框架—自復位墻結構彈性地震反應分析的簡化方法

劉漢賦，陸 晨，胡曉斌

(武漢大學土木建筑工程學院，武漢 430072)

地震具有極強的破壞性和毀滅性，可能給社會和經濟各方面造成無法估量的損失。傳統的抗震結構在強烈的地震作用下，可能會產生較大的殘余位移[1]，因而難以恢復正常使用，甚至不得不拆除。而自復位結構在震后幾乎不產生殘余位移，無需修復或經過少量修復便可以正常使用，因此在地震工程領域引起了廣泛關注[2]。具有自復位性能的構件包括自復位墻(或搖擺墻)、自復位梁柱節點、自復位支撐等，由此可形成不同的自復位結構，如自復位墻結構、自復位框架結構、自復位框架-支撐結構[3?7]?？蚣?自復位墻結構是由自復位墻結構和框架結構組合而成的一種新型結構形式，主要由自復位墻、框架以及連系梁組成。

近年來，少數學者對框架-自復位墻結構的抗震性能進行了深入研究。在數值分析方面，Ajrab等[8]使用DRAIN-2DX 對框剪結構以及搖擺墻-框架結構進行了非線性時程分析，結果表明：與框剪結構相比，框架-搖擺墻結構在地震作用下層間位移分布更加均勻。Wada 等[9]采用ABAQUS 分析了增加搖擺墻前后框架結構在地震作用下的動力響應，結果表明增加搖擺墻后框架結構的地震響應顯著降低。胡曉斌等[10]通過時程分析的方法比較了附加自復位墻前后框架結構的動力響應，結果表明：附加自復位墻后框架結構的動力響應減小且基本不產生殘余位移。Sun 等[11]研究了布置阻尼器的基礎鉸接式搖擺墻-框架結構的力學性能，結果表明：結構響應可以達到設計時的目標性能水平，其中結構位移角小于目標值，且不存在薄弱層的失效。吳守君等[12]提出了框架-搖擺墻結構的分布參數模型，并利用該模型分析了搖擺墻剛度對結構側移分布、搖擺墻和框架承載力的影響，研究結果表明：搖擺墻能使塑性鉸的分布更加均勻，增設預應力鋼筋和金屬屈服型阻尼器提高了結構耗能能力，減小了結構的殘余變形。楊樹標等[13]提出了一種新型的搖擺填充墻-框架結構，并進行了靜力非線性分析，結果表明：在墻體搖擺之后搖擺填充墻能夠改變結構層間變形分布，使結構層間變形趨于均勻，結構破壞機制變為整體型破壞，有效提高了框架結構的延性。

在試驗研究方面，Toranzo 等[14]較早開展了框架-自復位墻結構縮尺模型的振動臺試驗，試驗表明結構沒有出現殘余變形，并且墻體底部角點處的撞擊區域保持完整。張富文等[15]提出了框架-搖擺墻結構連接節點的新型構造方法，并通過擬靜力試驗，對比研究了框架-搖擺墻結構與框架結構的抗震性能，結果表明框架-搖擺墻結構具有震后可恢復的特性。董金芝等[16]提出了一種框架-預應力搖擺墻新型結構形式，并開展一榀框架試件和一榀框架-預應力搖擺墻試件的擬靜力試驗，結果表明：框架-預應力搖擺墻結構的破壞有效地集中在耗能連接件上，梁端、柱端以及梁柱節點區的破壞相對較輕；極限承載能力提升顯著，耗能能力較對比框架大幅提升，且各層層間變形趨于均勻。蔣璐等[17]研發了一種受控搖擺墻，結果表明設置碟形彈簧的框架-搖擺墻較對比框架承載力有較大提高，且具有更好的剛度退化性能與耗能性能，框架結構的變形模式得到改善，各層的層間位移趨于均勻。

由上述可知，目前對框架-自復位墻結構的研究還較少，且主要表現在數值模擬與試驗研究層面，而在理論層面很少，尤其在地震響應分析方面。此外，我國規范采用了“三水準、二階段”的抗震設計思路，為了滿足第一階段抗震設計的需要，有必要針對框架-自復位墻結構開展彈性地震反應分析方法研究。因此，本文針對框架-自復位墻結構，首先提出簡化分析模型，建立其在地震激勵下的運動方程，給出相應的Simulink 動態仿真模型，然后針對一個典型的算例，分別采用本文的方法及有限元方法進行彈性地震響應對比分析，以驗證本文方法的計算精度。本文的研究成果可為框架-自復位墻結構的抗震設計提供重要的理論支撐。

1 框架-自復位墻結構簡化分析模型

借鑒框架-剪力墻結構的受力分析思路[18]，可以將框架-自復位墻結構沿受力方向簡化成平面結構(如圖1 所示)，主要包括：自復位墻、連系梁及框架。對于自復位墻，在其底部設置水平縫，墻體可繞兩端產生轉動，此外假設預應力筋沿豎向布置在中部，阻尼器布置在墻體底部兩側。

圖1 框架-自復位墻結構計算簡圖Fig. 1 Schematic diagram of framed self-centering wall (FSCW) structure

已有試驗研究表明[19?20]，對于高寬比不大的自復位墻，在往復荷載作用下僅底部兩端有輕微損傷，而整體上仍為剛體。因此，為簡化分析，可將自復位墻簡化為剛體，框架部分簡化為多自由度體系，從而將框架-自復位墻結構簡化為剛體-多自由度體系。按照是否考慮連系梁與自復位墻之間的約束[18]，上述剛體-多自由度體系還可分為鉸接體系與剛度體系。二種體系的分析思路較為類似，為節省篇幅，本文僅針對框架-自復位墻結構鉸接體系(如圖2 所示)進行研究。

圖2 框架-自復位墻結構鉸接體系Fig. 2 Pin-jointed system of FSCW structure

2 地震激勵下框架-自復位墻結構運動方程

根據圖2 所示的分析模型，可建立地震激勵下框架-自復位墻結構的運動方程。由于進行彈性地震反應分析，因此除墻體及阻尼器外，其余各部分均假設為彈性。分析時假設墻體順時針轉動為正，水平位移向右為正。

2.1 墻體逆時針轉動

2.1.1 運動方程的建立

在圖2 中，在連系梁處沿豎向將自復位墻-框架結構剖開，分別得到墻體及框架部分的受力簡圖，如圖3 所示，其中：l為自復位墻對角線長度的一半；m、b及h分別為墻體的質量、寬度及高度；α 為墻體對角線與垂直線之間的夾角；θ 為墻體轉動的角度；x為墻體頂點的水平位移；u¨g為地面運動加速度。

圖3 墻體逆時針轉動時受力簡圖Fig. 3 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates counterclockwise

假設墻體繞O′轉動，墻體轉動時產生的切向慣性力、徑向慣性力以及轉動慣性力矩分別為fIt、fIr及MI；預應力筋、左側阻尼器以及右側阻尼器的恢復力分別為fp、f1及f2；預應力筋的初始荷載和彈性剛度分別為fp0、kp；框架部分第i個質點的慣性力、阻尼力及恢復力分別為fIi、fci及fri，水平相對位移為xi，質量、層剛度及高度分別為mi、ki、hi；自復位墻與框架第i個質點之間的水平相互作用力為pi。

對于墻體，假設不考慮阻尼，根據達朗貝爾原理，對O′點取矩，列出力矩平衡方程如下：

其中，a、b為阻尼矩陣系數，可用如下公式確定：

式(7)即為墻體逆時針轉動時框架-自復位墻結構在地震激勵下的運動方程?？梢钥闯?，利用本文提出的簡化分析模型，可將原多自由度體系轉化成單自由度體系，因此求解得到大大簡化。

2.1.2 運動方程的簡化

由式(7)可以看出，該方程為高度非線性微分方程，求解起來較為困難，需要進一步將其簡化。

阻尼器是典型的滯回元件，需要采用滯回模型描述其滯回行為。但由于本研究開展的彈性地震反應分析，為簡化起見，假設其始終處于屈服狀態，則有：式中，fd表示阻尼器的屈服力。該假設對于屈服力較小的金屬阻尼器或摩擦型阻尼器是近似成立的。

此外，由墻體小轉動假設可得：

將式(8)、式(9)代入式(7)，并利用式(6)，可化簡得到：

其中：

式(14)即為墻體逆時針轉動時框架-自復位墻結構在地震激勵下運動方程的簡化形式，該方程為二階常微分方程，求解較容易。

2.2 墻體順時針轉動

假設墻體繞O點轉動，如圖4 所示。對于墻體，假設不考慮阻尼，根據達朗貝爾原理，對O點取矩，列出力矩平衡方程如下：

圖4 墻體順時針轉動時受力簡圖Fig. 4 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates clockwise

由式(15)、式(17)及式(6)，可得：

式(18)即為墻體順時針轉動時框架-自復位墻結構在地震激勵下的運動方程。與上節類似，利用式(8)、式(9)及式(6)，對式(18)進行化簡可得：

式(14)與式(19)分別為地震激勵下框架-自復位墻結構在墻體逆時針和順時針轉動時的運動方程。不考慮墻體底部與地面碰撞時的能量損失，將上面二式進行合并，可得：

式(20)即為地震激勵下框架-自復位墻結構鉸接體系的綜合運動方程。

3 框架-自復位墻結構彈性地震反應求解

由第2 節可以看出，獲取框架-自復位墻結構彈性地震反應的關鍵在于求解式(20)，以得出墻體或框架頂點的響應，進而根據相關的條件求得其他響應，如各層的位移、框架部分各質點的慣性力等。因此，本節重點給出式(20)的求解方法。值得注意的是，盡管式(14)與式(19)分別為二階常系數線性微分方程，但其合并式(20)為一非線性方程，難以給出解析解，需要采用數值方法求解。

本節采用MATLAB/Simulink，建立與式(20)相應的動態仿真模型，如圖5 所示。可以看出，該動態仿真模型比較簡單，需要輸入的參數主要包括二類：一是地面運動加速度u¨g；二是各增益模塊中的增益值，包括2ωξ、ω2、 γ 及 α。求解時采用ode23tb 求解器。

圖5 Simulink 動態仿真模型Fig. 5 Simulink dynamic simulation model

4 應用及驗證

前述二節給出了框架-自復位墻結構彈性地震反應的分析方法，其實質上是將原體系等效成一個單自由度體系，因此計算量小，計算效率高。但是，該方法在推導過程中采用了一些假設，因此有必要對其計算精度進行檢驗。本節針對一個典型的框架-自復位墻結構算例，分別采用本文提出的方法及ABAQUS 軟件進行對比分析，以驗證本文方法的分析精度。

4.1 分析對象概況

圖6 所示為一個典型的6 層框架-自復位墻結構，自復位墻厚度為0.24 m、寬度為3 m、層高為3 m，總高度為18 m，墻體底部兩端布置有阻尼器，阻尼器的屈服力fd為7.1 kN，墻體中部沿豎向設置一根豎向預應力筋，初始力fp0為50 kN，彈性剛度kp為4.272 ×106N/m。自復位墻、連系梁以及框架均采用C30 混凝土，彈性模量為3×104MPa，密度為2400 kg/m3。

圖6 算例尺寸及配筋詳圖 /mmFig. 6 Dimensions and details of typical FSCW structure

4.2 地震波選取

考慮到地震動的離散性，選取7 條地震波進行彈性時程分析，如表1 所示，包括：從PGMD數據庫[21]中選取的6 條天然波(LA1～LA6)；采用本課題組開發的選波系統SWS[22]生成的1 條人工波(LA7)。

表1 選取的地震波Table 1 Selected seismic waves

4.3 彈性地震響應分析

采用集中質量法計算自復位墻的質量及框架各質點的質量，使用D 值法[18]計算框架部分各層的剛度。采用國際單位，可求出式(20)中各參數值如下：ξ=0.035，ω=17.273 rad/s，γ=1.4105，α=1.0081 m/s2。代入上述參數，利用Simulink 動態仿真模型求解式(20)，可求得上述7 條地震波作用下所給算例的頂點水平位移及加速度響應。

4.4 ABAQUS 對比分析

4.4.1 ABAQUS 建模

采用ABAQUS 軟件建立所給算例的有限元模型，如圖7 所示。整個模型由混凝土基礎、自復位墻、預應力筋、阻尼器、連系梁以及框架6 部分組成，其中基礎用來模擬自復位墻的轉動，其底部固定，自復位墻與基礎之間定義面面接觸。混凝土和預應力筋均設置為彈性材料。自復位墻和連系梁分別采用殼單元(S4R)和梁單元(B31)模擬；為模擬二者之間的鉸接，首先采用Merge 功能直接連接，然后通過關鍵字“release”來釋放約束。采用Tie 連接，將預應力筋分別連至墻頂及基礎頂面。阻尼器采用Axial 連接器模擬，假設其為摩擦阻尼器，本構模型采用理想塑性模型，屈服力為7.1 kN?？蚣懿糠指髻|點通過Translator 連接器模擬。

圖7 ABAQUS 模型Fig. 7 ABAQUS model

4.4.2 計算結果

采用上述ABAQUS 模型，計算得到算例在7 條地震波作用下的彈性地震響應，部分地震波作用下框架頂點相對水平位移時程及絕對加速度時程分別如圖8、圖9 所示?？梢钥闯觯涸谡w上，采用本文方法與ABAQUS 模擬所得結構的頂點位移時程曲線和加速度時程曲線具有較好的一致性；兩種方法也存在一定的差異，其主要原因在于本文所建立的簡化分析模型采用了一些必要的假定。

圖8 位移時程曲線對比Fig. 8 Comparison of displacement time - history curves

圖9 加速度時程曲線對比Fig. 9 Comparison of acceleration time - history curves

兩種方法計算得到的結構頂點最大相對水平位移和最大絕對加速度分別如表2 和表3 所示，相應的條狀圖如圖10 所示?？梢钥闯觯撼贁档卣鸩?如LA6)外，大部分地震波所得結果誤差很??；在總體上，本文方法與 ABAQUS 模擬所得的相對位移和絕對加速度最大值誤差較小，平均值在10%左右，在工程上是可以接受的。

圖10 計算結果對比Fig. 10 Comparison of calculation results

表2 結構頂點最大相對位移 /mmTable 2 Maximum relative displacement on top of structure

表3 結構頂點最大絕對加速度 /(m·s?2)Table 3 Maximum absolute acceleration on top of structure

由上述可知，在7 條地震波作用下，兩種方法計算得到的結構頂點位移及加速度響應吻合得較好，誤差處于可接受的范圍。因此，本文提出的方法，可用來近似計算地震激勵下框架-自復位墻結構的彈性地震響應，且其分析效率很高。

5 結論

本文針對框架-自復位墻結構，將自復位墻假定為剛體，框架簡化為多自由度體系，得到了“剛體-多自由度體系”分析模型，建立了地震激勵下的運動方程，給出了相應的Simulink 動態仿真模型。針對典型算例，在多條地震波激勵下，采用本文方法進行了彈性地震響應分析，并與ABAQUS 模擬結果進行了對比。基于本文的研究，可以得到以下主要結論：

(1)利用“剛體-多自由度體系”分析模型，將原體系等效成一個單自由度體系，可以大大簡化框架-自復位墻結構在地震作用下的響應分析。

(2)本文方法及ABAQUS 模擬得到的結構頂點位移及加速度在總體上吻合較好，表明本文提出的簡化方法具有較高的分析精度，能進一步應用于框架-自復位墻結構的抗震設計。