǒng)相似的條件下，利用低階模型代替原高階系統(tǒng)，采用該方法可極大地簡化系統(tǒng)控制器設(shè)計。文獻(xiàn)[11]采用Krylov子空間的降階方法對配電網(wǎng)絡(luò)進行降階，但缺點在于算法較為復(fù)雜，且無法保證系統(tǒng)的可控與可觀性。文獻(xiàn)[12]運用平衡理論的方法將電力系統(tǒng)模型進行降階，得到的降階系統(tǒng)很好地保留了原系統(tǒng)的動態(tài)過程和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[13]同樣采用平衡理論的方法針對模塊化多電平變換器進行降階并設(shè)計控制器，為預(yù)估與改善系統(tǒng)的不穩(wěn)定性提供了便捷。目前，系統(tǒng)降階在無線電能傳輸領(lǐng)域中研究較少，如文獻(xiàn)[14]針對WPT系統(tǒng)進行小信號建模，為了驗證所設(shè)計控制器性能，僅對模型的零極點分布進行了研究，但整體的控制仿真系統(tǒng)仍采用階數(shù)較高的小信號模型結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[15]將WPT系統(tǒng)中LC諧振部分視作一個電感元件，采用場振幅與場相位對等效電感元件進行描述，從而成功地將9階小信號模型降為5階系統(tǒng)，但該方法理論體系較為復(fù)雜，缺乏一定的適用性，且系統(tǒng)所降階次仍然較高。文獻(xiàn)[16]采用閉環(huán)主導(dǎo)極點法，將WPT系統(tǒng)由11階等效為2階系統(tǒng)，由于只考慮了主導(dǎo)極點，在動態(tài)特性與穩(wěn)態(tài)誤差上無法保證與原系統(tǒng)高度匹配，同時閉環(huán)主導(dǎo)極點法源于經(jīng)典控制理論，故僅針對單輸入單輸出系統(tǒng)，應(yīng)用上具有一定的局限性。

本文首先基于LCL-S拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的WPT系統(tǒng)進行小信號建模，采用拉蓋爾多項式展開與平衡理論相結(jié)合，對全階小信號模型進行了降階處理；然后針對降階后不同階數(shù)與全階系統(tǒng)進行對比分析，得出有利于控制器設(shè)計的等效三階模型；最后，通過仿真與實驗驗證了降階后小信號模型與全階系統(tǒng)高相似度的特點。

1 WPT系統(tǒng)模型建立

圖1所示為LCL-S拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的WPT系統(tǒng)的等效電路。其中，1、p和s分別是1、p和s的內(nèi)阻，f是輸出側(cè)濾波電容,H為逆變器輸出電壓，對其進行傅里葉級數(shù)展開，得到基波幅值B，其值為

式中，為逆變器移相角；Ud為逆變器輸入側(cè)電壓。

通過LCL-S型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的濾波后，逆變器輸出電壓的基波分量B提供了主要功率輸出的功能，所以采用B代替逆變器輸出電壓。此外，用方波電壓源rec與電流源rec來等效表示整流電路部分[17]。

以逆變器輸出電壓為零相位參考，逆變器輸出電壓和其他狀態(tài)變量[18]可表示為

式中，奇數(shù)項為正弦分量幅值；偶數(shù)項為余弦分量幅值；為濾波電容的電壓有效值。

由于WPT系統(tǒng)副邊諧振網(wǎng)絡(luò)工作在額定頻率附近，且rec為方波信號，通過傅里葉展開可得無數(shù)的奇次諧波，因此可將3次及以上諧波濾除[19]，其基波分量為

由于整流橋的輸入輸出功率守恒，可得整流部分輸出電流rec為

其中，的表達(dá)式為

選取狀態(tài)變量

將式（3）～式（6）代入式（2）可建立系統(tǒng)的廣義狀態(tài)空間平均模型為

式中，1∈R11×11，1∈R11×1，1∈R1×11，其值分別為附錄中式（A1）、式（A2）與式（A3）。式（7）即為諧振電路大信號模型，令微分項為零可得到系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)點時各個狀態(tài)變量的幅值大小。

其中

將式（8）～式（11）與式（7）結(jié)合，現(xiàn)以=[12345678910x]為狀態(tài)變量建立小信號模型，即

式中，2∈R11×11，2∈R11×1，2∈R1×11，2、2、2值分別為附錄中式（A4）、式（A2）和式（A3）；參數(shù)k（=1,…,5）見附錄式（A5）。

2 模型降階及其實現(xiàn)

本文基于平衡理論和Hankel奇異值降階思想對系統(tǒng)模型進行降階，在保證系統(tǒng)動態(tài)特性基本不變的條件下，利用低階系統(tǒng)代替原高階系統(tǒng)。

2.1 平衡實現(xiàn)及平衡截斷法

平衡實現(xiàn)是將原高階系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為平衡系統(tǒng)后，通過奇異值分解得到降階模型，即通過選取適當(dāng)映射子空間得到高性能降階模型的降階方法[20]。

若系統(tǒng)同時滿足式（15），則可認(rèn)為式（14）是WPT系統(tǒng)小信號模型的平衡系統(tǒng)。

上述平衡截斷法是通過求解Lyapunov方程來得到系統(tǒng)的可控格蘭姆矩陣c和可觀格蘭姆矩陣o，存在計算復(fù)雜度高，求解過程時間長的缺點。鑒于拉蓋爾多項式展開法在滿足一定精度的條件下可將矩陣指數(shù)進行近似求解，具有求解過程高效的優(yōu)點，故本文采用該方法解決問題。

2.2 拉蓋爾展開

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣又稱作矩陣指數(shù)，即e。本文采用的方法是基于拉蓋爾多項式將e進行展開，從而簡化平衡截斷方法中可控格蘭姆矩陣c與可觀格蘭姆矩陣o的求解。

拉蓋爾多項式可表示為

對指數(shù)函數(shù)e進行拉蓋爾多項式級數(shù)展開可得

其中，a滿足

將拉蓋爾多項式進行拉普拉斯變換可得[22]

令=-(0.5)，代入式（21）能夠得到遞歸形式為

進行上述推導(dǎo)后，所得遞歸形式可類似地應(yīng)用于全階小信號系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 高階小信號系統(tǒng)降階求解

基于拉蓋爾多項式展開的求解方法，首先對式（13）中的矩陣e2進行近似展開為

由2.2節(jié)可知，其中

將式（23）與式（24）代入到式（13）中可得

由拉蓋爾多項式的正交性，可以得到系統(tǒng)可控格蘭姆矩陣的低秩分解為

同理，可觀格蘭姆矩陣能夠得到低秩分解為

通過投影變換得到平衡系統(tǒng)

用平衡截斷法對平衡系統(tǒng)進行截斷處理，保留對系統(tǒng)輸入輸出影響較大的狀態(tài)變量，舍去冗余部分，即可得到基于拉蓋爾多項式展開方法的小信號模型降階系統(tǒng)。

3 仿真分析

本文以LCL-S拓?fù)涞腤PT系統(tǒng)為研究對象，其仿真模型參數(shù)見表1。

表1 WPT系統(tǒng)仿真參數(shù)

Tab.1 Simulation parameters of the WPT system

根據(jù)所給參數(shù)，采用上述理論分析對系統(tǒng)進行降階，全階小信號模型的階數(shù)為11階，降階處理后得到系統(tǒng)階數(shù)與Hankel奇異值對應(yīng)關(guān)系如圖2所示。顯然，前5個狀態(tài)占了系統(tǒng)總信息99%以上，后6個狀態(tài)的Hankel奇異值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于前5個狀態(tài)的奇異值。因此，以下仿真中將分別針對1～5階系統(tǒng)，從時域與頻域等方面進行分析，比較各階數(shù)系統(tǒng)與全階系統(tǒng)的匹配程度。

圖2 Hankel奇異值

采用表1所示參數(shù)，移相角從180°階躍至 0°的條件下，從時域角度對原系統(tǒng)與降階系統(tǒng)的輸出動態(tài)行為與穩(wěn)態(tài)值進行分析，響應(yīng)如圖3所示。

圖3 全階與各降階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

由圖3可以看出，5階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線基本一致，3、4階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)較原系統(tǒng)曲線誤差也較小，偏差在0.6V以下。而1、2階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)時誤差相對較大。

為了定量地分析各降階系統(tǒng)與原系統(tǒng)的匹配程度，本文采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)來進行計算與分析，其取值在-1～1之間，絕對值越大，說明二者相關(guān)性越強，其公式為

式中，為數(shù)據(jù)點個數(shù)；x、y分別為第個節(jié)點數(shù)據(jù)；為皮爾遜相關(guān)系數(shù)。

各降階系統(tǒng)與全階小信號系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)波形的皮爾遜相關(guān)系數(shù)見表2，由數(shù)據(jù)可以看出3～5階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線與全階系統(tǒng)的匹配程度較高。

表2 降階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)皮爾遜相關(guān)系數(shù)

Tab.2 Pearson correlation coefficient of dynamic response of reduced-order system

為了進一步分析3～5階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)的匹配程度，圖4與圖5分別給出降階前后模型的極點分布與伯德圖。

圖4 全階與3～5階系統(tǒng)極點分布

圖5 全階與3～5階系統(tǒng)的伯德圖

由圖4可知，3階降階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)主導(dǎo)極點具有較高的相似性，即瞬態(tài)響應(yīng)趨于一致，且從伯德圖中可以看出，降階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)重疊的部分接近10kHz。因此，為了大大簡化一定頻率范圍內(nèi)控制器的分析和設(shè)計，可將全階系統(tǒng)用3階降階系統(tǒng)來表征與模擬。

3 實驗驗證

為驗證所得模型的可靠性，現(xiàn)搭建如圖6所示基于LCL-S拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無線電能傳輸實驗平臺。

圖6 無線充電裝置實驗平臺

圖7是輸入直流電壓100V，負(fù)載為15Ω，移相角為0°時原邊逆變與副邊整流輸出電壓與電流波形，可以看出系統(tǒng)逆變側(cè)輸出電流滯后于移相電壓，處于弱感性狀態(tài)，這為系統(tǒng)能夠工作在軟開關(guān)狀態(tài)下提供了條件。

圖7 原邊逆變與副邊整流輸出電壓與電流波形

圖8是移相角從180°階躍至0°時實驗平臺的負(fù)載電壓與三階系統(tǒng)仿真波形的對比，其穩(wěn)態(tài)誤差僅為1.71V，可滿足基本精度需求。二者的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.792 2（系數(shù)在±(0.5～1)以內(nèi)即為強相關(guān)）。因此認(rèn)為降階模型能夠有效地模擬全階系統(tǒng)。

圖8 降階模型仿真與實驗波形

為驗證降階系統(tǒng)在頻域上的匹配程度，采用數(shù)字控制方法，通過控制器產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)移相角的同時疊加幅值一定但頻率不同的小信號移相角，而后通過示波器的FFT分析采集統(tǒng)一頻率下的輸出響應(yīng)與小信號移相角的信號增益大小，從而繪制出仿真全階、3階系統(tǒng)和實驗平臺的開環(huán)伯德圖如圖9所示。由圖9可以看出，實際與仿真系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)吻合較好，但存在一定的偏差。降階模型與實驗平臺在時域和頻域均存在一定誤差，造成這種偏差的原因為：實驗平臺中的器件可能存在雜散參數(shù)，在運行過程中影響系統(tǒng)的動態(tài)特性；在小信號模型分析建模時所采用的線性化方法使得系統(tǒng)存在一部分的失真。

圖9 仿真與實驗系統(tǒng)伯德圖

4 結(jié)論

1）本文建立了基于LCL-S電路拓?fù)涞臒o線電能傳輸系統(tǒng)小信號模型，采用拉蓋爾多項式展開與平衡截斷相結(jié)合的方法，使原11階系統(tǒng)降至3階系統(tǒng)，通過仿真對比了全階系統(tǒng)、1～5階系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作點處的動態(tài)階躍響應(yīng)。結(jié)果表明，5階與全階系統(tǒng)響應(yīng)曲線基本一致，3、4階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)較原系統(tǒng)偏差也僅在0.6V以下。驗證了降階模型的有效性和準(zhǔn)確性。

2）針對本文所設(shè)計的無線電能傳輸系統(tǒng)，3階降階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)主導(dǎo)極點具有較高的相似性，使得3階模型基本保留原模型的動態(tài)特性，并且最終都趨于平穩(wěn)，達(dá)到降階且保持原系統(tǒng)性能近似不變的目的。因此，可將全階系統(tǒng)用3階降階系統(tǒng)來表征與模擬全階系統(tǒng)，進而極大地簡化一定頻率范圍內(nèi)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。

3）本文所采用的小信號建模及與之相對應(yīng)的降階方法，可應(yīng)用于不同電路拓?fù)涞臒o線電能傳輸控制系統(tǒng)的設(shè)計，具有一定的普適性。

附 錄

1、2表達(dá)式為

1、2表達(dá)式為

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Research on Order Reduction of Small Signal Model of Wireless Power Transmission System

Cheng Zhiyuan Shao Huiwen Chen Kun Sui Qingyang Li Dongdong

（College of Electrical Engineering Shanghai University of Electric Power Shanghai 200090 China）

The wireless power transmission system has the characteristics of high level, nonlinearity, and strong coupling. To describe the dynamic response of the WPT system accurately to realize the optimal design and analysis of the control system, the report takes the LCL-S circuit topology as a research subject. Firstly, the large-signal model of the WPT system is obtained by the generalized state-space average modelling method. On the basis to establish a high-level small-signal model of the system. Also, Laguerre's expansion and balancing realization were used to reduce the level of the high-level small-signal model to obtain the low-order model and to simplify the design of the system controller. So, the third level was reduced by the eleventh level system. Simulation and experimental results show that the level-reduced system and full-level system have a similar dynamic response and small disturbance stability, which verifies the effectiveness and accuracy of the level-reduced model. And it builds a model foundation for the design of the WPT control system.

Wireless power transfer, small-signal model, balanced realization, model reduction

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211079

TM712

國家自然科學(xué)基金資助項目（5187070548）。

2021-07-15

2021-09-09

程志遠(yuǎn) 男，1977年生，博士，高級工程師，研究方向為無線電能傳輸、高壓電纜無線取電。E-mail：chengzhiyuan@126.com

李東東 男，1976年生，博士，教授，研究方向為風(fēng)力發(fā)電與電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制、智能用電等。E-mail：powerldd@163.com（通信作者）

（編輯 郭麗軍）