非線性均勻傳輸線的暫態響應

曹 磊，夏慧婷

(華中科技大學 電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430074)

0 引言

在“電路理論”的教學內容中，線性均勻傳輸線的典型代表是傳輸低頻信號的電力傳輸線和傳輸高頻信號的同軸線。已知源端正弦激勵信號以及終端負載時，線上任意位置處的電壓和電流的分布規律均可以通過求解偏微分方程組獲得解析公式，即利用相量法獲得穩態解，利用拉氏變換法獲得暫態解[1-3]，或者利用電路軟件進行仿真分析[4-5]。在無損耗的情況下，線上電壓(電流)行波幅值保持不變，沿時間和空間位置的變化滿足正弦函數關系。然而，實際均勻傳輸線往往同時表現出非線性和有耗特性，其電壓和電流對應的偏微分方程相互耦合，通常無法通過解析法獲得線上準確的電壓和電流分布。在這種情況下，該如何求解其暫態響應？與線性均勻傳輸線相比，其響應有什么特點？這是筆者教學過程中學生經常提出的問題。本文結合實際的科研經歷，以用于高頻信號檢測的場效應晶體管的導電溝道為例，使用數值計算方法研究其暫態響應(輸出電壓)特性，并進行傅里葉級數展開分析，以拓展學生在均勻傳輸線分析過程中的知識面，加強綜合運用電路知識解決實際問題的能力。

1 理論模型

對于場效應晶體管，假設導電溝道長度為l(在x方向，x=0對應源極，x=l對應漏極)，如圖1所示。

圖1 非線性均勻傳輸線電路

當傳輸高頻信號時，其溝道可以借助于一維均勻傳輸線進行等效。依據流體動力學理論，柵極下導電溝道內電壓U和電子速度v均是時間t以及空間位置x的函數(忽略y以及z方向的不均勻性)，其約束關系由兩個耦合的非線性偏微分方程決定：

(1)

(2)

其中:自變量U(x,t)為柵極-溝道之間的有效電壓;v(x,t)為電子的漂移速度；常系數C=e/m由電子電荷e和有效質量m確定；常系數Γ=1/τ由電子的動量彌弛時間τ確定，與傳輸線中損耗大小有關。

不妨假設電路正常工作需要的直流偏置電壓為U0，輸入的正弦電壓信號幅值為Ua，角頻率為ω，則電路的電源側的等效電壓源為Us(t)=U0+Uasinωt，在實際的工作模式下，源極接地，漏極開路，因此邊界條件為U(x+0,t)=U1(t)=Us(t)，v(x=l,t)=0。初始條件為U(x,t=0)=U0，v(x,t=0)=0，輸出電壓信號為U0(t)=U2(t)-U1(t)。當只有直流電源作用時，輸出電壓為零。

上述描述導電溝道內電壓和電子速度的方程組為非線性偏微分方程組(PDEs)，構成的傳輸線電路屬于非線性電路，因此適用于線性電路的疊加定理無法使用，不能通過電源分解的方法求解。非線性偏微分方程組的求解方法可以分為兩大類，即解析近似求解法和數值迭代求解法[6]，其中解析法通常基于小信號近似，采用諧波平衡的方法能夠求解出特定條件下的近似解，其應用范圍和精確性有限。隨著數值計算技術的發展，其在復雜PDEs的精確求解中發揮了重要作用。最常用的是有限差分法，主要思想是通過對待求解空間區域進行網格劃分，將連續求解域替換成離散的有限網格節點，以差商代替偏導，將偏微分方程組化為以網格上的值為未知數的差分代數方程，通過數值迭代或直接求解得到數值解。

2 數值計算方法

由于描述溝道中電子運動的方程組為非線性耦合偏微分方程組，無法得到精確的解析解，因此本文基于有限差分法對待求解問題進行數值模擬，借助Matlab編程計算方程(1)和(2)的數值解(精確解)。

首先對時間t和一維溝道空間位置x進行網格離散，把偏導替換成差商，從而得到原方程組的差分形式，其中時間偏導采用前向差分方式，根據邊界條件，式(1)的位置偏導采用前向差分，式(2)位置偏導采用后向差分，即：

前向差分形式：

(3)

后向差分形式：

(4)

其中,下標i,j分別代表U，v空間位置網格編號，上標n代表時間網格編號。時間步長Δt與空間步長Δx滿足如下關系：c>c·Δt，其中c為真空光速，將上述差分公式代入待求方程組得到電壓和漂移速度的迭代關系分別為：

(5)

(6)

根據上述迭代關系，通過編寫Matlab計算程序，可以得到任意時刻任意空間位置的U，v值，從而計算出暫態響應電壓U0(t)。

3 計算結果

圖2示出非線性傳輸線在電壓源Us(t)=5+0.5sinωtV作用下，電壓U在兩個相鄰時刻(t0,t1)沿整個空間位置(x=0～l=150 nm)的分布情況，其中t0=0.03 ps，t1=0.05 ps，ω=2π×1012rad/s，τ=1 ps。可以明顯觀察到從源端向負載端傳輸的行波波前位置變化，在0.02 ps的時間差內，行波波前向負載端移動了約41.38 nm，且行波還未行進至負載端，傳輸線上不存在反射波，據此計算出傳輸線上行波相速度約為vp=41.38nm/0.02ps=2.07×106 m/s。電子速度v也具有類似的分布特征，在波前未到達的空間位置處，電壓和速度均保持為初始狀態值，即U=5 V，v=0。

圖2 電壓行波在兩個相鄰時刻t0=0.03 ps和t1=0.05 ps沿傳輸線空間位置的分布

保持直流電壓U0=5 V值不變，通過改變電壓源正弦信號的幅值Ua(0.1，0.5和1 V)，圖3為計算得到的空載電壓暫態響應U0(t)的波形。可以看出，隨著Ua的增大，穩態波形幅值也越大，且輸出電壓在達到穩態后的波形發生畸變，偏離標準的正弦波形，表明響應電壓的非線性程度越高，含有的頻率分量越豐富。依據非正弦周期信號的分析方法[2]，可以取穩態波形的一個周期信號，進行傅里葉級數展開，從而定量分析直流、基波以及各次諧波的幅值大小。

為了進一步研究響應電壓的非線性特性，本文以圖3的暫態仿真結果為基礎，在其穩態部分提取一個周期(T=2π/ω=1 ps)的波形，進行傅里葉級數展開，從而得到各次諧波的幅值，列于表1，其中諧波數k=0～5,0代表直流分量，1代表與正弦電源同頻率的基波分量，以此類推，5代表五次諧波分量。

(a)Ua=0.1 V

從表1可以看出，隨著正弦電源幅值的增加，直流、基波及高次諧波的幅值均相應地增加，但與正弦電源的幅值不成比例，同時，輸出電壓中含有較強的二次諧波和三次諧波分量(表1只列出最高5次諧波的幅值，實際計算結果含有更高的諧波分量，尤其是在正弦電壓幅值較高的情況下)，表明該傳輸線電路具有強的非線性特征。保持正弦電壓幅值不變，基波分量具有最大的幅值，高次諧波分量幅值隨著諧波數的增加而減小，因此當正弦電壓幅值比較小的時候，可以將輸出電壓中的二次及以上諧波分量忽略，僅考慮直流和基波分量，這就是所謂的小信號近似，可以獲得輸出電壓的近似解析表達式。

表1 不同幅值正弦電源作用下的輸出電壓諧波分量

4 結語

(1)以場效應晶體管的導電溝道為原型，采用非線性均勻傳輸線理論進行分析，利用有限差分方法數值計算了其在正弦電源作用下的暫態響應。該方法同樣適用于有耗/無耗線性均勻傳輸線暫態響應的計算，拓展加深了電路理論中線性均勻傳輸線的知識范圍及求解方法。

(2)利用傅里葉級數展開對暫態響應的穩態部分進行分析，獲取了直流、基波及各次諧波對應的幅值。在正弦電源作用下，非線性均勻傳輸線的響應包含豐富的諧波分量，這是由于偏微分方程中非線性項引起的自混頻效應。

(3)在該非線性傳輸線的求解過程中，綜合利用了均勻傳輸線基本理論、微分方程的數值分析法以及非正弦周期信號的諧波分析法，能夠有效訓練學生綜合運用電路理論知識解決復雜不熟悉的電路問題。