圖的ISI 指數與能量的界

李海毓，高玉斌

（中北大學 理學院，山西 太原030051）

0 引言

設G 是具有m 條邊的n 階簡單連通圖，其頂點集為V ( G )＝{v1，v2，…，vn}，邊集為E ( G )，| E ( G ) | ＝m，頂點vi的度是G 中與vi相鄰的頂點數，記為di。設頂點的度序列為Δ ＝d1≥d2≥…≥dn＝δ，其中Δ 為頂點最大度，δ 為頂點最小度。稱各頂點的度均相同的圖為正則圖。將連接頂點vi與vj的邊記為e，則邊e的度定義為d (e) ＝di＋dj－ 2，并且設邊的度序列為d (e1) ≥d (e2) ≥…≥d (em)，則邊最大度為Δe＝d (e1) ＋2，邊最小度為δe＝d (em) ＋2。

基于頂點度的拓撲指數的研究已取得豐碩成果，被認為是化學研究中非常有用的工具。Vuki?evi? 和Ga?perov 在2010 年提出了inverse sum indeg 指數［1］（簡稱為ISI 指數），定義為

在文獻［2－3］中作者利用圖的頂點數、邊數、邊度等圖的不變量給出了若干ISI 指數上下界；文獻［4］中，Pattabiraman 研究了一些特殊圖的ISI 指數的上下界，如組合圖、Mycielskian 圖等的ISI 指數的上下界。

設G 是一個n 階簡單連通圖，它的譜是指其鄰接矩陣A( G ) 的所有特征值的集合，設A( G ) 的特征值為λi(i ＝1，2，…，n)，λ1≥λ2≥…≥λn，則圖G 的能量［5］被定義為

由于圖的ISI 矩陣中元素形式的特殊性，到目前為止關于圖的ISI 能量的研究較少；在文獻［7］中Hafeez 等研究了圖的ISI 能量，并給出了圖的ISI 能量的一些上下界以及一些特殊圖（星圖、圈圖等）的ISI 能量。

基于以上研究現狀，本文運用一些熟知的不等式給出了圖的ISI 指數與ISI 能量的一些新的上下界；還用到了一些其他拓撲指數。

1 預備知識

2 ISI 指數的界

3 ISI 能量的界

4 結論

本文利用一些熟知的不等式，考慮ISI 指數與能量和一些已知的拓撲指數、圖的不變量之間的關系，分別給出ISI 指數和ISI 能量的一些新的上下界，進一步得到了圖的ISI 指數、能量與不同參數之間的關系，從而刻畫出更精確的圖的ISI 指數與能量的上下界。