基于正交基函數(shù)的矢量磁梯度異常探測

馬劍飛，顏冰，林春生

(海軍工程大學 兵器工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引言

磁異常探測技術具有不受空氣、海水、泥沙、土壤等介質(zhì)影響的優(yōu)勢，在勘探礦物、航空反潛以及未爆彈探測等方面具有廣泛而深入的應用，其作為一種被動探測技術具有隱蔽性好的特點[1-3]。

目前主要的標量磁異常探測技術大致分為兩類:第一類是目標磁模型正交基函數(shù)(OBF)與測量信號乘積的積分方法。文獻[4]提出以磁偶極子為模型的標量OBF檢測器，該方法基于磁偶極子模型并結合目標與測量系統(tǒng)的相對運動信息對信號進行正交基分解，適用于隱蔽磁性目標的檢測；文獻[5]提出了以線列陣偶極子為模型的主成分檢測器，該方法的OBF是在特定距離條件下仿真計算得到，不適用于對未知距離條件下的目標檢測。第二類是基于信號和噪聲統(tǒng)計特性不同的檢測方法，包括最小熵檢測器(MED)[6]以及高階過零檢測器[7]，這類方式相對于OBF檢測器具有計算量較小的優(yōu)點，但需要對環(huán)境噪聲進行長時間的統(tǒng)計特性分析，而且檢測能力比較有限。在實際的地磁環(huán)境中，噪聲功率譜一般為1/fα結構(f表示信號頻率，α表示功率譜衰減常數(shù))，文獻[8]以自回歸(AR)模型白化濾波器對環(huán)境噪聲以及OBF進行了校正，該方法在1/fα環(huán)境噪聲條件下相比于OBF檢測器取得了更優(yōu)的檢測結果，但是求解AR模型白化濾波器需要對噪聲進行長時間的統(tǒng)計特性分析，也要求噪聲是平穩(wěn)的，但實際的測量難以滿足這一條件。

目前主要的磁性目標遠程探測方法主要是基于磁標量或者標量磁梯度的測量，標量測量所獲取的目標磁場信息較為有限，不能從磁場信息的角度充分解釋目標；矢量磁測量雖然可以提高對目標磁場信息的解釋能力，但地磁場相對于磁性目標產(chǎn)生的磁異常為強磁場，測量平臺輕微的晃動就會導致矢量磁傳感器輸出產(chǎn)生很大的變化。

隨著超導磁力儀技術的發(fā)展，基于矢量磁梯度的磁異常探測方式愈發(fā)受到重視[9-10]。矢量磁梯度相對磁標量探測以及磁矢量探測的優(yōu)勢在于：1)測量結果當?shù)卮艃A角和地磁偏角無關；2)具有更豐富的磁場信息，可以利用幾個測量點的磁梯度張量快速反演目標的位置和磁矩[11-13]；3)具備很強的共模抑制能力，特別是當測量平臺晃動時，測量值可以有效避免地磁場和背景磁場噪聲影響[14]；4)日變效應會導致假的磁異常，需要使用額外的基站進行校正，磁梯度張量不受日變效應影響，自然環(huán)境的磁梯度一般小于0.02 nT/m，而且在一個區(qū)域內(nèi)的值相對穩(wěn)定[15]。

在磁梯度OBF探測算法層面，文獻[4]提出了一種基于5個正交基的標量磁梯度OBF檢測方法，該方法能夠有效消除環(huán)境磁噪聲的影響，可以顯著提升檢測的信噪比。文獻[16]在此基礎提出了一種基于4個正交基的標量磁梯度OBF檢測方法，該方法消耗更小的計算資源，而且具有更好的魯棒性，限制條件是目標與系統(tǒng)之間距離大于磁梯度陣列基線長度的3倍(一般情況下此條件是很容易滿足的)。文獻[17]進一步研究了消除觀測信號趨勢和偏差的方法，并評估了觀測窗長度對算法性能的影響，發(fā)現(xiàn)當觀測窗長為最近點(CPA)距離的1～4倍時，算法的檢測性能相對于最優(yōu)窗長(2～2.5倍CPA距離)的檢測性能不會發(fā)生明顯下降。

本文旨在研究一種基于矢量磁梯度測量的磁性目標遠程探測技術，可以在低信噪比條件下能夠提高提升探測的穩(wěn)定性(降低檢測虛警率)以及準確估計目標的位置參數(shù)和磁矩參數(shù)。

1 OBF檢測器

1.1 傳統(tǒng)的磁標量OBF檢測器

當探測距離大于2.5倍磁性目標長度時，磁性目標可以視為一個磁偶極子[18]，此時距離磁性目標r處的磁場矢量B可以表示為

(1)

式中：μ0為空間磁導率，μ0=4π×10-7H/m；M表示目標磁矩矢量；r表示磁性目標到傳感器的位移矢量r的模值。當B?T時(T表示地磁場矢量)，標量磁場S的測量可視為磁場矢量在地磁場方向上的投影，即

(2)

圖1所示為運動載體沿直線運動時與磁性目標(目標視為偶極子)的相對幾何關系。圖1中，坐標原點O表示目標的位置(偶極子)，X軸表示運動載體沿直線運動的方向，Y軸表示運動載體的左舷方向，Z軸表示豎直向上方向，R0表示傳感器和磁性目標之間的CPA距離，D0表示傳感器當前位置和CPA點之間的距離，θM表示目標磁矩方向與Z軸的夾角，θT表示地磁場方向與Z軸的夾角，φM表示目標磁矩矢量在OXY面的投影與X軸的夾角，φT表示地磁場方向在OXY平面的投影與X軸的夾角。

(1)式代入(2)式，標量磁場可表示為基函數(shù)φ(ω)的加權和形式：

(3)

對基函數(shù)φ(ω)進行施密特正交化，可得

(4)

圖2所示為磁偶極子模型對應的正交基函數(shù)f1(ω)、f2(ω)與f3(ω)。

圖2 正交基函數(shù)

由(4)式可知，正交化系數(shù)aj*可通過OBF與測量信號乘積的積分進行解算：

(5)

對(5)式離散化處理，可得能量系數(shù)

(6)

式中：Δω表示空間采樣長度，Δω=ωi+1-ωi，ωi表示i時刻X軸方向距離與CPA距離的比值，i的取值范圍為[-k,k]。在[ω-k,ωk]觀測窗區(qū)間內(nèi)，信號的能量Eb可以表示為能量系數(shù)的平方和

(7)

1.2 磁矢量OBF檢測器及性能分析

當目標磁場遠小于地磁場時，磁標量的測量可等效于目標磁場矢量在地磁場方向上的投影，同理三分量磁場的測量SX、SY和SZ也可以看作是目標磁場在X軸、Y軸和Z軸方向上的投影。以磁矢量測量SX為例，結合(3)式可知

(8)

式中：bX,j為分量SX對應的基函數(shù)系數(shù)，bX,1=3sinθM·cosφMsinθXcosφX，bX,2=3(cosθMsinθXcosφX+sinθMcosφMcosθX)，bX,3=3cosθMcosθX，bX,4=-sinθM·sinθXcos(φM-φX)-cosθMcosθX，θX表示矢量磁力儀X軸方向與坐標系Z軸的夾角(θX=π/2 rad)，φX表示矢量磁力儀X軸方向與坐標系X軸的夾角(φX=0 rad)。在[ω-k,ωk]的觀測窗區(qū)間內(nèi)，X軸方向的OBF能量檢測器為輸入信號的OBF加權能量：

(9)

式中：αX,j*為分量SX對應的能量系數(shù)。

同理，也可以構造Y軸方向的OBF檢測器EY以及Z軸方向的OBF檢測器EZ，則矢量OBF能量檢測器的輸出可以構造為

Ev=EX+EY+EZ.

(10)

下面以X軸的分量SX為例(無晃動條件下與磁標量測量等效)，推導OBF檢測結果所服從的概率分布并對檢測性能的影響因素進行分析。

假設X軸測量的環(huán)境噪聲服從高斯獨立同分布SX(ωi)～N(0,σ2)，σ為高斯噪聲的標準差，代入(6)式可得

(11)

由于

(12)

故

αX,j*～N(0,σ2Δω).

(13)

進一步有

(14)

下面證明αX,1、αX,2和αX,3之間相互獨立，以αX,1和αX,2為例，αX,1和αX,2的期望分別為

E(αX,1)=0，E(αX,2)=0，

(15)

αX,1和αX,2乘積的期望為

(16)

又因為

(17)

故

E(αX,1αX,2)=0，

(18)

E(αX,1αX,2)-E(αX,1)E(αX,2)=0.

(19)

由高斯分布相互獨立的充要條件可知，αX,1、αX,2和αX,3之間相互獨立，聯(lián)立(14)式，可得

(20)

由卡方分布的性質(zhì)可知，X軸測量噪聲經(jīng)過OBF加權后其能量的期望EX,n和方差DX，n分別為

(21)

(22)

進一步，綜合(9)式和(21)式可知，噪聲OBF加權能量與信號OBF加權能量的比值可表示為

(23)

式中：EX為X軸測量的信號能量；η越小，表示信號與噪聲的區(qū)分度越高。

聯(lián)立(9)式、(21)式可知，信號OBF檢測能量僅與信號本身的能量相關，而高斯噪聲的OBF檢測能量卻與空間采樣長度有關，因此空間采樣長度Δω越小則OBF檢測器對噪聲和信號的區(qū)分度越高。另外由(22)式可知，空間采樣長度越小則同分布噪聲經(jīng)過OBF檢測器后概率分布的方差越小。因此不難得出結論：1)在同樣測量環(huán)境條件下，空間采樣長度越小則OBF檢測器對環(huán)境噪聲和目標信號的區(qū)分越明顯；2)空間采樣長度越小則檢測器的穩(wěn)定性越好。

假設三軸測量的噪聲服從獨立同分布且三軸測量的信號能量相同，對于矢量檢測器而言，

(24)

(25)

式中：En和Dn分別為矢量檢測器噪聲經(jīng)OBF加權后其能量的期望和方差。則矢量檢測器的噪聲OBF加權能量En和信號OBF加權能量Ev的比值為

(26)

由(26)式可以看出，在同等空間采樣長度條件下，矢量測量相對于標量檢測并不能改變區(qū)分度，但聯(lián)立(22)式和(25)式可得

3D

En=DX,n/EX,n.

(27)

1.3 磁梯度OBF檢測器

鑒于矢量磁梯度測量兼具磁標量檢測的抗晃動性以及磁矢量檢測信息豐富的優(yōu)勢，據(jù)此在傳統(tǒng)標量磁梯度OBF檢測器的基礎之上提出了一種矢量磁梯度OBF檢測器，該算法可在低信噪比以及平臺晃動條件下可靠檢測磁性目標，并能夠反演得到目標的矢量磁梯度信號。文獻[16]提出了一種基于4個OBF的標量磁場梯度的OBF檢測器，標量磁梯度測量等效于磁場矢量在地磁場方向上投影的差分G，即

(28)

式中：Br+ΔZ為距離磁性目標r+ΔZ處的磁場矢量；Br為距離磁性目標r處的磁場矢量。

磁梯度傳感器由兩個相距ΔZ的磁傳感器構成，圖3所示為磁梯度傳感器沿直線運動時與磁性目標(目標視為偶極子)的相對幾何關系，其中X軸為運動載體沿直線運動的方向，Y軸為運動載體的左舷方向，Z軸為豎直向上方向，R0為傳感器和磁性目標之間的CPA距離。

圖3 磁梯度傳感器與目標的相對運動關系

標量磁梯度的正交基形式為

(29)

圖4 磁梯度正交基函數(shù)

(30)

標量磁梯度檢測器的輸出Es可表示為能量系數(shù)的平方和，

(31)

記矢量磁梯度的三分量分別為GZ,X、GZ,Y和GZ,Z，結合矢量磁場OBF檢測器的推導過程可知，矢量磁梯度OBF檢測器的輸出可以構造為矢量磁梯度三分量對應能量系數(shù)的平方和形式

(32)

由(27)式可知，矢量磁梯度OBF檢測器相比于標量磁梯度OBF檢測器改善了檢測的穩(wěn)定性，矢量OBF檢測器反演的磁梯度信號可以表示為

(33)

2 磁性目標參數(shù)估計

反演的磁梯度信號雖然相比于原始的測量信號在很大程度上提高了信噪比，但受檢測器窗長以及噪聲非嚴格高斯等因素的影響，反演信號相較于真實信號產(chǎn)生了一定的畸變。注意到由目標產(chǎn)生的信號是可通過偶極子模型進行擬合的，而信號畸變的部分則不可以，因此可以通過偶極子模型對反演信號進行擬合從而實現(xiàn)對目標磁矩參數(shù)和位置參數(shù)的估計。

以磁性目標中心為原點建立坐標系，X為運動載體沿直線運動的方向，Y為運動載體的左舷方向，Z為豎直向上方向，磁性目標等效于單偶極子模型，設磁傳感器l的坐標為(xl，yl，zl)，則i時刻磁傳感器l的測量為

(34)

式中：MX、MY和MZ分別表示目標在X軸方向、Y軸方向和Z軸方向的磁矩；磁偶極子系數(shù)的計算系數(shù)分別為

bX,i,l=aY,i,l，cX,i,l=aZ,i,l，cY,i,l=bZ,i,l，

Fi·M=ΔBi=Bi,1-Bi,2，

(35)

式中：

進一步，聯(lián)立N個測量點的磁梯度信號接收模型，可得

F·M=ΔB，

(36)

式中：F=[F1;F2; …;FN]；ΔB=[B1,1-B1,2;B2,1-B2,2; …;BN,1-BN,2].

顯然，(36)式中的方程個數(shù)為3N，G的列數(shù)為3.磁性目標參數(shù)估計問題可表示為

(37)

式中：U為估計向量。

由于載體做直線運動且各測量點在X軸方向的相對坐標為已知參數(shù)，故U=[YCPA,ZCPA,MX,MY,MZ]。當N>1時測量模型為超定方程組，利用最小二乘法求解(36)式可得

M=F+ΔB，

(38)

式中：F+為F的M-P廣義逆矩陣，由于F是列滿秩矩陣，F(xiàn)+存在且唯一，

F+=(FTF)-1FT.

(39)

(39)式代入(37)式，磁性目標參數(shù)估計問題可轉換為

(40)

式中：I為單位矩陣；U=[YCPA,ZCPA].(40)式是一個典型的多變量優(yōu)化問題，相比于(37)式表述的優(yōu)化模型，其估計的向量維數(shù)由5維降到了2維，極大地降低了算法的運算量。

粒子群優(yōu)化[19](PSO)算法是一種群體智能優(yōu)化算法，算法中的每個粒子都代表一個問題的潛在解，粒子速度決定了粒子移動的方向和距離，速度隨自身和其他粒子的移動經(jīng)驗進行動態(tài)調(diào)整，從而實現(xiàn)個體在可解空間內(nèi)的動態(tài)尋優(yōu)，故采用PSO算法能夠解算(40)式表述的多變量優(yōu)化問題。估計向量U代入(38)式可以得到目標的磁矩參數(shù)，進一步將位置參數(shù)和磁矩參數(shù)代入偶極子模型，可得到磁性目標的擬合信號，而且磁擬合信號的能量就可以作為區(qū)分目標信號和噪聲的檢測量。

3 仿真實驗

設磁性目標的中心為空間直角坐標系的原點，X軸與平臺的軸線重合并指向平臺的艏部，Y軸指向左舷，Z軸豎直向上。仿真條件設置為：初始時刻目標的位置為(-200 m，-50 m，5 m)；目標的磁矩為(-3×103A·m2,1×103A·m2,5×103A·m2)，磁梯度張量系統(tǒng)測量基線的尺寸為0.5 m；空間采樣長度為0.1 m；觀測窗區(qū)間為[-2R0,2R0]。下面分5個層面對本文算法的性能進行仿真實驗驗證。

3.1 與傳統(tǒng)檢測方法性能的對比

圖5(a)和圖5(b)所示分別為信噪比為6 dB和-6 dB時，磁標量OBF檢測器、傳統(tǒng)的特征值檢測方法和MED檢測方法的檢測性能對比，此處的信噪比定義為

(41)

式中：Amax表示信號的峰值。OBF檢測器和特征值檢測器的凸出峰值越突出，表示檢測的區(qū)分度越大；MED檢測器向下的峰值越明顯，表示此時的信息熵越小，即檢測的區(qū)分度越大。在圖5(a)和圖5(b)中，可以看出在高信噪比條件下，3種檢測算法都能準確檢測目標，但OBF檢測性能更加穩(wěn)定而且具有更高的檢測信噪比；在低信噪比條件下，特征值檢測方法與MED檢測方法皆已失效，此時OBF檢測器可以準確檢測目標，而且仍然具有較高的檢測信噪比。

圖5 標量OBF檢測器與傳統(tǒng)檢測方法性能的對比

3.2 空間采樣長度對OBF檢測器的影響

圖6(a)和圖6(b)所示分別為信噪比為-6 dB和-12 dB時，空間采樣長度為0.1 m、0.2 m以及0.5 m時所對應的磁標量OBF檢測器性能。從圖6中可以看出，在同等信噪比條件下，空間采樣長度越小，則檢測的信噪比越高而且檢測的波動性越小，此結果與1.2節(jié)中“空間采樣長度越小，則信號與噪聲區(qū)分越明顯以及檢測穩(wěn)定性越好”的理論證明是一致的。

圖6 空間采樣長度對標量OBF檢測器性能的影響

3.3 矢量與標量OBF檢測器對比

圖7(a)和圖7(b)所示為空間采樣長度為0.1 m、信噪比分別為-6 dB和-12 dB時的標量OBF和矢量OBF檢測器性能比較，從中可以看出在沒有目標時矢量OBF的檢測曲線的波動性較小，具有更穩(wěn)定的檢測性能，此結果與1.2節(jié)中“矢量OBF檢測器相對于標量OBF檢測器的優(yōu)勢是改善了標量檢測的穩(wěn)定性”的理論證明是一致的。

圖7 標量和矢量檢測器性能對比(空間采樣長度0.1 m)

然而受地磁場的影響，當矢量磁傳感器發(fā)生輕微晃動時，其輸出就會產(chǎn)生較大的變化，晃動幅值為0°、0.01°和0.1°時的矢量OBF檢測器性能如圖8所示，輕微的晃動都會導致檢測器性能發(fā)生惡化，當晃動幅值達到0.1°時，矢量OBF檢測算法已經(jīng)失效。

圖8 矢量磁力儀晃動對矢量OBF檢測器性能的影響

3.4 磁梯度OBF檢測器的抗晃動性

圖9(a)、圖9(b)、圖9(c)、圖9(d)分別為信噪比為-6 dB和-12 dB時，矢量磁梯度OBF檢測器與標量磁梯度OBF檢測器的性能比較，從中可以看出在同等信噪比和空間采樣長度條件下，當沒有目標時，矢量梯度檢測相對于標量梯度檢測的波動要小得多，即矢量梯度檢測具有更低的虛警率，此結果符合1.2節(jié)中“矢量OBF檢測器相對于標量OBF檢測器的優(yōu)勢是改善了標量檢測的穩(wěn)定性”的結論。

圖9 標量和矢量磁梯度OBF檢測器性能對比

圖10所示為-6 dB信噪比時不同晃動角度對應的磁梯度矢量OBF檢測曲線，從中可以看出在10°晃動角以下，算法的性能沒有發(fā)生明顯的變化，仍然保持較高的檢測信噪比。通過與磁標量OBF檢測器、磁矢量OBF檢測器以及磁梯度標量檢測器進行對比，可以發(fā)現(xiàn)矢量磁梯度OBF檢測器既可以探測到更豐富的目標磁信息，同樣也具有較好的抗晃動性能。

3.5 目標磁矩和位置參數(shù)估計

在信噪比為-12 dB、晃動幅度為1°時，PSO算法優(yōu)化前后的檢測性能對比如圖11所示。由圖11可以看出：PSO算法優(yōu)化后的檢測具有更高的信噪比；PSO優(yōu)化前的峰值持續(xù)約為50 m，而PSO優(yōu)化后其檢測峰值更為尖銳，與真實CPA點在X軸方向的距離僅為3 m，意味著PSO優(yōu)化后的檢測器能夠給出更為準確的目標范圍。

圖11 PSO優(yōu)化前后檢測性能對比(SNR=-12 dB，晃動幅度1°)

表1所示為基于矢量磁梯度OBF檢測器的反演信號，利用PSO算法估計得到的目標位置參數(shù)與磁矩參數(shù)，可以看出該算法在-12 dB信噪比條件下，對目標的位置參數(shù)以及磁矩參數(shù)的估計誤差皆小于20%.

表1 位置和磁矩參數(shù)估計結果

綜上所述，磁梯度OBF檢測方法可以克服平臺晃動的影響以及提供豐富的目標磁場信息，與PSO優(yōu)化算法相結合，不但能夠提升進一步檢測的信噪比，而且可以在低信噪比條件下準確估計目標的位置參數(shù)和磁矩參數(shù)，可應用于遠程探測磁性目標與確定目標的搜索范圍。

4 實測試驗

圖12所示為午夜時分在某消磁實驗室進行的探測試驗，磁梯度測量系統(tǒng)為4個傳感器呈十字型布置的Mag-03磁通門傳感器，采集設備為HIOKI高精度24位AD采集系統(tǒng)，受試驗條件限制，探測的目標為一個運動的制式滅火器(幾何尺寸與一般的未爆彈相近)，磁梯度測量的噪聲標準差約為0.2 nT/m.

圖12 高精度磁梯度測量

圖13所示為HIOKI高精度采集系統(tǒng)采集的磁性目標磁梯度信號，其中GY,X、GY,Y和GY,Z分別表示矢量磁信號在Y軸方向上的梯度，磁梯度系統(tǒng)與磁力儀目標的CPA距離為1.2 m。圖13中可以明顯觀測到目標的通過特性曲線，不適合檢驗算法在低信噪比條件下的檢測性能。

圖13 HIOKI高精度采集系統(tǒng)測量的磁梯度信號

為進一步檢驗算法的性能，如圖14所示，中午時分在某院的小樹林進行磁性目標磁梯度探測試驗，AD采集設備為16位NI USB-6216采集卡，共進行了6航次測量試驗，磁梯度測量的噪聲標準差約為65 nT/m.

如圖15(a)、圖15(b)、圖15(c)所示，分別是采樣率為5 Hz、50 Hz以及500 Hz時，6個航次的磁梯度OBF檢測結果，從中可以看出采樣頻率越高則檢測器的檢測能力越強，此結果驗證了1.2節(jié)中“空間采樣長度越小，則信號與噪聲區(qū)分越明顯以及檢測穩(wěn)定性越好”的理論證明。

表2所示為利用PSO磁性目標參數(shù)估計算法對目標參數(shù)的估計結果，其中位置參數(shù)的相對估計誤差小于30%，受感應磁場的影響，橫向目標的磁矩模值在2 A·m2左右，垂向目標的磁矩在0.3 A·m2左右。

表2 目標參數(shù)估計結果

這里通過磁梯度傳播衰減理論來推算矢量磁梯度OBF檢測器對水雷目標的探測距離(目標磁矩在102A·m2量級)，對比兩次試驗的磁梯度測量噪聲可知，第1次磁梯度測量噪聲為第2次測量噪聲的1/320，其探測距離同等條件下會增加至之前的4.2倍。由圖15可知，當目標磁矩在0.3 A·m2且測量噪聲標準差在65 nT/m左右時探測的距離大于2 m，因此當目標磁矩大于100 A·m2且測量噪聲標準差在0.2 nT/m左右時，磁梯度OBF檢測器的探測距離大于35 m.

圖15 不同采樣率下矢量磁梯度OBF檢測

5 結論

本文針對標量OBF檢測器磁場解釋性弱的問題以及磁矢量OBF檢測器抗晃動性能差的缺點，提出了一種矢量磁梯度的OBF檢測器，并分析指出空間采樣長度是影響OBF檢測器性能的關鍵因素且矢量OBF檢測器相較于標量OBF檢測器可以降低檢測的虛警概率。得出主要結論如下：

1)OBF檢測器相對于傳統(tǒng)的檢測算法具有更優(yōu)的檢測性能。

2)相對于傳統(tǒng)的OBF檢測器，矢量磁梯度OBF檢測器的優(yōu)勢在于兼具抗晃動性和磁場解釋性。

3)矢量磁梯度OBF檢測器與PSO目標參數(shù)估計算法相結合，可以在低信噪比條件下比較準確地估計磁性目標的位置參數(shù)以及磁矩參數(shù)。

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