Dirichlet空間上的復合算子

李金燕，劉 丹

（華南農業大學數學與信息學院，廣州 510642）

引 言

近一個世紀以來，函數空間上的算子理論一直是泛函分析的重要研究課題，與數學的許多領域有著密切的聯系。在經歷了長期的研究后，現已形成一系列非常豐富的理論體系。復合算子是算子理論的重要研究對象，同時，復合算子也架起了解析函數論和算子理論之間的橋梁。對函數空間上復合算子進行研究始于上世紀六十年代，Nordgren［1］最早研究一個固定函數與函數空間上的函數復合。此后，復合算子的研究得到了越來越廣泛的關注，如Singh等［2］總結了非解析函數空間上復合算子的研究成果。但是，更多的學者，如Shapiro［3］和Cowen等［4］，關注解析函數空間上的復合算子的研究，得到了一些非常經典的結論。

復合算子以及加權復合算子的研究中，最基本的問題是對作用在不同解析函數空間上的復合算子的可逆性、有界性、緊性、范數以及譜等一系列性質進行刻畫。這一領域的研究工作吸引了大量的學者參與，并得到了眾多的成果，如單位球上加權復合算子可逆的充要條件［5］、加權Dirichlet空間上的復合算子［6］、廣義Fock空間之間的Volterra型復合算子的有界性及其本性范數［7］，從解析函數空間到Zygmund型空間的加權復合算子的算子范數和本性范數［8］，帶測度權Dirichlet空間上的復合算子［9］，半平面Hilbert-Hardy空間上的加權復合算子［10］等。

在研究Hardy空間上的復合算子的基本算子性質的時候，最根本的目的在于揭示誘導函數的函數性質與復合算子的算子性質之間的聯系。比如，Shapiro［11］利用Nevanlinna計數函數給出了Hardy空間上復合算子本性范數的刻畫。然而，Dirichlet空間的很多函數結構理論與Hardy空間的結構可以相對應，且從文獻［3-6，10-15］中可知，誘導函數的性質（尤其是不動點與計數型函數）與復合算子的算子理論性質之間有著密切聯系。從這些角度，經典Dirichlet空間上復合算子的譜、本性范數和正規性還值得進一步探討研究。

設D是復平面?上的單位開圓盤，dA是D上正規化的Lebesgue測度，H(D)是定義在D上的解析函數全體。記D是D上的經典Dirichlet空間。對于任意的α∈?，加權Dirichlet空間Dα定義為：

其中，D(a,δ)是擬雙曲圓盤。

當α=0時，τφ,α(w)=nφ(w)是φ的經典計數函數nφ(w)，即{z|φ(z)=w}的基數。

為了研究Dα(-1<α<1)上復合算子的有界性和緊性，上述定理給出了計數函數的均值刻畫。特別地，對于在經典Dirichlet空間上復合算子的有界性和緊性，該定理同樣給出了計數函數的均值刻畫。然而，Zorboska雖表示有更好的逐點特征，卻沒有給出相關的研究結果。

nφ,α(w)的次平均值性是證明加權Dirichlet空間Dα上復合算子有界性和緊性的關鍵。但是Jordi等在研究中并沒有對α=0的情況進行討論。

就Hardy空間而言，Lotto［13］研究表明H2上的緊復合算子在H2中不滿足Hilbert-Schmidt，這實際上也說明了，Dα上的復合算子在Dα中不滿足Hilbert-Schmidt。另外，Akeroydis［14］發現Dα上的一個緊復合算子，不屬于Dα中的任何Schatten理想S p。在Dirichlet空間上，也有一些有趣的結果［16-20］，如Wang等［16-17］得到了D上復合算子Fredholm性的等價刻畫，并對這類算子的譜進行了研究，討論了D上復合算子及其代數的循環性，王茂發等［18］刻畫了緊加權復合算子的譜。

為了更深入地探討Dirichlet空間上復合算子的性質，從不同角度對經典Dirichlet空間上緊復合算子的性質進行研究，并計算它的譜。此外，對D上的有界復合算子的范數和本性范數進行估計，并給出D上有界復合算子正規性的等價刻畫。

1 緊復合算子

定理3 設φ是單位圓盤D上的解析自映射，若復合算子Cφ是D上的緊算子，則φ在D內至少存在一個不動點。

2 Cφ的本性范數和正規性

定理5設φ是單位圓盤D上的解析自映射，且使得Cφ是D上的有界算子，則

3 結論