在數(shù)理相通中讓初中生學(xué)到“能用的數(shù)學(xué)”

徐靜芳

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，不少學(xué)生是困惑的，即使是數(shù)學(xué)教師對此也不見得明晰達(dá)理，偶爾也會有片刻的迷茫。但作為數(shù)學(xué)老師又必須對自己所教的學(xué)科充滿信心，并以理直氣壯、不容置疑的口吻告誡學(xué)生：“生活處處是數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)就能在生活中解決很多難題”，以此來警醒學(xué)生，鞭策學(xué)生，督促他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)予以足夠的重視。筆者曾經(jīng)教過一位男生，在進(jìn)入初三的第一次期中考試后找到我，沮喪地說：“老師，我不想學(xué)習(xí)了，老師們現(xiàn)在教的都是‘沒用’的東西。”我思忖了一會兒，含糊其詞地回應(yīng)他：“就算你學(xué)習(xí)再不好，老師也不許你這么瞧不起自己，老師教的學(xué)生將來都會對社會或多或少有用的。”當(dāng)時(shí)他就一下笑出了聲，說道：“我不是這個意思，學(xué)了那么多，真的不知道有什么用，能用在哪里？”且又申明道：“我不是因數(shù)學(xué)成績不好而找借口。”對于此類帶有普遍性的質(zhì)疑，我沉默了……

常說的“有用”和“能用”是有一定區(qū)別的。“有用”是理性意義上的價(jià)值判斷，而“能用”則是實(shí)踐運(yùn)用上的價(jià)值體現(xiàn)。博大精深的數(shù)學(xué)知識，能讓初中生認(rèn)識其“有用”的價(jià)值體現(xiàn)，雖只是淺嘗輒止，但數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、深刻性使人獲益匪淺。當(dāng)然，就初中生而言，數(shù)學(xué)的“有用”應(yīng)借助實(shí)踐印證的“能用”來體現(xiàn)，唯此，才能激發(fā)廣大同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。筆者曾撰寫過“數(shù)學(xué)與生活”關(guān)聯(lián)度的文章，現(xiàn)以一些學(xué)生在學(xué)習(xí)物理時(shí)遇到的困惑為切入點(diǎn)，讓學(xué)生在“能用”的體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的“有用”。

一、數(shù)、理相通，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的“能用”

（一）“能用”情景一

例1、甲、乙兩個實(shí)心均勻的正方體放在水平地面上，它們對地面壓強(qiáng)相等，已知甲的密度大于乙的密度，若在兩個正方體上分別沿水平方向切去相等的高度，剩余部分的質(zhì)量分別為m’甲和m’乙，則（ ）

A. m’甲一定小于m’乙 B.m’甲一定等于m’乙

C.m’甲一定大于m’乙 D.m’甲可能等于m’乙

此題的答案是A，翻閱學(xué)生作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都選對了，我很高興，也想尋找原因，便好奇地問道：“你們是如何算出來的？”周圍的學(xué)生都異口同聲地說：“極限法。”學(xué)生們口中的“極限法”就是取極值的特殊情況：

于是乎，學(xué)生說：“既然切去相等的高度，兩個正方體就切去相等的h甲，那么正方體甲留下質(zhì)量0，正方體乙還有剩余質(zhì)量，所以就選A了。”

筆者隨即又問：“如果這是一題解答題，需要你寫解題過程，這時(shí)候是不能用特殊情況代替普遍情況的，怎么辦？”一片肅靜，班中竟然沒有同學(xué)使用計(jì)算方法解決本題。于是我叫來了物理課代表，請他用所學(xué)過的物理知識結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行計(jì)算，且鼓勵他：“作為課代表，你應(yīng)該具備一題多解的能力，老師相信你！同時(shí)你應(yīng)該明白，理科知識往往不是獨(dú)立存在的，而是相互聯(lián)系的，聯(lián)系的橋梁時(shí)數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科。“隨即，他用了十分鐘來思考和計(jì)算，最后解決了本題，筆者也順?biāo)浦垩埶麨槿嘟獯稹＿@就有了下面的算式：

在本題正確解答后，我乘勢為學(xué)生們梳理了知識點(diǎn)：“除去你們應(yīng)該知道的物理公式，本題涉及的大部分計(jì)算都是運(yùn)用了初二數(shù)學(xué)的分式化簡，最后再結(jié)合不等式中相對比較難的知識點(diǎn)——比較代數(shù)式的大小，可見，運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)多于物理知識點(diǎn)。”

之后，筆者請教了物理老師，固體壓強(qiáng)中的切割問題本身就是初中物理的考點(diǎn)之一，也是難點(diǎn)之一，于是再結(jié)合初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用比較少的代數(shù)式比大小知識點(diǎn)破解此題。對缺乏知識遷移、數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)生來說，難度是大的。通過本例題的分析講解，我告訴學(xué)生：“知識不是獨(dú)立存在的，而是有機(jī)聯(lián)系的。也許你并不知道生活中哪里能讓你使用勾股定理和黃金比例，但當(dāng)你把所學(xué)的知識融會貫通，就會產(chǎn)生熟能生巧的靈感，頓悟破解的思路和方法，從而收獲學(xué)習(xí)的自信、成功和樂趣。”

（二）：“能用”情景二

例2、在圖1（a）所示的電路中，電源電壓為18伏保持不變，電阻R1的阻值為5歐，滑動變阻器R2上標(biāo)有“50Ω? 2A”，閉合電鍵S后電壓表示數(shù)如圖1（b）所示。

求通過電阻R1的電流I1;

求此時(shí)滑動變阻器R2消耗的電功率P2;

移動滑片P，在確保電路中各元件正常工作的前提下，求電壓表示數(shù)的變化范圍，以及滑動變阻器R2接入的阻值范圍.

2014年普陀區(qū)初三物理一模卷第21題，其中①、②兩題的解題方法套用所學(xué)的電學(xué)公式即可解決，我們要探究的是本題第③小題：

綜上所述，電壓表示數(shù)的變化范圍8～15V;

滑動變阻器R2接入的阻值范圍4～25Ω.

本題第③小題旨在討論電壓表示數(shù)的變化范圍和滑動變阻器R2接入的阻值范圍。計(jì)算公式雖是歐姆定律，但從解題思路分析，用到的是數(shù)學(xué)中的分類討論法，即在滑動變阻器取不同極值時(shí)，對應(yīng)的電壓或電流如何變化。以及當(dāng)R2最大時(shí)，出現(xiàn)電壓大于電壓表量程的情況，這就類似數(shù)學(xué)中的函數(shù)綜合題，自變量x取值不在定義域內(nèi)。分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn)，卻滲透進(jìn)了物理題型，且是較大難度的壓軸題。我告訴學(xué)生：“原本大家認(rèn)為獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，甚至懷疑無處‘能用’的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，不僅會運(yùn)用于實(shí)際生活和科技發(fā)展中，而且會伴隨學(xué)段的升高，知識的豐富，難度的增加，越來越多的數(shù)學(xué)知識可解決理科方面的較難題型。和語文的工具性一樣，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)理科、發(fā)展科技的基礎(chǔ)性、工具性學(xué)科。數(shù)學(xué)思維與能力決定著學(xué)習(xí)其他某些科目的深度和高度。現(xiàn)在你們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是有用的，并且是‘能用的’。”

（三）“能用”情景三

（上海2005年）甲、乙兩小車同時(shí)同地同方向做勻速直線運(yùn)動，它們的S-t圖像如圖所示。經(jīng)過6秒，兩車的位置關(guān)系是（ ）

A甲在乙前面0.6米處

B甲在乙前面1.2米處

C在甲前面0.6米處

D在甲前面1.2米處

本題是2005年物理中考真題，在初三總復(fù)習(xí)時(shí)，我們都會對歷年考點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)。此時(shí)，學(xué)生已學(xué)習(xí)了初中階段的數(shù)學(xué)知識，從本題的S-t圖形分析，求路程、速度、時(shí)間這三個量之間的關(guān)系，能直接、準(zhǔn)確地找到問題的答案。但利用數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想解本題，可以讓解題思路歸于函數(shù)關(guān)系的建構(gòu)，從本質(zhì)上揭示勻速運(yùn)動的規(guī)律。很明顯，這兩條線段都是正比例函數(shù)圖形的一部分，將兩個正比例函數(shù)解析式求出，把t=6代入兩個正比例函數(shù)解析式中，即可求出對應(yīng)S的值（即得兩個橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)坐標(biāo)）。如此分析，無論題目問的是6秒或8秒，都可以用函數(shù)解析式解出。

筆者告訴學(xué)生，本題原本是物理中的S-t圖像問題，是數(shù)學(xué)中一次函數(shù)y=kx在物理中運(yùn)用，可采用數(shù)形結(jié)合的思想解題。答題情況良好，說明大家確實(shí)能用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，同時(shí)也驗(yàn)證了作為初三學(xué)生，你們已具備了一題多解的綜合能力，這是一件多么讓人感到高興的事啊！需注意的是，當(dāng)遇到較難的物理問題而難以入手時(shí)，不妨打開自己的思路，想想能否在數(shù)學(xué)中調(diào)遣攻堅(jiān)克難的“特種兵”，發(fā)揮其能用善戰(zhàn)的奇特作用。

因?yàn)閿?shù)學(xué)是理科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，與理科特別是物理學(xué)科，存在著種種邏輯聯(lián)系，故而筆者在日常教學(xué)中都會適時(shí)地滲透相關(guān)的物理知識。除上述三例外，學(xué)習(xí)初一的整式、分式計(jì)算，初二的整式方程、分式方程等內(nèi)容時(shí)，會把物理中的常用字母P、F、S、ρ、g、h等物理量符號引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。又比如物理電學(xué)中的歐姆定律三個物理量U、I、R之間的關(guān)系，可出現(xiàn)在初二正比例函數(shù)學(xué)習(xí)中;而物理中計(jì)算并聯(lián)電路的總電阻問題，可運(yùn)用初一分式計(jì)算時(shí)有機(jī)滲透，，那么通過計(jì)算可以得到。

初二向量的平行四邊形法則，初三向量的線性運(yùn)算中畫一個向量在兩個指定向量方向上的分向量，這些作圖知識，都應(yīng)該讓學(xué)生多體驗(yàn)、多思考，為在高中物理的力的合成與分解等矢量計(jì)算時(shí)作些鋪墊。

二、讓數(shù)學(xué)知識變得能用的實(shí)施要點(diǎn)

為了使掛在嘴上的理性“有用”，切實(shí)成為學(xué)生能感知、體驗(yàn)的“能用”，作為數(shù)學(xué)教師的我們，似應(yīng)關(guān)注若干實(shí)施要點(diǎn)。

（一）教師教學(xué)：意識、設(shè)計(jì)、適切

其一，需要教師對學(xué)生的學(xué)情有足夠的了解，對知識點(diǎn)在課程中的承前啟后作用充分把握，并對數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科特別是物理中相關(guān)知識的關(guān)聯(lián)和作用做到心中有數(shù)。其二，教師備課必須充分，除精備本學(xué)科外，還須增強(qiáng)跨學(xué)科意識，多與物理等學(xué)科的教師切磋交流，了解相互的教學(xué)進(jìn)度及已學(xué)知識。在此基礎(chǔ)上，教師才有可能從容地設(shè)計(jì)教學(xué)，豐富數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，使數(shù)理等學(xué)科之間實(shí)現(xiàn)知識的自由轉(zhuǎn)換和有機(jī)遷移。在實(shí)施該跨學(xué)科教學(xué)時(shí)，應(yīng)循序漸進(jìn)、靈活滲透，適切把握。在適切上下功夫，切不可脫離學(xué)生實(shí)際、生搬硬套，或喧賓奪主、偏離主干。

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)：興趣、方法、自主

“能用”的數(shù)學(xué)必然與實(shí)際問題的解決緊密關(guān)聯(lián)，或涉及相關(guān)學(xué)科的知識，屬于應(yīng)用型數(shù)學(xué)的范疇，自然對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)意志提出了較高的要求。出類拔萃的學(xué)生畢竟鳳毛麟角，我們的教學(xué)是面向所有的學(xué)生，這對我們數(shù)學(xué)教師提出了較高要求，開展數(shù)理相通的適切教學(xué)外，還應(yīng)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，使較多學(xué)生掌握一些數(shù)理結(jié)合、探究問題的基本方法，培養(yǎng)自主探究的基本能力，將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維活用于以物理為主的相關(guān)學(xué)科學(xué)習(xí)中。

（三）習(xí)題編制：關(guān)聯(lián)、梯度、應(yīng)用

教師在編制習(xí)題，布置課后作業(yè)時(shí)，應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，既要夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能，又要在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)（包括遷移運(yùn)用能力）上統(tǒng)籌兼顧。這就要求教師在研析數(shù)學(xué)命題、編制數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，注重知識的關(guān)聯(lián)性、梯度性、應(yīng)用性。關(guān)聯(lián)性，和學(xué)生已學(xué)知識相關(guān)聯(lián)，和其他學(xué)科相關(guān)知識相關(guān)聯(lián)，和實(shí)際問題相關(guān)聯(lián);梯度性，關(guān)注題目設(shè)計(jì)的層級和梯度，盡量符合不同能力水平的學(xué)生的需要，使學(xué)生在各自的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)累積遞進(jìn)，發(fā)展學(xué)能。應(yīng)用性，習(xí)題編制，除純數(shù)學(xué)的概念、演算外，盡量結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，并與科技發(fā)展相結(jié)合，與理科中的物理等學(xué)科學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)相結(jié)合，體現(xiàn)其學(xué)以致用的價(jià)值追求。

經(jīng)驗(yàn)證明，只有學(xué)生們認(rèn)為所學(xué)的知識是“能用的”，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和內(nèi)驅(qū)力才會被真正激活，對于這門公認(rèn)的“難科”才會真正產(chǎn)生迎難而上、主動探究的信心和毅力。

隨著中考改革，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力和思維品質(zhì)提出了更高的要求。筆者以數(shù)理相通為切入點(diǎn)，持續(xù)開展的初中生“能用的數(shù)學(xué)”的教學(xué)探究，也算作對當(dāng)前教學(xué)改革的一種回應(yīng)。筆者的觀點(diǎn)是：既要夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又要善于打通數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與生活間的認(rèn)知障礙，這將是我們一線數(shù)學(xué)教師需要面對和突破的一個重要命題。