相互作用的Brinkman-Forchheimer 方程組與Forchheimer 方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

張文彬，李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州511300）

0 引言

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性主要研究解對(duì)模型本身或者模型構(gòu)建系數(shù)的連續(xù)依賴性與收斂性。有關(guān)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的本質(zhì)在Ames 和Straughan 的專著［1］中有詳細(xì)的介紹，在Hirsch 和Smale 的專著［2］中介紹了連續(xù)流體力學(xué)模型中的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性具有重要的意義，其原因在于建立模型的過(guò)程中不可避免地存在誤差，需了解方程本身結(jié)構(gòu)系數(shù)的微小變化是否會(huì)導(dǎo)致解的急劇變化。

當(dāng)前關(guān)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究主要集中在多孔介質(zhì)中的Brinkman、Darcy 和Forchheimer 方程組上［3－13］，上述文獻(xiàn)均是考慮在區(qū)域中只有一個(gè)方程組的情況。但在實(shí)際中，一個(gè)區(qū)域中可能存在兩個(gè)或多個(gè)相互作用的流體方程組，因此有必要研究同一個(gè)區(qū)域中含有多個(gè)相互作用流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。由于不同方程組之間的相互作用，使得方程組解的性態(tài)變得復(fù)雜，從而導(dǎo)致研究的難度加大，故目前相關(guān)研究較少。關(guān)于其他類方程結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)［14－16］。

在文獻(xiàn)［17］中Payne 和Straughan 建立了Brinkman 方程組與Darcy 方程組在一個(gè)界面相互作用的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)果，研究了方程組的解對(duì)界面邊界系數(shù)α1的連續(xù)依賴性的結(jié)果。隨后劉炎等［18－19］在此基礎(chǔ)上得到一些新的結(jié)果。而目前尚未發(fā)現(xiàn)研究相互作用的Brinkman-Forchheimer 方程組與Forchheimer 方程組界面問(wèn)題的連續(xù)依賴性相關(guān)文獻(xiàn)。如果將文獻(xiàn)［17］中的Brinkman 方程組改為Brinkman-Forchheimer 方程組，將Darcy 方程組換成Forchheimer 方程組，如何處理非線性項(xiàng)|u|ui是本文研究的難點(diǎn)。

本文的目的是研究在多孔介質(zhì)流中相互作用的Brinkman-Forchheimer 方程組與Forchheimer 方程組的解對(duì)Brinkman 系數(shù)μ的連續(xù)依賴性。平面Z＝x3＝0 的適當(dāng)部分L是Ω1和Ω2中的共同邊界，其中Ω1是x3＞0 的區(qū)域，而Ω2是x3＜0 的區(qū)域。即邊界L是?Ω1和?Ω2的共同接觸面。一方面，假設(shè)粘性流體在Ω1里是緩慢流動(dòng)的，所以對(duì)應(yīng)的是Brinkman-Forchheimer 方程組；另一方面，假設(shè)這個(gè)流體在Ω2中的多孔介質(zhì)滿足Forchheimer 方程組。界面用L表示，而Ω1和Ω2邊界的其余邊界部分分別用Γ1和Γ2表示，因此?Ω1＝Γ1∪L和?Ω2＝Γ2∪L。

在Ω1×[0，τ] 中討論如下Forchheimer 流體方程組

其中：ui(i ＝1，2，3)、p、T 分別表示為速度、壓強(qiáng)和溫度；gi(x)(i ＝1，2，3) 為重力函數(shù)，假設(shè)gi滿足| g | ≤G1；Δ 為拉普拉斯算子；k 為熱擴(kuò)散系數(shù)；Ω1是R3中的一個(gè)有界單連通的星形區(qū)域；τ 是給定的常數(shù)且0 ≤τ ＜∞。

在Ω2×[0，τ] 中討論如下Darcy 流體方程組

其中：vi(i ＝1，2，3)、q、S 分別表示為速度、壓強(qiáng)和溫度；kS為熱擴(kuò)散系數(shù)；Ω2是R3中的一個(gè)有界單連通的星形區(qū)域。

1 先驗(yàn)界

為了得到本文的主要結(jié)果，給出以下引理。

引理1［20］溫度T 和S 滿足以下最大值估計(jì)

2 系數(shù)μ 的連續(xù)依賴性

3 結(jié)論

本文得到相互作用的Brinkman-Forchheimer 方程組與Forchheimer 方程組的解對(duì)系數(shù)μ 的連續(xù)依賴性結(jié)果。運(yùn)用本文的方法也可得到解對(duì)其他系數(shù)的連續(xù)依賴性。本文的結(jié)果說(shuō)明對(duì)于相互作用的此類方程組具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，同時(shí)該結(jié)論也為后續(xù)數(shù)值模擬與數(shù)值計(jì)算提供理論基礎(chǔ)。