聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累方法

裴家正 黃 勇* 陳寶欣 關 鍵* 蔡 咪 陳小龍

①(海軍航空大學 煙臺 264000)

②(92337部隊 大連 116000)

③(91321部隊 金華 321000)

1 引言

傳統相干雷達系統采用先脈沖壓縮后相參積累(雜波抑制)的順序級聯信號處理方案[1]。根據多普勒效應，目標或平臺的運動會導致回波信號的頻率與發射頻率不同，發射的多個脈沖相當于在時域對多普勒信號進行采樣。時域的相參積累常被用于檢測強雜波中的目標，也可用于提高雷達的橫向分辨率。最常用的兩類處理方法是運動目標指示(Moving Target Indicator,MTI)和脈沖多普勒處理。前者的本質是通過高通濾波器濾掉低頻雜波，并不改善目標的響應；后者是對每一距離單元的數據做譜分析，如離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)等，可以得到較為準確的目標運動參數[2,3]。

常用的相參積累處理方法暗含了目標在處理時間內僅處于一個距離單元的假設。對于低信雜比目標，長時間的相參積累會導致目標跨越多個距離單元；對于高速目標，橫跨距離單元(Across Range Unit,ARU)走動的問題會更嚴重[4–8]。此外，現代的高分辨雷達加劇了目標橫跨距離單元走動的程度，傳統相參處理方法面臨著嚴重的性能下降問題。針對這些問題，長時間相參積累方法是一種有效的解決途徑，如早期基于Keystone變換[9]、三維匹配濾波[10]的相關方法。不過這些方法處理流程比較復雜，且多采用級聯處理校正ARU走動[11]。對于線性運動的目標，許稼等人[11]首次系統地提出了基于Radon傅里葉變換(Radon-Fourier Transform,RFT)的長時間相參積累方法用于解決動目標的ARU問題。作為廣義的多普勒濾波器組，RFT方法的主要問題是存在盲速旁瓣和二維參數搜索計算量大[12,13]。為此，文獻[12]提出提高距離分辨率、增加相參積累脈沖數或對多普勒濾波器權重加權可以抑制盲速旁瓣水平；文獻[13,14]分別提出了基于快速傅里葉變換和粒子群優化算法的快速實現方法。針對RFT方法需要多維參數搜索的問題，文獻[15,16]采用非搜索的參數估計方法，將慢時間(即脈間時間)信號時間反轉再共軛相乘即可精確補償距離彎曲和多普勒頻移，但是這種方法會受多目標交叉項的影響。針對機動目標，文獻[17]提出基于動態規劃的相參積累方法，在不估計特定運動參數的情況下，積累任意運動目標的能量進行距離補償和多普勒補償；文獻[18]針對速度恒定的曲線運動目標提出基于精確距離演化模型的廣義RFT方法，不僅在不考慮目標速度和相干處理間隔的情況下進行有效的相干積分，還在多普勒域提供了額外的速度信息；文獻[15]提出了一種基于慢時間反轉變換和改進的RFT的高效相參積累方法，但如前文所述，該方法中的多目標交叉項會影響檢測性能。

上述研究中所采用的信號模型都基于線性調頻信號的理想匹配濾波結果，由于線性調頻信號具有優良的多普勒容忍性(斜刀刃狀模糊函數)，因此未考慮脈內多普勒頻移的影響。實際上由于目標運動的影響，匹配濾波的峰值位置也會發生變化。如果發射的是相位編碼信號等其他波形，則必須考慮脈內多普勒頻移導致的主瓣展寬、幅度降低和位置誤差。

本文結合現有研究分析了傳統級聯信號處理流程對高速目標能量積累不適應之處，從多維信號聯合的角度提出聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累方法。由于級聯處理并非理論上的最優，該方法直接進行匹配濾波與RFT相結合的二重積分。實驗表明聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累方法在主瓣峰值的估計更加準確，不會出現級聯處理那樣的主瓣偏移，還能克服主瓣展寬、幅度降低等問題。

2 問題分析

傳統雷達信號級聯處理流程對高速目標能量積累的不適應可以從模糊函數與級聯處理的結果兩方面進行闡述。

2.1 根據模糊函數的角度分析

模糊函數不僅可以從距離-速度二維分辨力來定義，還可以從匹配濾波器的輸出來定義。當信號s(t)具有多普勒頻移時，其復包絡為s(t)ej2πξt，假設此時匹配濾波器的響應函數未變，則對有多普勒頻移的信號不再匹配。此時濾波器輸出仍為時域卷積，

y(τ,ξ)則是模糊函數的另一種定義[19]。一些常用波形的模糊圖如圖1所示。線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號的脈寬100 μs，帶寬0.2 MHz，采樣頻率1 MHz，上升斜率；非線性調頻(Nonlinear Frequency Modulation,NLFM)信號參數與之一致并通過漢明窗調制；P3和P4碼信號脈寬100 μs，碼長5 μs，采樣頻率1 MHz。圖1(c)、圖1(d)、圖1(g)、圖1(h)是模糊圖位于多普勒頻率5 kHz處的切片，線性調頻信號的脈壓輸出只在峰值位置有輕微誤差；非線性調頻信號的脈壓輸出峰值位置有誤差且存在主瓣展寬；P4碼信號的脈壓輸出存在嚴重的主瓣展寬、增益下降、旁瓣增高的問題，尤其是主瓣增益下降3 dB以上；P3碼信號的脈壓輸出不僅存在以上問題，還有更嚴重的主瓣畸形的問題。當鄰近單元存在多目標干擾時，P3和P4碼信號更容易受到影響。

圖1 LFM信號，NLFM信號，P4和P3編碼信號的模糊函數Fig.1 Ambiguity figure of LFM,NLFM,P4 and P3 code

2.2 根據級聯處理結果的角度分析

聯合脈沖壓縮與相參積累的必要性也源自于對高速目標的雷達回波進行脈沖壓縮以及相參積累的級聯處理時的性能退化。假設雷達發射信號矢量為s，脈寬為Tp，脈沖重復間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)為TPRI。如圖2所示高速目標在時長為T的相干處理間隔(Coherent Processing Interval,CPI)內發生橫跨距離單元走動記為(t)[11]

圖2 目標橫跨距離單元的走動Fig.2 The ARU walk of a target

式中，rT為目標在0時刻所在的位置，vT是目標相對于雷達的徑向速度，t是在CPI內的時間變量。

在時間T內雷達接收回波y可表示為

y是N個行向量組成的矩陣，表示T內N個脈沖重復間隔的回波數據，NT/TPRI。x為目標反射的回波信號所組成的矩陣，n為噪聲、雜波和干擾的總和組成的矩陣。

級聯處理首先對接收到的目標回波脈沖數據y進行匹配濾波，得到二維的匹配濾波輸出表示為矩陣xpc，其中

匹配濾波之后，動目標檢測(Moving Target Detection,MTD)以脈壓結果xpc作為理想輸入，但顯然MTD處理并沒有利用目標的速度信息。RFT方法能夠搜索目標的運動參數實現目標能量的積累。

根據ARU走動在時間-距離二維笛卡兒坐標表示形式以及相應的極角-極徑二維極坐標表示形式，

RFT共4種形式[11]，此處選擇距離與速度的二維參數空間表示其連續形式為[20,21]

其中，Hv(t)是多普勒濾波器組[22,23]，

λ為波長，fd–2v/λ是目標的多普勒頻率。實際情況下，RFT的速度參數取值限制在v∈[–vmax,vmax]。速度的遍歷搜索較為復雜，如果用速度區間Δv將速度v的搜索空間離散化[24,25]，

則速度遍歷Nvround(2vmax/Δv)即可。同時假設目標的運動范圍為r∈[–rmax,rmax] (rmaxvmaxT/2)，根據雷達回波數據的采樣情況，距離按照Δrc/(2fs)(fs為采樣頻率，c為光速)進行離散化，則距離遍歷Nrround(2rmax/Δr)即可。因此RFT的離散形式表示為[26–28]

其中，i和q分別作為距離和速度的離散變量。RFT一般采用線性調頻信號，以往的研究沒有過多考慮脈內多普勒頻移對脈壓的影響。實際脈內多普勒頻移仍然會影響線性調頻信號的RFT輸出，只是被忽略了。假設某S波段雷達載頻為3 GHz，脈沖重復間隔TPRI0.005 s。信號帶寬6 MHz，脈寬100 μs，調頻為上升斜率，采樣頻率為30 MHz。一信噪比為10 dB的目標以–340 m/s的速度朝向雷達運動(本文速度的負值代表朝向雷達的方向)，0時刻該目標位于距雷達150 km處。在T為0.2 s(N40)的情況下進行級聯處理。

CPI內的脈壓結果如圖3所示。由于目標發生ARU走動，匹配濾波處理后可以明顯地看到目標的距離維峰值呈現出一條斜線。MTD處理后則無法得出目標位置與速度信息。即使是匹配濾波器和傅里葉變換聯合的PC-FT方法，

圖3 0.2 s時間內的脈壓結果Fig.3 The pulse compression result in 0.2 s

也會由于匹配濾波和傅里葉變換都是線性運算，導致PC-FT方法也和脈壓與MTD的級聯處理結果一致，無法將跨距離單元的目標能量積累起來。根據圖4，目標在相干處理間隔內發生了ARU走動使得多個距離單元與多普勒單元處都存在峰值。

給定目標速度上限vmax550 m/s所得到的RFT處理結果則如圖5所示。相比圖4，圖5(a)中脈壓與RFT的級聯處理具有更好的增益[11]。但是從圖5(b)所示的–340 m/s的目標速度切片可知在脈壓與RFT的級聯處理下，目標的峰值位置偏移了150 km，因此對位置的估計是不準確的。

圖4 MTD與PC-FT的輸出結果Fig.4 The output of MTD and PC-FT

圖5 脈沖壓縮與RFT級聯處理輸出結果Fig.5 The output of cascaded processing

線性調頻信號雖是目前十分常用的雷達波形，但也有大多數雷達使用非線性調頻信號以及P3碼、P4碼等相位編碼信號或是其他信號波形以達到較低脈壓旁瓣的目的。而高速目標的脈內多普勒頻率會對其他波形的級聯處理產生更加嚴重的影響效果。非線性調頻信號雖然沒有出現較大的能量損失，但是主瓣位置出現了一定的偏移。P3碼、P4碼等相位編碼信號雖然在目標沒有高速運動的情況下可以得到更好的長時間相參積累效果，但是一旦存在因目標高速運動帶來的失配就會出現明顯的旁瓣抬升，主瓣偏移以及增益下降。

3 聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累

經過第2小節的分析可得，無論采用任何一種信號波形對高速目標回波進行長時間相參積累時必須要考慮脈內多普勒頻移對脈壓的影響，即需要長時間時距聯合處理。

3.1 PC-RFT的連續表示形式

脈壓與Radon傅里葉變換的二維聯合方法需要在脈壓時就補償目標的脈內多普勒信息，在回波信號與發射信號逐個元素卷積的同時進行Radon傅里葉變換從而構成二重積分。根據ARU走動在時間-距離二維笛卡兒坐標表示形式以及相應的極坐標表示形式，PC-RFT也具備4種連續表示形式。

其中，ρ和θ分別表示目標運動軌跡相對于場景中心的極徑和極角。Tp表示脈沖持續時間，t為慢時間(即脈間時間)，τ為快時間(即脈內時間)，s(τ)為波形在快時間τ時的采樣值，?表示取共軛運算。

以(r,v)域為例，將式(7)與式(16)進行對比，相比式(7)將匹配濾波輸出作為理想脈壓輸出而忽略了多普勒濾波器組在脈內這段時間的相位變化，式(16)中直接引入了快時間變量τ，在匹配濾波器中每一個對應元素相乘時都引入與之對應的慢時間-快時間二維多普勒濾波器組Hv(t+τ)。因此PC-RFT方法在慢時間(時間)維與快時間(距離)維同時補償多普勒頻移。

3.2 PC-RFT的離散表示形式

與連續表示形式對應，PC-RFT方法的離散表示形式為

其中，i和q分別是對應于r和v的離散變量，l和k分別是對應于ρ和θ的離散變量，θ(k)arccot(–v(k)),ρk(l)r(l)sin(θ(k))且i,l1,2,···,Nr，同時k,q1,2,···,Nv。Mfsτ為脈沖內的采樣點數，s(m)為波形的第m+1個采樣值，fs為采樣頻率。為節省篇幅，本文主要考慮在距離與速度二維參數空間的離散表示形式。如果將PC-RFT與RFT方法的離散表示形式進行對比，可將式(10)重寫為

式(21)與式(22)對比可以明顯看出二者之間相差exp[j4πv(q)m/fs/λ]。RFT方法缺失了該項則不能稱為理論最優，因此PC-RFT方法才作為理論最優，在現實中比RFT方法更接近所能達到的理論最大增益。

3.3 計算量分析

PC-RFT算法在兩個維度進行了運動補償與能量積累，相比于RFT算法具有額外的運算量，因此本小節對算法運算量做出簡要分析。以(r,v)域的表示形式為例，根據式(8),RFT算法所需要的運算量[11,13]為NrNv[NIm,c+(N–1)Ia,c]，其中NrNv表示對距離、速度的二維搜索，NIm,c+(N–1)Ia,c表示的是距離和速度搜索單元確定的情況下在PRI內的累加運算量，Im,c表示復數乘法，Ia,c表示復數加法。本文所提的PC-RFT算法一共需要NrNv(N–1)Ia,c[M2Im,c+(M–1)Ia,c]的運算量，其中NrNv仍然表示對距離、速度的二維搜索，(N–1)Ia,c表示在慢時間域所作的累加運算，M2Im,c+(M–1)Ia,c表示在快時間域所作的乘積與累加運算。由此可見PC-RFT算法的運算量確實要高于常規先脈壓再進行RFT算法的運算量。

3.4 算法適用性討論

正如RFT方法中所討論的[11,13]，真實情況下，目標會存在做高階運動(如加速度、切向運動等)的可能。高階運動目標對RFT以及PC-RFT方法的影響需要通過合理的控制積累時間T以保證長時間相參積累的增益[11]。在積累時間有限的前提下，PCRFT方法同RFT方法一樣無法補償非線性距離走動，機動或變速目標的能量需要限制在單個距離-速度單元內，因此在時間T內PC-RFT方法僅允許徑向速度在速度分辨單元內變化，否則將會產生橫跨多普勒單元的走動，不利于PC-RFT方法對目標能量的積累。

4 仿真說明

為了驗證聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累方法的性能，本節繼續假設某S波段雷達載頻為3 GHz，脈沖重復間隔TPRI0.005 s。信號帶寬6 MHz，脈寬100 μs，采樣頻率為30 MHz，對不同的信號波形的回波分別采用級聯處理與聯合處理并進行方法之間的性能對比。

4.1 單目標場景實驗

在相干處理間隔T為0.4 s(即N80)的情況下設置vmax550 m/s。場景中心為150 km。場景能量積累范圍Ra600 m，所以RgRa+vmaxT820 m。另外Δr5 m，Nr120且Δv0.2 m/s，Nv5500。一信噪比為0 dB的目標在距離雷達150 km處(場景中心)以vT300 m/s的速度遠離雷達運動。如不特別說明，本小節的仿真均采用以上參數設置。

4.1.1 對線性調頻信號回波的處理

本小節線性調頻波形采用上升斜率。對80個脈沖做匹配濾波所得到的脈沖壓縮輸出結果如圖6所示。圖6(a)的全局脈沖壓縮輸出可以明顯顯示出目標在該時間段內所做的ARU走動。但是圖6(b)中0時刻脈壓的主瓣位置已經偏離了150 km的位置，再一次說明脈內多普勒頻率影響了脈沖壓縮的性能。級聯信號處理流程中，上一級流程沒有做到最優處理，勢必會影響下一級流程。

圖6 線性調頻信號回波的匹配濾波脈壓輸出Fig.6 Matched filter output of LFM

級聯處理與聯合處理結果如圖7所示。直觀看二者的區別并不十分明顯，都在目標所在的大致范圍處積累了能量且速度維旁瓣比較明顯。但是將速度為300 m/s的切片進行對比，如圖8所示。兩種方法的目標主瓣增益基本沒有區別。將速度切片中目標主瓣與第一副瓣的比值作為主副比，則級聯處理結果主副比為13.38 dB，聯合處理結果的主副比為13.39 dB，雖然兩種方法的主副比基本沒有差別，但是PC-RFT處理直接克服了目標主瓣的偏移問題，與級聯處理的結果之間存在顯著的區別。

圖7 兩種方法對LFM信號回波的處理結果Fig.7 The result of the two methods (LFM)

圖8 目標速度切片(LFM)Fig.8 The slice of target’s speed (LFM)

4.1.2 對非線性調頻信號回波的處理

本小節所采用的非線性調頻波形是通過4次余弦窗函數cos4(0.7πf/B)設計幅度譜，再利用相位駐留法計算相位函數而得的[29,30]。匹配濾波所得到的脈沖壓縮輸出結果如圖9所示。圖9(a)可顯示出目標在時間T內的ARU走動。圖9(b)所示0時刻脈壓中已經不僅存在主瓣偏移，還存在一定程度的主瓣展寬和旁瓣抬升。

圖9 非線性調頻信號回波的匹配濾波脈壓輸出Fig.9 Matched filter output (NLFM)

非線性調頻信號回波的級聯處理與聯合處理結果如圖10所示。雖然二者輸出的速度維旁瓣比較明顯，但在目標周圍的距離旁瓣也已經有明顯區別，PC-RFT的目標距離旁瓣明顯低于級聯處理。在圖11目標速度切片對比中，級聯處理結果主副比為20.63 dB，聯合處理結果的主副比為39.29 dB，可見PC-RFT處理直接克服了目標主瓣的偏移問題，以及主瓣展寬與旁瓣抬升的問題。

圖10 兩種方法對NLFM信號回波的處理結果Fig.10 The result of the two methods (NLFM)

圖11 目標速度切片(NLFM)Fig.11 The slice of target’s speed (NLFM)

4.1.3 對P4碼信號回波的處理

本小節所采用的P4碼信號波形(s(n)exp(jπn·(n–Nc)/Nc),n0,1,···,Nc–1,Nc為信號碼數)碼長為0.1 μs。匹配濾波所得到的脈沖壓縮輸出結果如圖12所示。圖12(a)為目標在時間T內所做的ARU走動。圖12(b)中不僅存在主瓣偏移、主瓣展寬和旁瓣抬升的問題，還伴隨有主瓣能量衰減。

圖12 P4碼信號回波的匹配濾波脈壓輸出Fig.12 Matched filter output (P4)

P4碼信號回波的級聯處理與聯合處理結果如圖13所示。

圖13 兩種方法對P4碼信號回波的處理結果Fig.13 The result of the two methods (P4)

由于相位編碼信號對多普勒頻率的敏感性，對P4碼信號級聯處理與聯合處理的區別較為明顯，尤其是距離旁瓣明顯存在差異，PC-RFT處理得到的距離旁瓣要明顯低于級聯處理。具體區別如圖14所示，PC-RFT處理直接克服了目標主瓣的偏移問題，以及一定的主瓣展寬。更明顯的：一是級聯處理結果主副比為12.72 dB，聯合處理結果的主副比為43.31 dB,PC-RFT處理有效解決了級聯處理P4碼信號回波時的旁瓣抬升問題，二是級聯處理中目標主瓣衰減了約2.9 dB,PC-RFT處理雖然也存在衰減1.4 dB的情況，但在一定程度控制了能量的衰減。

圖14 目標速度切片(P4)Fig.14 The slice of target’s speed (P4)

4.1.4 對P3碼信號回波的處理

本小節所采用的P3碼信號波形(s(n)exp(jπn2/Nc),n0,1,···,Nc–1,Nc為信號碼數)碼長同樣為0.1 μs。在目標處于場景中心以vT300 m/s運動的過程中，對80個脈沖做匹配濾波所得到的脈沖壓縮輸出結果如圖15所示。圖15(a)仍可明顯地顯示出運動目標在該時間段內所做的橫跨距離單元走動。圖15(b)中也存在主瓣偏移、展寬、能量衰減和旁瓣抬升的問題。與前3種情況稍不同，本小節的主瓣和旁瓣的對比關系變化尤其明顯。

P3碼信號回波的級聯處理與聯合處理結果如圖16所示。此處距離旁瓣明顯存在差異，PC-RFT處理得到的距離旁瓣要明顯低于級聯處理。具體如圖17所示，PC-RFT處理直接克服了目標主瓣偏移和主瓣展寬的問題。更明顯地：一是相比級聯處理的目標主瓣衰減了約3.5 dB,PC-RFT處理雖也存在衰減1.4 dB的情況，仍然在一定程度上控制了能量的衰減。二是級聯處理結果主副比為3.47 dB，聯合處理結果的主副比為42.17 dB,PC-RFT處理解決了級聯處理P3碼信號回波時稍有不同的旁瓣抬升問題。無論是根據圖15(b)還是圖17，級聯處理的結果出現了近似兩個目標峰值的情況。這種情況會嚴重影響后續的目標檢測等信號處理流程。而PC-RFT的聯合處理明顯克服了該問題，抑制了距離旁瓣，為后續流程提供了更好的處理結果。

圖15 P3碼信號回波的匹配濾波脈壓輸出Fig.15 Matched filter output (P3)

圖16 兩種方法對P3碼信號回波的處理結果Fig.16 The result of the two methods (P3)

圖17 目標速度切片(P3)Fig.17 The slice of target’s speed (P3)

4.2 多目標場景實驗

在相干處理間隔T為0.4 s的情況下設置vmax1200 m/s。場景中心為150 km。場景能量積累范圍Ra600 m，所以RgRa+vmaxT1080 m。微弱目標增程探測主要基于線性調頻信號波形，因此本小節實驗只針對線性調頻信號波形。兩個信噪比為–10 dB的目標在距離雷達150 km和150.05 km處以3倍聲速遠離雷達運動，另有兩個信噪比為–2 dB的目標在距離雷達150 km和150.05 km處以500 m/s的速度運動。PC-FT,PC與RFT級聯處理,PCRFT方法的輸出結果如圖18—圖20所示。在PCFT的輸出中由于存在多普勒模糊，所以圖18的縱坐標沒有與目標的速度對應。圖18中目標的能量仍然分散在多個距離和多普勒單元，沒有聚焦。

圖18 PC-FT輸出Fig.18 The output of PC-FT

圖19和圖20中，PC與RFT級聯處理與PC-RFT方法都對4個目標的能量實現了較好的聚焦，且兩種方法處理下的目標主瓣增益與主副比都基本相近。但由于級聯處理沒有補償脈內多普勒，4個目標的主瓣位置都出現了偏移。而PC-RFT方法克服了4個目標主瓣的偏移，使得4個目標的主瓣位于正確的距離-多普勒單元上。

圖19 PC與RFT的級聯輸出Fig.19 The output of cascaded processing (PC and RFT)

圖20 PC-RFT的輸出Fig.20 The output of PC-RFT processing

5 結論

本文結合已有研究分析了傳統的級聯信號處理流程對高速目標不相適應的地方，分析了應用幾種當前常用的脈壓波形在對高速目標回波的級聯處理中造成的偏差，從多維信號聯合的角度提出聯合脈壓與Radon傅里葉變換的長時間相參積累方法。其實在現今隨著雷達分辨率的提升，對微弱目標進行長時間相參積累處理時，該問題便一直存在，只是目前大多數的研究都忽視了。雖然對于線性調頻信號而言，對于目標增益的改善較小，但是明顯地克服了目標主瓣的偏移。聯合處理對多普勒敏感的非線性調頻信號和相位編碼信號波形的處理性能是顯而易見的，不僅克服了目標主瓣的偏移，還解決了旁瓣抬升和主瓣能量衰減的問題。所以綜合來看，聯合處理明顯優于級聯處理。未來將著重研究可快速實施的聯合處理方法以及引入目標高階運動參數的聯合處理方法。