四旋翼無人機前飛模態特性

葉建川，王江，梁熠，宋韜，吳則良，徐超，3

(1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.裝備發展部，北京 100035；3.北京特種機電研究所，北京 100089)

0 引言

四旋翼無人機已經迅速成為民用和軍用領域中最受歡迎和最為常見的無人飛行器之一[1]。四旋翼無人機具備垂直起降、懸停和巡航飛行的能力，常常用于對戰場環境目標跟蹤、監視、物流運輸、精確農業、電力巡檢、航空攝影以及無人機競速比賽等場景[2]。隨著應用需求的多樣化，在旋翼無人機設計時需要考慮懸停與前飛多個飛行模態。四旋翼飛行器飛行性能的好壞在很大程度由控制器算法的效率和魯棒性決定[3]，而控制器設計的好壞與對模型的掌握程度密切相關[4]。目前有大量的文獻[1，5-9]研究了各種控制算法在多旋翼自動駕駛儀中的應用，這些控制器設計時采用了簡化的多旋翼模型；模型均假設旋翼槳葉的模型參數只與轉速有關。在前飛模態下，四旋翼無人機的模型與懸停時發生了較大的變化，這是因為在前飛模態下，槳葉模型發生了較大的變化[10-14]，同時機身受到的氣動力也不能忽略不計；這導致了旋翼無人機在前飛時存在著嚴重的非線性和耦合。若采用懸停模型來描述前飛模態，會造成模型不確定性變大，對控制器設計帶來不便[15]。

文獻[16]通過VICON系統觀察無人機的運動軌跡，結果表明隨著速度的增加無人機飛行軌跡與基于懸停模型設計的期望軌跡偏差越來越大。文獻[17-18]通過計算流體力學(CFD)分析了四旋翼無人機氣動力，表明在前飛模態下的模型與懸停模型有著較大的差別。文獻[19]采用尾跡法給出了在前飛模態下四旋翼無人機的模型，并指出在前飛模態下狀態速度和姿態角變化對槳葉的拉力和阻力系數均有顯著影響，但缺少對槳葉俯仰力矩和滾轉力矩的分析。Remple等[20]通過風洞試驗給出了多旋翼無人機前飛下的非線性模型，而該模型中缺少關鍵的槳葉俯仰力矩，導致模型偏差較大，難以用于控制器設計。

目前國內外關于四旋翼無人機在前飛模態的模型尚未有系統的研究。本文通過“機理建模+風洞試驗”結合方法得到了四旋翼無人機在前飛模型下的動力學模型，并對前飛模態特性進行分析。無人機在前飛過程中，旋翼槳葉與懸停模態相比較，此時不僅產生一個垂直于槳葉平面的拉力和反扭矩，同時也產生阻力、俯仰力矩和滾轉力矩[12，21]。本文基于葉素理論(BET)推導出旋翼槳葉在前飛模態時的模型結構，并通過風洞試驗獲得槳葉和機身在前飛模態下氣動力，通過最小二乘法擬合得到機身和槳葉模型的模型參數，二者相結合即可得出無人機在前飛模態的氣動力參數。本文通過機理分析闡述了無人機在飛行過程中阻尼力矩產生的機理。在前飛點配平并線性化，給出四旋翼無人機在前飛模態下的狀態空間矩陣，詳細解釋每個參數的物理意義，并對存在的耦合項進行分析。最后通過飛行試驗，對模型進行驗證，得出開環模型與實際飛行數據之間變化趨勢一致，誤差在合理范圍內，驗證了模型的準確性。

1 無人機動力學模型

1.1 無人機受力分析

本文研究對象為“X”布局的四旋翼無人機，無人機受力如圖1(a)所示，無人機主要受力部件為4個旋翼槳葉和一個機身，其中包括4個槳葉產生的拉力、阻力、側向力、扭矩、俯仰力矩和側向力矩以及機身受到的氣動力(3個方向的力和力矩)。此外無人機在前飛時，存在阻尼力矩和槳葉旋轉產生的陀螺力矩。圖1(b)中，l和d分別為前后電機距離和左右電機距離的一半。

圖1 無人機布局及受力分析

1.2 無人機剛體動力學模型

將無人機視為剛體，則無人機的運動學方程組[22-23]由3個力平衡方程和3個力矩平衡方程組成的飛行器6自由度歐拉方程組，以及3個姿態角和角速率運動學方程組成：

(1)

無人機動力學模型包含機體動力學和電機動力學模型，其中機體動力學模型包括機身和槳葉的動力學模型，組成如圖2所示；對于多旋翼無人機，控制指令分為俯仰通道、滾轉通道、偏航通道以及高度通道4個指令(俯仰控制指令δlon、滾轉控制指令δlat、偏航控制指令δped、垂向控制指令δcol)。

圖2 無人機動力學模型

本文將無人機動力學模型分成機體動力學和電機動力學，其中機體動力學部分由槳葉和機身組成，電機動力學由電調和電機組成(1階環節)，本文對這三部分分別進行討論。

1.3 槳葉氣動力模型

通常在懸停模態下的無人機槳葉模型可認為只產生拉力和扭矩，而前飛模態下旋翼槳葉不僅產生拉力和扭矩，還產生俯仰力矩、滾轉力矩和阻力[11-12，24]。前飛模態下槳葉所受到的氣動力和氣動力矩如圖3(a)所示。圖3(a)中：Oxyz為槳葉坐標系；Tp為垂直槳葉平面的拉力；Hp為平行于槳平面的力；Qp為槳葉的扭矩；αp為來流方向與槳平面的夾角；Fyp為側向力；Mxp為槳葉旋轉產生的滾轉力矩；Myp為槳葉旋轉產生的俯仰力矩；v∞為來流速度；vz為來流垂直于槳盤的速度分量；vh為來流平行于槳盤的速度分量。

圖3 槳葉受力及速度分解

1.3.1 葉素模型

本文采用葉素法對槳葉進行建模，在前飛模態下，槳葉和截面葉素的速度合成如圖3(b)和圖3(c)所示。圖3(b)和圖3(c)中：φp為槳葉方位角；dr為葉素所在的截面微元寬度；dT為葉素的軸向升力；dL為葉素升力；dM為葉素俯仰力矩；dH為葉素在槳平面內的阻力；dD為葉素的阻力；?為葉素的速度和成角；Θ為葉素的安裝角；αs為葉素的攻角；vb為葉素的合速度；ω為螺旋槳轉速。將來流速度v∞分解成平行于沿槳盤平面的vh和垂直于槳盤平面的vz.定義垂直前進比μ和水平前進比ν兩個無量綱參數：

(2)

(3)

式中：R為螺旋槳半徑。

推力系數CT、阻力系數CH、扭矩系數CQ、俯仰力矩系數my和滾轉力矩系數mx定義如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：ρ為空氣密度。

采用葉素動量法進行求解，對葉素速度分量進行分析，可得葉素的速度夾角為

(9)

葉素受到的升力、阻力和俯仰力矩分別為

(10)

(11)

(12)

式中：CL為葉素的升力系數；CD為葉素的阻力系數；CM為葉素的俯仰力矩系數；c為葉素的弦長。

1.3.2 葉素升力

截面葉素受到的力和力矩投影到槳葉坐標中，得到葉素產生的軸向升力為

dT=dLcos ?-dDsin ?≈

(13)

vx=ωr+vhcosφp代入(13)式，得

(14)

由于槳葉在旋轉過程中可認為vh?ωr，則有

(15)

葉素產生的升力可寫成如下形式：

(16)

1.3.3 葉素阻力

同理，葉素阻力可寫成如下形式：

(17)

vx=ωr+vhcosφp代入(17)式中，可得

a(Θ-α0)((ωr+vhcosφp)vz))dr.

(18)

1.3.4 葉素俯仰力矩

葉素產生的俯仰力矩可寫成如下表達式：

(19)

1.3.5 旋翼槳葉模型

1.3.5.1 拉力

槳葉旋轉一圈產生的平均拉力為

(20)

式中：N為槳葉數量。

(13)式中葉素產生的升力代入(20)式中，可得

(21)

定積分的上下界為：r∈(0.2R，R)和φp∈(0 rad,2π rad)，可求得的拉力為

(22)

整理(22)式，則拉力Tp可寫成如下形式：

(23)

式中：ζ1、ζ2、ζ3、ζ4、ζ5為拉力模型中的參數。

根據拉力系數定義和前進比的定義，可得拉力系數為

CT=t1μ3+t2μ2+t3μ+t4v2+t5，

(24)

式中：t1、t2、t3、t4、t5分別為拉力系數模型中的參數，其表達式如表1所示。

表1 ti表達式及數值

1.3.5.2 阻力

槳葉旋轉一圈的阻力寫成：

(25)

(18)式的dH代入(25)式中，可得

2.51a(Θ-α0)Rvhvz).

(26)

阻力可寫成如下形式：

Hp=χ1vhω+χ2vhvz，

(27)

式中：χ1、χ2為阻力模型的參數。

阻力系數為

CH=h1ν+h2μν，

(28)

式中：h1、h2為阻力模型系數的參數，其表達式如表2所示。

表2 表達式

1.3.5.3 側向力

槳葉旋轉一圈的側向力寫為

(29)

積分結果為0，表明在前飛過程中槳葉產生的側向力為0 N.

1.3.5.4 俯仰力矩

槳葉旋轉一圈的俯仰力矩寫為

(30)

通過將(14)式的dT和(19)式的dM代入(30)式中，進行積分求解，可得俯仰力矩為

(31)

則俯仰力矩系數可寫為

my=my1ν+my2μν，

(32)

式中：mx1、mx2為滾轉力矩模型的參數，其表達式如表3所示。

表3 myi表達式

(30)式積分中，dT部分積分結果為0，可知滾轉力矩由槳葉在旋轉時，前行槳葉和后行槳葉的葉素產生的俯仰力矩差積分所得。

1.3.5.5 滾轉力矩

槳葉旋轉一圈的滾轉力矩寫成：

(33)

通過將(14)式的dT和(19)式的dM代入(33)式中，進行積分求解，可得滾轉力矩為

(34)

同理，滾轉力矩系數可寫為

mx=mx1ν+mx2μν，

(35)

式中：mx1、mx2為滾轉力矩模型的參數，其表達式如表4所示。

表4 表達式

(33)式積分中，dM部分積分結果為0，可知滾轉力矩由槳葉在旋轉時，前行槳葉和后行槳葉產生的升力差產生的滾轉力矩。

1.3.5.6 扭矩

槳葉旋轉一圈產生的平均扭矩為

(36)

(18)式dH代入(36)式中，積分可得

(37)

則扭矩可寫成如下形式：

(38)

式中：ξ1～ξ4均為與槳葉的幾何參數相關為扭矩模型中的參數。扭矩系數可寫為

CQ=q1μ2+q2μ+q3ν2+q4，

(39)

式中：q1、q2、q3、q4為扭矩系數模型的參數，其表達式如表5所示。

表5 qi表達式

通過(39)式可知，旋翼槳葉產生的扭矩主要由垂直前進比影響。通過上述槳葉參數模型的建立，表明旋翼槳葉的氣動力系數和力矩系數只與μ和ν相關。其中模型參數(ti、qi、hi、mxi和myi)只與槳葉的幾何外形(截面翼型，扭轉角和弦長等)有關。

1.3.6 風洞試驗驗證

在風洞中進行單個旋翼槳葉的測試，模擬在實際飛行時旋翼槳葉的工作情況。通過高精度的6軸力和ME-K6D40型力矩傳感器測量旋翼槳葉受到的力和力矩；通過測試電機相間交變電流的頻率以及電機磁極對數來計算電機轉速；通過電流電壓傳感器來測試電調的輸入電壓和電流。根據記錄的參數分析旋翼槳葉在不同速度和來流角度下的性能以及對2.3節中的模型進行驗證。風洞系統組成如圖4所示，風洞中測試條件如表6所示。

表6 槳葉風洞試驗條件

圖4 槳葉風洞試驗系統組成[10]

通過風洞試驗得出的數據，對得出的槳葉氣動力模型結構中的參數采用最小二乘法進行擬合，擬合結果如圖5～圖9所示。

圖9 滾轉力矩系數擬合結果

通過風洞試驗得出的數據對1.3.2節給出的槳葉模型進行線性回歸，得出拉力系數CT的模型參數如表1所示。CT擬合結果的擬合優度R2統計為0.991，均方根誤差(RMSE)為1.6×10-3，表明該模型完全能描述槳葉實際模型，其中t5為懸停模態時的槳葉推力系數。從圖5中可以看出，水平來流有助于提升的槳葉產生的拉力，而垂向來流降低旋翼槳葉的拉力。

圖5 拉力系數擬合結果

阻力系數擬合結果如圖7所示。擬合結果的R2統計為0.834，RMSE為0.86×10-3，模型能夠較好地反映阻力與μ和ν的關系。通過(27)式可以看出，阻力受水平前進比ν的影響更為顯著，水平來流越大，阻力越大。阻力系數及擬合參數的置信區間如表2所示。

圖7 阻力系數擬合結果

扭矩系數擬合結果如圖6所示。擬合結果的R2統計為0.84，RMSE為0.18×10-3.從擬合結果分析可知：CQ主要受垂直前進比μ影響；水平前進比ν對槳葉扭矩系數影響不大。扭矩系數擬合結果如表5所示。

圖6 扭矩系數擬合結果

俯仰力矩系數擬合結果如圖8所示。擬合結果的R2統計為0.917，RMSE為0.77×10-3，擬合效果良好。俯仰力矩系數擬合結果如表3所示。

圖8 俯仰力矩系數擬合結果

滾轉力矩系數擬合結果如圖9所示。擬合結果的R2統計為0.866，RMSE為1.3×10-3，較好地反映了滾轉力矩系數mx與垂直前進比μ和水平前進比ν的關系。滾轉力矩系數擬合結果如表4所示。

1.4 槳葉阻尼力矩

四旋翼無人機繞質心運動時，槳葉旋轉中心存在一個由角速率引起的線速度，從而改變槳葉垂直前進比(俯仰和滾轉運動)和水平前進比(偏航運動)。

槳葉的前進比可改寫為

(40)

(41)

式中：xi、yi、zi為對應的槳葉旋轉中心在機體坐標系中的坐標。以旋翼產生的俯仰阻尼力矩為例，當無人機以角度率q做抬頭運動時，前槳的垂直前進比增加，根據(24)式，可得前槳的產生拉力減小，同理后槳垂直比減小，拉力增加，從而產生與運動方向相反的低頭力矩，前槳拉力減小部分和后槳拉力增加部分產生的力矩即為無人機俯仰阻尼力矩。結合槳葉模型和改進了后的前進比，分別對角速率求偏導即可得出無人機俯仰滾轉和偏航通道的阻尼力矩系數如下：

(42)

(43)

Lr=(ω2+ω4-ω1-ω3)(my1d-mx1l)，

(44)

式中：ωi(i=1,2,3,4)為對應編號槳葉的轉速。

1.5 機身氣動力模型

機身在前飛過程中，受到了阻力、升力、側向力以及3個坐標軸方向力矩的作用，如圖10所示。在縱向平面內，四旋翼無人機呈幾何左右對稱，則無人機機身受到的側向力、滾轉力矩以及偏航力矩可忽略不計。其中機身受到的阻力與飛行速度方向一致，而升力方向垂直于速度方向，并指向地面，導致無人機在前飛過程中需要產生更多的力來維持無人機飛行狀態。圖10中，Mb為機身受到的俯仰力矩，Db為機身受到的阻力，Lb為機身受到的升力，Obx、Oby、Obz分別為機體系坐標系的3個方向。

圖10 機身受力分析

機身的氣動力計算可寫為

(45)

(46)

(47)

式中：v∞為來流速度；S為機身最大截面積；cl為機身升力系數；cd為機身阻力系數；cm為機身俯仰力矩系數。

在風洞中設置不同的來流速度和機身的安裝角對無人機機身模型進行吹風試驗，如圖11所示。

圖11 機身風洞試驗

試驗數據采用德國Me-?systeme GmbH公司生產的ME-K6D40型6軸高精度力/力矩傳感器進行采集。通過試驗記錄的數據對機身氣動力模型進行擬合，得出cl、cd和cm隨機身攻角變化的曲線如圖12所示。進而可得出機身的氣動力模型為

圖12 機身氣動力系數

cl=0.049 56α2-0.020 55α-0.003 925，

(48)

cd=0.080 66α2-6.757×10-5α+0.131 2，

(49)

cm=0.003 245α2+0.017 07α+0.004 454，

(50)

1.6 電機動力學

1.6.1 電機穩態模型

通常對于一架無人機的無刷直流電機控制，給定的指令是一個油門值(δthr∈(0,1)).

無刷電機等效電路圖如圖13所示[25]，建立電機油門與輸出轉速之間的關系，轉速、力矩與油門之間的關系。圖13中，La為電機等效線電感；ra為繞組線電阻；Ke為等效反電動勢系數；Ud為直線母線電壓；ie為等效電流。

圖13 無刷電機等效電路圖

進而可得出電壓與轉速、扭矩之間的關系為

(51)

Ud=δthrUbat，

(52)

式中：J為電機外殼和槳葉的轉動慣量；KT為電機的電磁扭矩系數；Bv為電機的黏滯系數；Ubat為電池電壓；δthr為油門值，取值范圍為0～1，不考慮過渡過程，則油門值δthr與轉速ω和負載Q的關系可表示為

(53)

無人機在飛行過程中，電機負載即為槳葉產生的反扭矩。根據(39)式和(50)式，轉速可寫為

(54)

式中：ζ=(raBv+KeKT+q2wra).

通過測試將上述參數的真實值代入(54)式中即可得出槳葉轉速與狀態量和輸入量之間的關系。通過(54)式，可得無人機轉速不僅與油門相關，還與垂直于槳葉的速度和平行于槳葉旋轉平面的速度相關。在不同模態下，電機輸入油門與拉力的變化曲線如圖14所示。

圖14 不同來流速度和來流角下槳葉拉力與油門變化關系

從圖14中可以看出：在來流角度為0°時，拉力隨著來流速度的增加而增大；在來流角度為15°時，拉力隨著速度的增加而減小。表明旋翼槳葉拉力模型在懸停和前飛模態兩種模態下相差較大。

1.6.2 電機電調模型

電機電調動力學模型可簡化為一個1階模型，通過在臺架上進行掃頻辨識試驗，記錄電機輸入油門和旋翼槳葉的輸出轉速，如圖15所示，通過辨識可得到油門輸入與轉速之間的關系為

圖15 電機辨識掃頻辨識數據

(55)

式中：s為拉普拉斯算子；0.001 3 s為電機電調的等效純延時時間。

(2)式～(8)式、(21)式、(27)式、(29)式、(31)式、(34)式、(37)式、(40)式、(41)式～(44)式、(50)式代入(1)式中，即可得到無人機的非線性動力學模型。

2 線性化

2.1 配平點配平

無人機在穩定前飛時，無人機姿態和高度保持不變；通過建立的非線性模型可求出無人機在前飛時的平衡油門和狀態變量平衡點。無人機前飛時的垂向通道和俯仰通道隨前飛速度的變化如圖16所示。

圖16 狀態量與控制量隨前飛速度變化曲線

從圖16中可以看出：隨著前飛速度的增加，俯仰角增大；在低速下，垂向通道指令基本保持不變，無人機前飛指令主要受俯仰控制指令影響；隨著速度的增加，俯仰控制指令基本不變，前飛速度指令主要由垂向指令控制。無人機以15 m/s前飛時，無人機平衡點的狀態量和控制量分別為

x0=[u0,v0,w0,p0,q0,r0,φ0,θ0,ψ0]T=

[14.61 m/s, 0 m/s,-3.39 m/s, 0 rad/s,

0 rad/s, 0 rad/s, 0°,-13.068°, 0°]T，

(56)

u0=[δlat0,δlon0,δped0,δcol0]T=

[0,-0.091 6, 0, 0.347 6]T，

(57)

式中：x0為配平時的狀態量矩陣，下標0表示狀態和控制變量在配平點的值；u0為配平時的控制量矩陣；u0為配平點時機體系下x軸方向的速度；v0為配平點時機體系下y軸方向的速度；w0為配平點時機體系下z軸方向的速度；p0為配平時的滾轉角速度；q0為配平時的俯仰角速度；r0為配平時的偏航角速度；φ0為配平時的滾轉角；θ0為配平時的俯仰角；ψ0為配平時的偏航角；δlat0為配平時的滾轉指令；δlon0為配平時的俯仰指令；δped0為配平時的偏航指令；δcol0為配平時的垂向控制指令。

2.2 狀態空間方程

圖17 等效模型

選擇無人機的狀態量為

x=[u,v,w,p,q,r,φ,θ,ψ]T，

(58)

無人機的狀態空間方程可表示為

(59)

y=Cx+Du.

(60)

控制量輸入為

u=[δlat,δlon,δped,δcol]T.

(61)

2.1節得到的非線性模型在15 m/s平衡點處線性化，得到前飛點中A、B矩陣中的參數如表7所示。

表7 模型參數物理意義

根據表7中參數的物理意義和狀態量的選擇，A、B矩陣分別可表示為

(62)

(63)

2.2.1 俯仰與垂向的耦合

2.2.2 滾轉與偏航的耦合

從表7可以看出，偏航輸入指令會造成滾轉耦合，這是因為無人機在前飛時做偏航運動，對角的旋翼槳葉轉速增加，另外一個對角的槳葉轉速降低，此時轉速增加的槳葉產生的滾轉力矩增大且方向一致，轉速降低的槳葉產生的滾轉力矩降低且方向一致，因此產生滾轉力矩，從Lped和Nped數值上看，偏航通道對滾轉的耦合影響非常大。而在滾轉運動時，滾轉輸入指令對偏航通道的耦合較小。這是由于無人機在做滾轉運動時，一側的電機轉速同時增加(減少)，轉速增加的一對槳葉由于旋轉方向相反，產生的偏航力矩基本上可相互抵消，因此偏航運動對滾轉輸入指令響應很小(Llat?Nlat)。滾轉指令對偏航的耦合較小。

3 模型時域驗證

3.1 模型合理性標準定義

采用開源飛控PX4在姿態模式下進行飛行試驗。4個通道的控制器分別對4個俯仰、滾轉、偏航和垂向4個通道進行控制，其中俯仰、滾轉和偏航控制器結構采用串級PID的結構，如圖18所示，其中A、B、C、D、E、F、G、H分別描述在控制器結構不同位置處的信號。

圖18 控制器結構

記錄無人機開環動力學的輸入信號和輸出信號，即圖18中E、H和G處的信號。

對于數學模型，此時輸入信號為

u=urecord-u0，

(64)

式中：urecord為E處記錄的信號。此時模型可表示為

(65)

(66)

式中：H1和H0為狀態輸出矩陣；輸出y包含無人機角速率、姿態角、垂向加速度和垂向速度，

(67)

ybio為常值偏移量，可通過狀態估計得出。相應地，定義飛行數據的輸出為

ydata=yrecord-y0，

(68)

式中：yrecord為機載傳感器記錄的數據；y0為配平點的輸出。定義模型輸入與實際飛行數據之間的均方根JRMS為

(69)

式中：nt為記錄的輸出通道個數；n0為每個通道中數據的個數；W為每個輸出量的權重，由每個輸出量的量綱決定[15]。JRMS為模型時域精度判斷提供了一個有用的總體度量指標。文獻[15]指出JRMS<2時，表明該模型精度在可接受范圍內。

3.2 驗證結果

本文機理模型的預測響應與飛行數據進行比較。前飛在平衡狀態時，給定“doublet”雙面脈沖激勵信號，記錄無人機飛行數據，并與數學模型的預測響應進行比較來評估模型的預測能力。4個主通道的時域驗證曲線如圖19～圖22所示。

圖19 俯仰通道(JRMS=0.683 0)

圖20 滾轉通道(JRMS=0.484 6)

圖21 偏航通道(JRMS=0.766 7)

圖22 高度通道(JRMS=0.668 8)

4個通道的JRMS均小于1，滿足指標要求，表明該模型具有較高的精度，可高保真度地描述無人機前飛時的動力學特性。

4 結論

本文給出了在前飛模態下槳葉的廣義數學模型，并通過風洞試驗進行驗證，分析了該槳葉模型的不確定性。建立無人機的動力學方程，得出無人機在前飛模態的狀態空間方程，并分析解釋了在前飛時無人機動力學特性，以及前飛時通道之間的耦合。

通過飛行試驗對該模型進行驗證，結果表明該模型與飛行數據的軌跡基本一致，驗證了該模型的準確性。為下一階段的控制設計奠定了良好基礎。

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