低滲復合氣藏斜井非達西滲流試井分析

伍銳東， 張春光， 楊志興， 石美雪， 姜瑞忠

( 1. 中海石油(中國)有限公司 上海分公司，上海 200335； 2. 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島 266580 )

0 引言

低滲氣藏常采用酸化等措施改善近井區(qū)物性條件，加劇儲層的平面非均質(zhì)性，呈現(xiàn)復合氣藏的滲流特征。研究低滲復合氣藏的滲流特征需考慮低滲區(qū)氣體的非達西滲流、儲層的應力敏感性和各向異性等因素[1-4]，采用傳統(tǒng)滲流模型描述此類氣藏存在局限性。

低滲氣藏非達西滲流曲線由非線性段和擬線性段組成，非線性段對開發(fā)的影響不可忽略[5]。馮文光[6]分析流固表面作用、孔喉結構等因素對天然氣非達西滲流的影響。李允等[7]基于實驗研究啟動壓力梯度對氣藏開發(fā)的影響，并建立擬啟動壓力梯度滲流模型。考慮啟動壓力梯度和應力敏感性，馮青[8]建立氣水兩相數(shù)值試井模型，并對相關參數(shù)進行敏感性分析。劉廣峰等[9]應用冪律方程及擬線性方程的分段模型，描述流體的非達西滲流。歐陽偉平等[10]基于三參數(shù)連續(xù)非線性滲流方程建立致密氣藏數(shù)值試井模型，表征氣體的非線性滲流特征。低滲非達西滲流模型可歸結為3類：擬啟動壓力梯度模型，忽略滲流的非線性段，放大滲流阻力；分段模型，涉及臨界點判斷，應用復雜；連續(xù)非線性滲流模型，多基于實驗擬合，表征形式多樣。為研究復合氣藏的滲流特征，許峰等[11]與孟凡坤等[12]分別建立雙重和三重介質(zhì)復合氣藏水平井不穩(wěn)定滲流模型，謝飛[13]與陳軍等[14]進一步研究復合油氣藏水平井、垂直裂縫井的滲流模型。孫高飛[15]與黃雨等[16]分別考慮儲層的應力敏感性和啟動壓力梯度進行低滲復合氣藏試井分析。

目前，常規(guī)復合氣藏的研究較為成熟，涉及低滲復合氣藏斜井非達西滲流的研究較為鮮見，常采用簡化的擬啟動壓力梯度模型進行表征，未綜合考慮儲層的應力敏感性和各向異性，不能充分體現(xiàn)低滲復合氣藏的滲流特征。基于低滲氣藏非達西滲流和應力敏感性微觀機理，筆者考慮滲透率的各向異性，完善滲流運動方程，建立低滲復合氣藏斜井非達西滲流數(shù)學模型，采用有限元方法進行Matlab編程求解，繪制井底壓力動態(tài)曲線，對比不同模型滲流規(guī)律并對相關參數(shù)進行敏感性分析，應用模型進行實際斜井動態(tài)壓力擬合并解釋相關儲層參數(shù)，驗證模型實用性。

1 試井模型建立與求解

1.1 物理模型

在低滲氣藏開發(fā)過程中，受工藝措施或氣藏特點影響，易形成物性差異較大的復合氣藏。

建立低滲復合氣藏斜井物理模型(見圖1)。假設條件：(1)氣藏頂?shù)追忾]不滲透，氣藏半徑為re，地層等厚且厚度為h；(2)儲層劃分為內(nèi)、外區(qū)，內(nèi)區(qū)半徑為r1，外區(qū)半徑為r2，地層初始擬壓力為mi；(3)斜井貫穿整個氣藏，井斜角為θ，井長度為L，井中心的縱向深度為zw，以恒定地面產(chǎn)量qsc生產(chǎn)；(4)內(nèi)、外區(qū)交界面不存在附加壓力降，等溫滲流，流體為單相微可壓縮，忽略重力和毛管力；(5)考慮井筒儲集系數(shù)、表皮因數(shù)及滲透率的各向異性，氣藏水平方向初始滲透率為Knhi，縱向初始滲透率為Knvi(n=1,2，1代表內(nèi)區(qū)，2代表外區(qū))；(6)內(nèi)區(qū)流體遵循達西滲流，外區(qū)流體考慮非達西滲流及儲層應力敏感性。

圖1 低滲復合氣藏斜井物理模型Fig.1 Physical model of inclined well in the low-permeability composite gas reservoir

1.2 運動方程

低滲氣藏滲透率低、束縛水飽和度高，氣相吸附作用增強，孔道壁出現(xiàn)邊界層，氣源壓力較低時氣體出現(xiàn)明顯的非達西滲流。低滲氣藏非線性滲流模式見圖2，其中δ為表邊界層厚度，r0為毛細管半徑，ν為通過巖心的流速，ζ*為最小啟動壓力梯度，ζ為擬啟動壓力梯度，p為壓力。低滲儲層流體滲流速度與壓力梯度的關系曲線見圖2(b)，由非線性段ζ*α與擬線性段αβ組成，α為臨界點，η為臨界點對應的壓力梯度，β為滲流曲線的末端點。

圖2 低滲氣藏非線性滲流模式Fig.2 The nonlinear flow model of low-permeability gas reservoir

從微觀角度解釋非達西滲流的產(chǎn)生原因，考慮剪切應力及邊界層厚度的影響，修正Hagen-Poisseuille方程[17]：

(1)

式中：K為巖心滲透率；μ為流體黏度；τ0為流體屈服應力；δ/r0表征邊界層的影響，8τ0/3r0表征流體屈服應力的影響。

通過微觀實驗擬合，式(1)變形簡化，得到宏觀上的連續(xù)非線性滲流運動方程：

(2)

式中：c1、c2為通過實驗擬合得到的參數(shù)。

為增強連續(xù)非線性滲流運動方程調(diào)整的靈活性，令a=-c2/c1，b=1/c1，則式(2)簡化為

(3)

式中：a為非線性因數(shù)，反映流體屈服應力及邊界層對滲流的影響；b為啟動壓力梯度的倒數(shù)。

當0

低滲儲層具有較強的應力敏感性，隨氣藏開采的進行，巖石的有效應力不斷增加，滲透率不斷減小。為描述滲透率隨壓力的變化關系，采用PEDROSA O A定義的滲透率模量[18]：

(4)

式(4)積分可得

K=Kie-γ(pi-p),

(5)

式中：Ki為儲層初始滲透率；γ為滲透率模量；pi為原始地層壓力。

綜上，考慮低滲氣藏應力敏感性和非達西滲流的運動方程為

(6)

1.3 數(shù)學模型

1.3.1 模型建立

基于物理模型假設，聯(lián)立非達西運動方程、質(zhì)量守恒方程及狀態(tài)方程，并引入擬壓力函數(shù)可得低滲復合氣藏斜井非達西滲流無因次微分方程：

(7)

(8)

式(7-8)中：m1D、m2D分別為量綱一的內(nèi)區(qū)和外區(qū)壓力；xD、yD、zD為量綱一的方向坐標；tD為量綱一的時間；rD、r1D分別為量綱一的滲流半徑和內(nèi)區(qū)半徑；γmD為按擬壓力定義的量綱一的滲透率模量；η1,2為內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比；λmlD為量綱一的非線性滲流中間變量，l=x,y,z，分別代表x、y、z方向變量。

初始條件為

m1D|tD=0=m2D|tD=0。

(9)

定產(chǎn)內(nèi)邊界條件為

(10)

式中：zwD為量綱一的斜井中心縱向深度；εD為量綱一的微變量。

頂?shù)追忾]外邊界條件為

(11)

水平封閉外邊界條件為

(12)

式中：reD為量綱一的最大邊界半徑。

水平定壓外邊界條件為

m2D|rD=reD=0。

(13)

界面連接條件為

m1D(r1D,tD)=m2D(r1D,tD),

(14)

(15)

式中：M1,2為內(nèi)外區(qū)流度比。

1.3.2 模型求解

非線性滲流數(shù)學模型解析求解較復雜，采用有限元法進行數(shù)值求解[19]。應用Galerkin法得到不存在源匯項時外區(qū)的有限元方程為

(16)

式中：Ni為形函數(shù)的分量。

通過格林公式分部積分，得到內(nèi)部單元和具有封閉條件外邊界單元的有限元方程：

(17)

將有限元方程變換成矩陣形式：

(18)

對有限元方程的矩陣形式進一步簡化得

(19)

(20)

(21)

式中：Ke為非線性系數(shù)矩陣；Fe為單元載荷向量。

式(19)為該模型外區(qū)的有限元單元平衡方程，采用相同方法可得到內(nèi)區(qū)的有限元單元平衡方程。

無限導流模型更符合斜井的實測壓力分布，但求解困難，通常選取均勻線源模型等價壓力點表征斜井壓力分布[20-21]。采用CINCO L H等[20]提出的方法描述井底壓力，井底等效壓力點取值為

xD=0.3LDsinθw,yD=1,zD=-0.2LDcosθw,

(22)

應用Delta函數(shù)可得到與井位置有關的線源/匯公式，把斜井所在節(jié)點考慮成單元內(nèi)源匯項，對井節(jié)點所在單元積分并無因次化，得到單元源匯項的有限元方程為

(23)

式中：d為線源劃分的節(jié)點數(shù)。

通過Laplace變換并根據(jù)杜哈美原理，得到考慮井筒儲集效應與表皮因數(shù)影響的井底壓力解為

(24)

式中：S為表皮因數(shù)；s為Laplace變量；CD為井筒儲集系數(shù)。

采用Stehfest數(shù)值反演，得到考慮井筒儲集效應與表皮因數(shù)的斜井井底壓力解為

(25)

(26)

2 滲流規(guī)律分析

2.1 流態(tài)劃分

利用Matlab編程進行模型求解，繪制模型擬壓力動態(tài)曲線，并與達西滲流模型和擬啟動壓力梯度模型進行對比[22-23](見圖3)。模型基本參數(shù)：CD=100，S=1，hD=200，θ=60°，r1D=15，η1,2=0.2，γmD=0。非線性滲流模型考慮非線性特征和啟動壓力梯度，取a=0.5，bmlD=100；擬啟動壓力梯度模型僅考慮啟動壓力梯度，取a=0，bmlD=100。兩個模型的量綱一的擬啟動壓力梯度為0.01。

根據(jù)擬壓力動態(tài)曲線特征劃分7個流動階段：①井筒儲存，擬壓力及其導數(shù)曲線呈斜率為1的重合直線；②表皮效應過渡，擬壓力導數(shù)曲線呈駝峰狀；③井斜角控制，隨井斜角的增大，逐漸呈水平井的滲流特征，井斜角大于60° 后逐漸出現(xiàn)早期垂向徑向流和中期線性流，導數(shù)曲線分別呈水平直線和斜率為0.5的直線；④內(nèi)區(qū)擬徑向流，擬壓力導數(shù)曲線呈值為0.5的水平直線；⑤內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡，擬壓力導數(shù)曲線斜率與內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比有關；⑥外區(qū)擬徑向流，不考慮非達西滲流與應力敏感性等因素，擬壓力導數(shù)曲線呈水平直線；⑦邊界影響，受封閉邊界影響，擬壓力及其導數(shù)曲線劇烈上翹(見圖3)。

圖3 不同模型擬壓力動態(tài)曲線Fig.3 Dynamic pseudo-pressure curves of different models

僅考慮外區(qū)的低滲特性，擬啟動壓力梯度模型和非線性滲流模型的擬壓力及其導數(shù)曲線在外區(qū)擬徑向流階段發(fā)生上翹，非線性滲流模型的上翹幅度明顯低于擬啟動壓力梯度模型的。

2.2 敏感性分析

分別對非線性因數(shù)a、井斜角θ、內(nèi)區(qū)半徑r1D及內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比η1,2進行敏感性分析[24-26]。

2.2.1 非線性因數(shù)

非線性因數(shù)對擬壓力動態(tài)曲線的影響見圖4。由圖4可知，受非線性滲流和擬啟動壓力梯度的影響，擬壓力動態(tài)曲線在外區(qū)擬徑向流階段發(fā)生上翹。隨非線性因數(shù)的增大，非線性段曲線的斜率減小，最小啟動壓力梯度逐漸趨于0，非線性滲流帶來的附加滲流阻力減小，曲線上表現(xiàn)為外區(qū)擬徑向流階段上翹時間延遲，上翹幅度減小。非線性因數(shù)對低滲儲層生產(chǎn)動態(tài)的影響明顯，忽略非線性滲流特征的達西滲流模型或擬啟動壓力梯度模型，難以客觀描述儲層壓力的動態(tài)特征。

圖4 非線性因數(shù)對擬壓力動態(tài)曲線的影響Fig.4 Effect of the nonlinear parameter on dynamic pseudo-pressure curve

2.2.2 井斜角

井斜角對擬壓力動態(tài)曲線的影響見圖5。由圖5可知，在井斜角控制階段，壓力波尚未傳遠，井斜角對擬壓力動態(tài)曲線的影響較為明顯。井斜角較小時，擬壓力動態(tài)曲線呈近似直井的特征；隨井斜角增大，擬壓力動態(tài)曲線逐漸呈近似水平井的特征。當井斜角大于60°后逐漸出現(xiàn)早期垂向徑向流和中期線性流，其擬壓力導數(shù)曲線分別呈一條水平線和斜率為0.5的直線。隨井斜角的增大，井長度逐漸增加，早期徑向流持續(xù)時間變長，定產(chǎn)生產(chǎn)時產(chǎn)量均勻分布，井底壓力降低，擬壓力及其導數(shù)曲線下移。不考慮儲層應力敏感性和非達西滲流時，擬壓力導數(shù)曲線在內(nèi)區(qū)和外區(qū)的擬徑向流階段匯聚成一條直線。

圖5 井斜角對擬壓力動態(tài)曲線的影響Fig.5 Effect of the well angle on dynamic pseudo-pressure curve

2.2.3 內(nèi)區(qū)半徑

內(nèi)區(qū)半徑對擬壓力動態(tài)曲線的影響見圖6。由圖6可知，內(nèi)區(qū)半徑影響內(nèi)區(qū)擬徑向流的持續(xù)時間和內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡階段的開始時間：內(nèi)區(qū)半徑越小，內(nèi)區(qū)擬徑向流的持續(xù)時間越短，過渡階段出現(xiàn)的時間越早，當內(nèi)區(qū)半徑小到一定程度時，壓力波迅速傳播到內(nèi)邊界，曲線上不能體現(xiàn)內(nèi)區(qū)擬徑向流的特征。2.2.4 內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比

圖6 內(nèi)區(qū)半徑對擬壓力動態(tài)曲線的影響Fig.6 Effect of the inner radius on dynamic pseudo-pressure curve

內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比對擬壓力動態(tài)曲線的影響見圖7。由圖7可知，導壓系數(shù)比主要影響內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡階段曲線的斜率：內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比小于1.0時，即外區(qū)滲透性好于內(nèi)區(qū)的，內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡階段的擬壓力導數(shù)曲線呈下凹的特征；內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比大于1.0時，即內(nèi)區(qū)滲透性好于外區(qū)的，過渡階段擬壓力導數(shù)曲線呈上凸的特征。隨內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比的增大，外區(qū)的滲流能力相對逐漸變差，滲流阻力相對增大，內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡階段的擬壓力導數(shù)曲線斜率逐漸增大，外區(qū)擬徑向流階段的擬壓力及其導數(shù)曲線位置也越高。

圖7 內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比對擬壓力動態(tài)曲線的影響Fig.7 Effect of the pressure conduction coefficient ratio on dynamic pseudo-pressure curve

3 應用實例對比

東海XH氣田A2井的測壓數(shù)據(jù)表現(xiàn)出明顯的低滲復合氣藏斜井的滲流特征，分別應用常規(guī)試井模型和非達西試井模型對A2井進行解釋(見圖8)。由圖8可知，常規(guī)試井模型僅考慮氣藏的徑向復合特征，不能體現(xiàn)外區(qū)擬徑向流階段的低滲特征；非達西試井模型考慮儲層的低滲特性，精細刻畫各流動階段的滲流特征，模型與實測壓力數(shù)據(jù)擬合效果更好，增加非線性因數(shù)、啟動壓力梯度等對擬合結果的約束，有效解決儲層參數(shù)多解性強的問題。A2井的基礎參數(shù)及試井解釋結果見表1。

圖8 A2井壓力動態(tài)擬合曲線Fig.8 Dynamic pressure fitting curves of well A2

表1 A2井基礎參數(shù)及試井解釋結果

由A2井的壓力動態(tài)曲線可知，該井的井斜角較小，無早期徑向流階段，類似直井的滲流特征。滲流后期壓力傳播到斷層邊界，壓力及其導數(shù)曲線發(fā)生劇烈上翹。考慮低滲氣藏非線性滲流和儲層應力敏感性，改善該井外區(qū)擬徑向流的動態(tài)壓力擬合效果。非達西試井模型解釋外區(qū)的滲透率為5.9×10-3μm2，表皮因數(shù)為8.3；常規(guī)試井模型解釋的外區(qū)滲透率為3.2×10-3μm2，表皮因數(shù)為7.9。

基于產(chǎn)能試井實測數(shù)據(jù)，采用二項式產(chǎn)能方程計算該井的無阻流量為47.85×104m3/d；基于常規(guī)試井模型和非達西試井模型解釋的參數(shù)，計算該井的無阻流量分別為32.49×104m3/d和45.44×104m3/d，非達西試井模型解釋的參數(shù)更貼近儲層實際(見圖9)，其中Qg為測試流量。忽略低滲氣藏滲流特性的常規(guī)試井模型對滲透率的解釋與氣藏實際的有效滲透率偏差較大；非達西試井模型的建立與應用可有效改進低滲復合氣藏參數(shù)解釋的精度，對低滲氣藏的壓力與產(chǎn)能評價具有重要意義。

圖9 模型解釋結果對比Fig.9 Comparison of different model interpretation results

4 結論

(1)基于低滲氣藏非達西滲流和應力敏感性的微觀機理，完善滲流運動方程，建立低滲復合氣藏斜井非達西滲流數(shù)學模型；利用等價壓力點處理內(nèi)邊界條件，采用有限元方法求解井底壓力。

(2)繪制并對比不同模型的井底壓力動態(tài)曲線，根據(jù)曲線特征劃分7個流動階段，即井筒儲存、表皮效應過渡、井斜角控制、內(nèi)區(qū)擬徑向流、內(nèi)外區(qū)擬徑向流過渡、外區(qū)擬徑向流及邊界影響階段。

(3)非線性因數(shù)增大，擬壓力動態(tài)曲線在外區(qū)擬徑向流階段上翹幅度增大；井斜角大于60°后，逐漸出現(xiàn)早期垂向徑向流段，且隨井斜角增大持續(xù)時間延長；內(nèi)區(qū)半徑增大，內(nèi)區(qū)擬徑向流階段持續(xù)時間延長；內(nèi)外區(qū)導壓系數(shù)比大于1.0時，過渡流段斜率為正數(shù)且隨導壓系數(shù)比的增大而增大。

(4)低滲復合氣藏非達西滲流模型相較于傳統(tǒng)試井模型壓力動態(tài)曲線擬合更好，增加非線性因數(shù)等對解釋結果的約束，降低參數(shù)的多解性；兩種模型解釋的滲透率相差明顯，非達西滲流模型可以合理評估低滲氣藏的產(chǎn)能。