非光滑錐形桿中的縱波傳播

袁 樂，賀宇翔，李翔宇

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 611756）

引 言

變截面桿件是工程中常用的構(gòu)件，在建筑、機(jī)械以及超聲加工等領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用，如超聲聚能器、應(yīng)力波放大器、蒸汽輪機(jī)的葉片等［1-3］。桿件在服役過程中，由于大氣腐蝕或磨損會(huì)導(dǎo)致其表面形成隨機(jī)粗糙面，這會(huì)對(duì)桿中波的傳播產(chǎn)生影響，導(dǎo)致信息的傳遞出現(xiàn)偏差。因此，縱波在具有隨機(jī)粗糙表面的桿件中的傳播問題在工程應(yīng)用上受到了廣泛的關(guān)注［4-5］。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)變截面桿中的縱波傳播問題的解析解開展了大量的研究。對(duì)于錐形桿或梁中的縱波傳播問題，Abrate［6］將波的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為均勻桿或梁的運(yùn)動(dòng)方程，給出了錐形桿或梁的精確解。Bapat［7］結(jié)合了傳遞矩陣法和錐形桿的封閉形式解，得到了指數(shù)和鏈狀桿中縱波問題的解析解。Kumar等［8］研究表明，只有在截面變化滿足一定條件的變截面桿中，縱波傳播問題才存在解析解，并給出了截面變化條件。葛仁余等［9］也指出現(xiàn)有的解析方法只能得到一些特殊類型的變截面桿中縱波問題的精確解。然而，具有隨機(jī)粗糙表面的錐形桿中的縱波傳播問題尚缺乏解析解。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用多種方法研究變截面桿中縱波問題的近似解。楊立軍等［10］采用攝動(dòng)法近似求解了變截面桿縱向振動(dòng)問題。Guo等［11］采用了一種近似解析法，研究了變截面桿的縱向自由振動(dòng)問題。孟子飛等［12］基于應(yīng)力波理論，結(jié)合耦合的歐拉-拉格朗日方法（CEL），研究了在水下爆炸載荷作用下變截面桿結(jié)構(gòu)中縱向應(yīng)力波的傳播特性。Sebastian等［13］采用了步近法（Step Approximation Method）對(duì)變質(zhì)量或變剛度的梁中的縱波波場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值的計(jì)算，并與用多尺度展開方法計(jì)算得到的解進(jìn)行了對(duì)比。步近法能準(zhǔn)確計(jì)算縱波在粗糙桿中的傳播問題，但目前尚未有文獻(xiàn)利用步近法來(lái)計(jì)算具有隨機(jī)粗糙表面的錐形桿中的縱波傳播問題。

基于此，本文建立了由高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度控制的隨機(jī)粗糙面的數(shù)字模型，利用步近法研究了具有隨機(jī)粗糙表面的錐形桿中的縱波傳播問題，并利用有限元法驗(yàn)證了計(jì)算的準(zhǔn)確性，還系統(tǒng)地研究了隨機(jī)粗糙面的統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)縱波傳播時(shí)的波幅的影響。通過與光滑桿中的縱波波幅的對(duì)比，得到了粗糙面統(tǒng)計(jì)參數(shù)與最大無(wú)量綱幅值衰減的近似預(yù)測(cè)公式。

1 隨機(jī)粗糙面的數(shù)字模型

以具有隨機(jī)粗糙表面的圓錐形桿為研究對(duì)象。錐形桿的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面半徑為r，其截面半徑沿軸向變化。錐形桿在幾何上是軸對(duì)稱的，因此隨機(jī)粗糙面僅是軸向坐標(biāo)x的函數(shù)。截面半徑r隨x的變化為r(x)=r0+ax+γ(x)，其中r0為錐形桿初始端截面半徑，a為對(duì)應(yīng)光滑桿的半徑斜率，γ(x)為隨機(jī)粗糙面高度函數(shù)。粗糙錐形桿的子午面示意圖如圖1所示。

圖1 粗糙錐形桿模型示意圖

隨機(jī)粗糙面數(shù)字模型由數(shù)字濾波器的線性濾波過程來(lái)構(gòu)造。利用自回歸方法，將粗糙表面高度的分布視為一個(gè)滿足高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程［14］。隨機(jī)粗糙面由兩個(gè)統(tǒng)計(jì)參量控制，分別是粗糙高度均方根ε以及相關(guān)長(zhǎng)度lc。粗糙高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度分別控制了粗糙面的表面粗糙度和紋理：粗糙高度均方根越大，粗糙面的起伏高度越大；相關(guān)長(zhǎng)度越大，表面越光滑。

圖2給出了在不同統(tǒng)計(jì)參量對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱隨機(jī)粗糙面高度γ/r0隨無(wú)量綱坐標(biāo)x/r0的變化曲線。

圖2 不同統(tǒng)計(jì)參量下的粗糙面模型

2 計(jì)算方法

2.1 錐形桿的運(yùn)動(dòng)方程及其通解

對(duì)于表面光滑變截面桿，由軸向位移u(x,t)表示的運(yùn)動(dòng)方程為［6］：

其中，S為變截面桿的截面面積，E為彈性模量，u為軸向的位移，t為時(shí)間，ρ為材料的質(zhì)量密度。其波場(chǎng)通解為［8］：

其中，A0和B0分別代表右行波和左行波的幅值，可由邊界條件求出；ω為頻率，虛數(shù)單位，波數(shù)k=

當(dāng)桿為平直桿時(shí)，則截面面積S為一常數(shù)，通解可以退化為：

2.2 粗糙錐形桿中的縱波波場(chǎng)

將長(zhǎng)為L(zhǎng)的粗糙錐形桿模型離散為N段平直桿，每段長(zhǎng)度為l，如圖3所示。桿的左端入射一幅值為A0，頻率為ω的縱波，考慮波傳播已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

圖3 非光滑錐形桿離散示意圖

由式（3）知，第n段桿的波場(chǎng)為：

當(dāng)縱波在桿中傳播時(shí)，若桿的某一截面兩端的材料參數(shù)或截面面積發(fā)生了變化，在截面處就會(huì)發(fā)生反射以及透射現(xiàn)象［15］，如圖4所示。

圖4 波傳播至截面處的反射及透射

在截面處應(yīng)滿足位移連續(xù)條件以及力平衡條件：

同理給出波在第n截面從右向左反射系數(shù)和透射系數(shù)為：

因此，由兩相鄰桿段波的反射與透射可以得到段間波的傳遞關(guān)系，如圖5所示。

圖5 相鄰桿中波的傳遞關(guān)系

從圖5可以發(fā)現(xiàn)，第n段桿的波場(chǎng)包含了向右的傳遞波，在第n截面左端的反射波和第n截面右端的透射波為第n截面右端的左行波幅值。那么第n段桿的波場(chǎng)又可以表示為：

聯(lián)立式（4）和式（9），得

定義Jn,n+1為第n截面左端到第（n+1）截面右端的波幅傳遞矩陣：

遞推到整個(gè)桿，便可以得到從一截面的左端到另一截面右端的波幅關(guān)系的傳遞矩陣：

第n段桿桿間的波幅關(guān)系可由式(16)得出：

第n段桿桿內(nèi)波幅關(guān)系可由式(15)得出：

3 結(jié)果與討論

3.1 計(jì)算方法有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，本文使用了MATLAB、ABAQUS軟件對(duì)縱波在隨機(jī)粗糙錐形桿中的傳播進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。其中，材料參數(shù)取E=2.1×108Pa，ρ=104kg/m3，桿的無(wú)量綱長(zhǎng)度x/r0=1000>>1，r0為錐形桿的初始端截面半徑，桿的左端入射一列縱波，頻率ω=5 s-1，初始無(wú)量綱幅值A(chǔ)/r0=0.05。

在進(jìn)行系統(tǒng)計(jì)算之前，首先對(duì)步近法進(jìn)行了收斂性分析，結(jié)果見表1。

表1 步近法收斂性分析

表1中，N為計(jì)算時(shí)粗糙桿模型離散的單元數(shù)，A/r0為x/r0=500處的無(wú)量綱幅值。可見當(dāng)N=105時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于收斂，在系統(tǒng)計(jì)算時(shí)將模型離散為105個(gè)單元。

為了驗(yàn)證使用本文解的正確性，使用步近法計(jì)算了光滑錐形桿中的縱波幅值。圖6展示了縱波在光滑錐形桿中傳播時(shí)的無(wú)量綱幅值A(chǔ)/r0隨著無(wú)量綱坐標(biāo)x/r0變化的曲線，并與表面光滑的錐形桿波場(chǎng)解析解（式（3））進(jìn)行了對(duì)比。

圖6 光滑桿中縱波幅值隨坐標(biāo)的變化曲線

從圖6中可以看出本文的計(jì)算結(jié)果與光滑錐形桿波場(chǎng)解析解吻合較好。將數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比分析可知，兩者相對(duì)誤差在0.1%以內(nèi)。這初步說明了本文計(jì)算的準(zhǔn)確性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證步近法計(jì)算的準(zhǔn)確性，使用有限元法（FEM）計(jì)算縱波在粗糙錐形桿中傳播時(shí)的波場(chǎng)。為此建立了無(wú)量綱高度均方根ε/r0=0.05，無(wú)量綱相關(guān)長(zhǎng)度lc/r0=50下的隨機(jī)粗糙桿有限元模型。在有限元建模時(shí)使用了梁?jiǎn)卧瑔卧孛鏋閳A形，每個(gè)單元設(shè)置不同的截面半徑，計(jì)算時(shí)粗糙桿離散為2000個(gè)單元。在桿模型的左端施加一個(gè)簡(jiǎn)諧縱向位移，對(duì)另外兩個(gè)方向的位移進(jìn)行了約束。粗糙桿模型兩端為一段無(wú)限長(zhǎng)平直桿，以確保計(jì)算時(shí)粗糙桿兩端為無(wú)反射邊界條件。計(jì)算時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)取0.01 s。

使用步近法計(jì)算具有相同粗糙表面的桿中的縱波波場(chǎng)并與有限元方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。兩種方法計(jì)算得到的幅值最大相對(duì)誤差為0.979%，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖7 粗糙桿中縱波幅值隨坐標(biāo)的變化曲線

3.2 隨機(jī)粗糙面統(tǒng)計(jì)參量的影響

系統(tǒng)計(jì)算了具有不同高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度的隨機(jī)粗糙面的錐形桿中的縱波波場(chǎng)。每組生成1000個(gè)具有相同統(tǒng)計(jì)參量的隨機(jī)粗糙桿數(shù)字樣品，并計(jì)算其中傳播的縱波無(wú)量綱幅值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。圖8給出了4組具有不同統(tǒng)計(jì)參量的隨機(jī)粗糙面對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱幅值A(chǔ)/r0隨無(wú)量綱坐標(biāo)x/r0的變化曲線，并與表面光滑桿的無(wú)量綱幅值曲線進(jìn)行對(duì)比。

圖8 不同統(tǒng)計(jì)參量的隨機(jī)粗糙桿與光滑桿中的幅值對(duì)比曲線

由圖8可見，縱波在隨機(jī)粗糙桿中傳播時(shí)，其無(wú)量綱幅值相比于表面光滑桿有衰減。令無(wú)量綱幅值衰減為ΔA/r0，其中ΔA=Asmooth-Arough，Asmooth為縱波在光滑桿中傳播時(shí)的波幅，Arough為縱波在粗糙桿中傳播時(shí)的波幅。無(wú)量綱幅值衰減ΔA/r0隨著無(wú)量綱坐標(biāo)的增大而增大，在x/r0=1000處(即桿的最右端)達(dá)到最大。方便起見，令最大無(wú)量綱幅值衰減為ΔAmax/r0。

對(duì)比圖8中不同統(tǒng)計(jì)參量的粗糙面對(duì)應(yīng)的最大無(wú)量綱幅值衰減ΔAmax/r0，可見ΔAmax/r0隨著無(wú)量綱高度均方根ε/r0的增大而增大，隨著無(wú)量綱相關(guān)長(zhǎng)度lc/r0的增大而減小。

為了進(jìn)一步研究粗糙面的統(tǒng)計(jì)參量對(duì)縱波幅值的影響，分別保持高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度不變，研究不同統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)最大幅值衰減的影響。圖9展示了lc/r0=50時(shí)最大無(wú)量綱幅值衰減ΔAmax/r0隨著無(wú)量綱高度均方根ε/r0的變化曲線。圖10展示了ε/r0=0.05時(shí)最大無(wú)量綱幅值衰減ΔAmax/r0隨著無(wú)量綱相關(guān)長(zhǎng)度lc/r0的變化曲線。

圖9 最大幅值衰減隨高度均方根的變化

圖10 最大幅值衰減隨相關(guān)長(zhǎng)度的變化

從圖9和圖10可以看出，幅值衰減與高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度均呈指數(shù)變化。而當(dāng)ε/r0=0時(shí)，粗糙桿退化為光滑桿，即ΔAmax/r0=0。因此，認(rèn)為幅值差與高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度的關(guān)系可滿足下式：

其中，α、β、ξ為待定常數(shù)，可通過最小二乘法將幅值衰減與高度均方根和相關(guān)長(zhǎng)度進(jìn)行擬合得出。最大無(wú)量綱幅值衰減的經(jīng)驗(yàn)公式為：

最大幅值衰減與高度均方根、相關(guān)長(zhǎng)度的三維擬合曲面如圖11所示。圖中紅色實(shí)心圓圈記號(hào)代表步近法的計(jì)算結(jié)果，藍(lán)色實(shí)線代表了擬合曲面。

圖11 最大幅值衰減與高度均方根、相關(guān)長(zhǎng)度擬合曲面

為了驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)公式的有效性，計(jì)算了擬合曲線與本文計(jì)算結(jié)果的最大無(wú)量綱幅值衰減的相對(duì)誤差，如圖12所示。

圖12 擬合曲線與步近法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差

圖12 中，ΔAf為最大無(wú)量綱幅值衰減的擬合值，為擬合曲線與步近法計(jì)算所得的最大無(wú)量綱幅值衰減的差值絕對(duì)值。由圖12可見，擬合曲線與本文的計(jì)算結(jié)果最大相對(duì)誤差為1.07%，擬合結(jié)果良好。該擬合曲線存在一定的適用范圍，經(jīng)測(cè)試，只有當(dāng)無(wú)量綱高度均方根ε/r0＜0.1且無(wú)量綱相關(guān)長(zhǎng)度lc/r0＞25時(shí)，該經(jīng)驗(yàn)公式比較準(zhǔn)確。

4 結(jié)束語(yǔ)

建立了具有隨機(jī)粗糙表面的錐形桿的數(shù)字模型，并利用了步近法來(lái)計(jì)算在粗糙錐形桿中傳播的縱波波場(chǎng)解。通過與有限元法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，證明了步近法能夠準(zhǔn)確計(jì)算隨機(jī)粗糙錐形桿中的縱波傳播問題。隨后利用該方法進(jìn)行系統(tǒng)分析，探究了隨機(jī)粗糙面的統(tǒng)計(jì)參量對(duì)其中傳播的縱波的影響。給出了縱波的最大無(wú)量綱幅值衰減與高度均方根、相關(guān)長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)公式（式（21））。