復合材料矩形懸臂板的穩定性和分岔分析

安鳳仙，楊立波

(淮陰工學院 數理學院，江蘇 淮安 223001)

復合材料矩形懸臂板因具有輕質、高強度等優點，廣泛應用于很多工程領域，比如航天器、發動器和潛水艇等，其動力學方程可以用非線性系統來描述。動力學系統中如果存在非線性因素，就可能會發生分岔現象。非線性動力學系統的分岔問題主要研究局部分岔和全局分岔。局部分岔指的是發生在奇點(或閉軌)的小鄰域內，且與它的雙曲性破壞相聯系的分岔。目前，將高維非線性系統平衡點分岔問題等效地簡化為低維系統問題的方法主要有李雅普諾夫-施密特約化(LS約化)、中心流形法以及Galerkin方法[1-2]。近年來，復合材料板的穩定性、分岔和混沌等問題的研究引起了許多學者的關注，Zhao等[3]利用數值模擬方法分析了復合材料矩形懸臂板的混沌運動，得到了系統參數對動力學行為的影響。Akhavan等[4]借助振動模態、Ye等[5]利用多尺度法和數值模擬方法分別探討了復合材料板的穩定性、分岔和混沌動力學。此外，Guo等[6-9]研究了復合材料壓電板的分岔和混沌運動，發現了系統豐富的動力學行為。雖然對于復合材料板的非線性動力學問題有了一系列的研究，但大多采用數值模擬方法，理論分析研究較少。為了更好地設計結構參數，利用理論分析和數值模擬相結合的方法研究復合材料矩形懸臂板的穩定性和分岔行為是非常重要的。

規范型理論在非線性動力學系統的研究中得到了廣泛應用，目前主要利用郁培等[10-12]給出的規范型方法分析系統的局部分岔。它的基本思想是引入一個近恒同變換，構造初始微分方程的最簡單形式。由于規范型在奇點附近保持了原系統的動力學特性，因此可以利用規范型理論研究原系統的穩定性和局部分岔行為。近來，已經利用Maple等軟件得到了求解規范型的計算程序。

本文主要利用理論分析和數值模擬兩種方法研究面內激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板的局部動力學行為。利用Maple程序得到了原系統方程的規范型，詳細討論了3種退化平衡點情形下的穩定性、靜態分岔、Hopf分岔和2-D圓環面分岔。利用正規型理論得到了系統的穩定性條件以及發生靜態分岔、Hopf分岔和2-D圓環面分岔的轉遷曲線。此外，應用四階Runge-Kutta算法對理論分析結果進行數值模擬，驗證了理論分析結果的正確性。

1 問題陳述

面內激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板模型如圖1所示。板在x和y方向的寬度和長度分別為a和b，厚度為h。在y=0和y=b處沿著y方向的面內激勵為F=F0+F1cosωΩ1t，其中Ω1為面內激勵的頻率。其橫向運動的系統方程[3]為：

(1)

其中f表示面內激勵的振幅，其他系數詳見Zhao等[3]的研究。

圖1 復合材料矩形懸臂板模型

本文主要考慮1:2內共振和主參數共振，共振關系為：

ω22=Ω2+εσ2,Ω1=Ω2=1,

(2)

其中ω1和ω2是線性固有頻率，σ1和σ2為調諧參數，利用多尺度法可以得到四維系統方程[3]如下：

(3)

系統方程(3)在初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為：

(4)

因此可以得到其特征多項式為：

f(λ)=λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4

(5)

其中，

b1=μ1+μ2,

(6)

利用Hurwitz準則[2]，可得到初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的漸近穩定性條件為：

(7)

相應地，如果條件(7)不滿足，則初始平衡點失去穩定性，系統(3)可能會發生分岔。下面將分3種情形詳細討論當條件(7)不滿足時系統方程(3)的穩定性和分岔行為。

2 穩定性和分岔分析

阻尼系數通常會對系統的動力學行為產生重要的影響。因此，在以下3種情況分析中選擇系統參數μ1和μ2作為擾動參數。

2.1 一對純虛特征根

β4=1，則b1=b2=b3=3，b4=2。特征多項式(5)的特征根為λ1,2=±i，λ3=-1，λ4=-2。

選擇μ1和μ2為擾動參數，利用參數變換μ1=3+ζ1，μ2=ζ2，則特征多項式(5)變換為：

(8)

其中，

(9)

因此，可以得到初始平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)的穩定性條件為：

(10)

即：

ζ1+ζ2+3>0,

(11)

由不等式(11)可以得到4條轉遷曲線Li(i=1,2,3,4)，如圖2所示。

圖2 一對純虛特征根時的轉遷曲線

L1:ζ1+ζ2+3=0,

(12)

顯然，參數ζ1和ζ2取值于區域I時，初始平衡點(E.S.)是穩定的，而當參數ζ1和ζ2從區域II中取值時，系統發生分岔，產生了穩定的極限環。

基于系統方程(3)，利用四階Runge-Kutta算法進行數值模擬。在區域I中取參數值為(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)時，從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)出發的數值解收斂于原點，說明初始平衡點漸近穩定(見圖3)。在區域II中取參數值(ζ1,ζ2)=(-0.2,-0.2)，初始點(x1,x2,x3,x4)=(-0.01,0.02,0.03,-0.02)時，系統發生分岔，產生了穩定的極限環(見圖4)。

圖3 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖4 當(ζ1,ζ2)=(-0.2,-0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(-0.01,0.02,0.03,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

2.2 一個零特征根和一對純虛特征根

(13)

則系統方程(3)變換為：

(14)

當ζ1c=ζ2c=0時，系統(14)在初始平衡點(z1,z2,z3,z4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為：

(15)

其在臨界點附近的動力學行為和z1，z2以及z3有關。引入近恒等非線性變換zi=yi+gi(yi)及變換y1=y，y2=rcosθ，y3=rsinθ，y4=y4，可得系統(14)的規范型為：

(16)

且有：

(17)

(1)初始平衡點(E.S.)：y=r=0，

(3)一次Hopf分岔解 (H.B.(I))：y=0，

方程(16)的Jacobi矩陣為：

(18)

依據Jacobi矩陣(18)來討論以上4個平衡解的穩定性和分岔行為。

由E.S.對應的Jacobi矩陣，可以得到其穩定性條件為：

ζ1>0,ζ2>0

(19)

對應的參數區域如圖5所示，區域的兩條臨界曲線為L5：ζ1=0(ζ2>0)和L6：ζ2=0(ζ1>0)。通過分析可知，初始平衡點通過轉遷曲線L5分岔出靜態分岔解，根據對應的Jacobi矩陣可以確定靜態分岔解的穩定性條件為：

ζ1<0，3ζ1+ζ2>0

(20)

于是得到另外一條邊界曲線為L7：3ζ1+ζ2=0(ζ1<0)。

計算H.B.(I)的Jacobi矩陣，有：

(21)

則當條件(22)滿足時，H.B.(I)是穩定的，穩定區域的邊界曲線為L6和L8：ζ1-2ζ2=0(ζ2<0)。

-ζ1+2ζ2<0，ζ2<0

(22)

當-ζ1+2ζ2>0且3ζ1+ζ2<0時，分岔出H.B.(II)，為了研究H.B.(II)的穩定性，計算其對應的Jacobi矩陣為：

(23)

因此，穩定性條件為：

(24)

顯然，條件Det=112y2r2>0恒成立。根據以上分析，則H.B.(II)穩定區域的邊界曲線是L7和L8。分岔曲線如圖5所示。

圖5 一個零特征根和一對純虛特征根時的轉遷曲線

類似地，從圖5中不同區域選取參數值來驗證以上理論分析結果。分別在4個平衡點穩定區域取參數值(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)、(ζ1,ζ2)=(-0.05,0.2)、(ζ1,ζ2)=(0.2,-0.2)及(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.2)，從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0,-0.01,0,0.01)、(x1,x2,x3,x4)=(0.04,-0.05,-0.01,0.02)、(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0,0,-0.02)及(x1,x2,x3,x4)=(0.5,-0.4,-0.2,0.2)出發的數值解分別收斂于原點、靜態分岔解以及出現了穩定極限環(見圖6～圖9)。從圖6～圖9可以發現，所有數值結果和理論結果一致，表明了理論分析的正確性。

圖6 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0,-0.01,0,0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖7 當(ζ1,ζ2)=(-0.05,0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.04,-0.05,-0.01,0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖8 當(ζ1,ζ2)=(0.2,-0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0,0,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖9 當(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.2)，(x1,x2,x3,x4)=(0.5,-0.4,-0.2,0.2)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

2.3 兩對純虛特征根

(25)

方程(3)變換為：

(26)

令ζ1c=ζ2c=0，系統(26)在初始平衡點(z1,z2,z3,z4)=(0,0,0,0)的Jacobi矩陣為

(27)

同時利用線性變換zi=yi+gi(yj)及變換y1=r1cosθ1，y2=r1sinθ1,y3=r2cosθ2，y4=r2sinθ2，可以得到系統方程(26)的規范型為：

(28)

且有：

(29)

(1)初始平衡點 (E.S.)：r1=r2=0，

(2)一次Hopf分岔解(H.B.(I))：

(3)二次Hopf分岔解(H.B.(II))：

(4)擬周期解(2-D tori)：

方程(28)的Jacobi矩陣為：

(30)

類似于2.2的分析方法，根據Jacobi矩陣(30)，可以得到E.S.、H.B.(I)和H.B.(II)的穩定區域分別為(1)ζ1>0，ζ2>0；(2)ζ1<0 ，2ζ1+ζ2>0；(3)ζ1-ζ2>0，ζ2<0。同時發現，只要存在2-D圓環面，都是穩定的。穩定區域對應的轉遷曲線分別記為L9：ζ1=0(ζ2>0)、L10：ζ2=0(ζ1>0)、L11：2ζ1+ζ2=0以及L12：ζ1-ζ2=0，如圖10所示。

圖10 兩對純虛特征根時的轉遷曲線

從圖10中平衡點的穩定區域分別選取參數值來驗證理論分析結果。參數取值(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)、(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.3)、(ζ1,ζ2)=(0.1,-0.1)及(ζ1,ζ2)=(-0.0001,0.0001)，由數值模擬結果可以發現從初始點(x1,x2,x3,x4)=(0,0.01,0,-0.02)、(x1,x2,x3,x4)=(0.05,0.02,0.01,-0.01)、(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)及(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0.03,-0.03,0.01)出發的數值解分別收斂于原點、出現了穩定極限環和2-D圓環面，如圖11～圖14所示。

圖11 當(ζ1,ζ2)=(0.1,0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0,0.01,0,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖12 當(ζ1,ζ2)=(-0.1,0.3)，(x1,x2,x3,x4)=(0.05,0.02,0.01,-0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖13 當(ζ1,ζ2)=(0.1,-0.1)，(x1,x2,x3,x4)=(0.02,-0.01,0.01,-0.02)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

圖14 當(ζ1,ζ2)=(-0.0001,0.0001)，(x1,x2,x3,x4)=(0.01,0.03,-0.003,0.01)時，平面(x1,x2)和(x3,x4)內的相圖

3 結論

本文主要研究了面內激勵下超音速氣流中復合材料矩形懸臂板的動力學行為，詳細討論了3種退化平衡點的穩定性和分岔行為。選取μ1和μ2為擾動參數，利用參數變換和狀態變量變換，得到了平衡點的穩定性條件和穩定區域。利用規范型理論，確定了系統發生靜態分岔、Hopf分岔和2-D圓環面分岔的轉遷曲線，應用四階Runge-Kutta算法對所有理論分析結果進行數值模擬，驗證了理論分析結果的正確性。從數值模擬結果可以發現，當系統參數μ1、μ2和初始條件取不同值時，系統的相圖不同，說明系統阻尼系數和初始條件對復合材料矩形懸臂板的動力學行為有較大的影響。因此，可以通過改變系統參數來控制系統的非線性振動。在航天器、汽車和潛水艇等進行結構設計時，需要考慮因結構參數可能會表現出的顯著非線性動力學行為，本文的研究結果對于復合材料矩形懸臂板等一些力學系統的特性分析及設計具有一定的參考價值。