考慮磁場影響的磁性形狀記憶合金分段線性化超彈性本構模型研究

陳 超，陳 鑫，劉 濤，孫 勇，還 毅，唐柏鑒

(1. 蘇州科技大學江蘇省結構工程重點實驗室，蘇州 215011；2. 江蘇省住房和城鄉建設廳，南京 210036；3. 江蘇省建筑科學研究院有限公司，南京 210008；4. 中央軍委后勤保障部工程質量監督中心，北京 100373)

自20 世紀60 年代被發現以來，傳統形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)的溫控形狀記憶效應和超彈性效應受到廣泛關注，其應用于醫療、土木[1?5]、機械工程等領域的研究已較為成熟。隨著對SMA 研究的不斷深入，傳統形狀記憶合金在實際應用中的局限性開始顯現。為此，研究人員推測這種形狀記憶效應可以通過對馬氏體狀態下的鐵磁合金施加磁場得到，并著手開始研發。1996 年，Ullakko 等[6]首次在Ni2MnGa 單晶中獲得0.2%的磁致可恢復應變，磁性形狀記憶合金(Magnetic Shape Memory Alloy，MSMA)的研究開始受到關注。

MSMA 不僅與SMA 一樣，其變形可以受溫度和應力控制，還可以受磁場控制，且具有較大的輸出應變。傳統SMA 變形機制主要有馬氏體相變和馬氏體重定向兩種，而MSMA 變形機制則更為復雜，除馬氏體相變和馬氏體重定向外，還存在磁疇旋轉以及疇壁運動兩種與磁性相關的變形機制。根據MSMA 變形誘發條件不同，MSMA 的磁-力耦合變形機制可以總結為以下四類[7]：1)磁場誘發馬氏體重定向；2)應力誘發馬氏體重定向；3)磁場誘發馬氏體相變；4)應力誘發馬氏體相變。

材料本構模型既是MSMA 熱-磁-力學內在變形機制的重要表征，也是MSMA 走向工程應用的重要基礎。為此，國內外學者基于不同的理論、從不同的角度提出了一系列MSMA 磁-力耦合本構模型。陳鑫等[8]對已建立的MSMA 本構模型進行了綜述，指出統一的、面向工程應用的簡化模型有待進一步研究。馮元慧[9]基于熱力學原理，建立了磁性形狀記憶合金的熱-磁-力耦合本構模型。Chen 等[10]考慮溫度效應，建立了可以描述MSMA在三維加載工況下馬氏體重定向行為的力學模型。LaMaster 等[11]提出了基于熱力學原理的MSMA 連續介質模型，精準描述了MSMA 在任意三維加載下的力學行為。Auricchio 等[12]從晶體學基本原理出發，考慮三個馬氏體變體，建立了三維單晶唯象本構模型，對MSMA 在復雜加載條件下的馬氏體相變和重定向過程給出了合理的描述及預測。龔臣成等[13]基于熱力學及能量耗散概念，推導了一種MSMA 的磁-力耦合三維唯象本構關系，通過內變量的形式模擬微觀相結構及磁結構的演化，該模型考慮了馬氏體重定向過程及馬氏體逆重定向過程。胡升謀[14]基于實驗數據，結合能量守恒定律與熱力學理論，利用參數辨識方法，預測了多場耦合變量曲線，構建了MSMA 多場耦合模型。Mousavi 和Arghavani[15]建立了一個能更全面描述MSMA 變形行為的三維宏觀唯象本構模型，該模型考慮了三種與磁致應變相關的變形機制，即馬氏體重定向、疇壁運動和磁疇旋轉，對MSMA變形機制進行了較為全面的描述。Rogovoy 等[16]建立了一個模型用于描述磁場控制MSMA 變形過程，并利用已有的實驗數據對模型進行了驗證。Jafarzadeh 等[17]對MSMA 進行相關實驗，研究了加載歷史對MSMA 重定向的影響，并在此基礎上建立了一個關于MSMA 的唯象模型。Bartel 等[18]依賴于能量松弛的概念提出了一種MSMA 本構模型框架，用以預測微觀結構演化。Chen 等[19]進一步改進了其于2014 年提出的相變本構模型，并將其應用于質量-彈簧結構中，分析了Zhang 等[20]發現的高頻磁場作用下的MSMA 力學行為。Yu 等[21]通過引入內部狀態變量，在熱力學框架下建立了多晶MSMA 的熱-磁-機械耦合模型，該模型論述了磁化過程中發生的退磁效應，并通過相應實驗，對模型進行驗證。Shi 等[22]分析了MSMA 磁誘導應變的原理及相應的本構方程，并搭建試驗平臺證明了MSMA 在執行器應用中的優越性。Bartel等[23]基于能量理論建立了MSMA 建模框架，檢驗了簡單加載情況下的二維模型，并對較為復雜的加載情況(非比例雙軸應力、正交磁場)進行響應預測。

目前，針對MSMA 建立的本構模型大多基于熱動力學、細觀力學等理論，通過嚴密的力學推導獲得，此類模型在理論研究和材料性能精確描述方面存在一定的優勢，但往往表達形式復雜、物理參數多、參數標定難、計算效率低等問題，給MSMA 的工程應用帶來了一定的困難。因此，如何確定關鍵參數，進而在滿足工程精度的基礎上簡化復雜的理論模型，使其滿足形式簡單、參數少、效率高等工程應用需求，是MSMA 走向工程應用的關鍵之一。

因此，本文將圍繞MSMA 在環境溫度處于馬氏體相變完成溫度Mf以下時，應力誘發馬氏體重定向的力學行為描述進行研究。Karaca 等[24]、Chen 等[10]和Feigenbaum 等[25]均已對該變形機制進行了理論闡述，本文將在上述研究的基礎上，統計分析Couch 等[26]、劉小雙[27]、Straka 等[28]、Sarawate等[29]的材料試驗數據，基于經典塑性理論框架，建立考慮磁場影響的MSMA 分段線性化超彈性本構模型，以期準確預測MSMA 在不同環境磁場下的應力-應變曲線。首先，根據MSMA 超彈性特性，建立其一維分段線性化本構模型；隨后，利用塑性理論框架，擴展建立MSMA 多維分段線性化本構模型；再根據試驗數據建立基于Logistic 函數的臨界應力-磁場關系函數；最后，從滯回曲線和滯回耗能兩個方面對比理論模型與試驗結果的誤差。

1 超彈性MSMA 應力-應變關系描述

1.1 完全加卸載下MSMA 應力-應變關系

研究相關文獻中已有的MSMA 力學性能試驗結果[30]，結合已有本構模型，考慮對MSMA 受磁場影響的超彈性特性預測的工程應用要求，作如下基本假定：

1)在外部環境磁場強度和溫度一定的情況下，根據MSMA 在應力作用下的受力特點，完全加載下其各狀態(完全單一應力擇優取向馬氏體變體狀態、應力擇優取向馬氏體變體、磁場擇優取向馬氏體變體相互過渡狀態以及完全單一磁場擇優取向馬氏體變體狀態)一維應力-應變關系曲線簡化為四折線形式(圖1)；

圖1 完全加載下MSMA 分段線性化應力-應變關系Fig. 1 Segment linearized stress-strain relationship of MSMA under fully loading

2) MSMA 始終在最大可恢復應變范圍內工作，同時環境磁場H始終處在馬氏體逆重定向完成磁場以上；

3) MSMA 塑性不可壓縮，忽略重定向及逆重定向過程引起的體積變化；

4) MSMA 發生馬氏體重定向和逆重定向的臨界應力與外部環境磁場有關；

5)不考慮MSMA 在外加磁場作用下出現的退磁效應。

σs(1,2)σf(1,2)σs(2,1)σf(2,1)

圖1 中：、、、分別為馬氏體重定向開始應變和結束應力、馬氏體逆重定向開始應力和結束應力。由圖可得臨界應力和臨界應變的關系如下：

1.2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 應力-應變關系

在加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下，由相關試驗結果及MSMA 本構模型理論曲線可知：MSMA 重定向及逆重定向過程應力-應變曲線接近于直線，為簡化分析，將重定向及逆重定向曲線段簡化為直線段，起始點為重定向開始點，終點為重定向完成點；同樣，將逆重定向曲線段簡化為直線段，起始點為逆重定向開始點，終點為逆重定向完成點。建立MSMA 超彈性分段線性化模型如圖2 所示。

圖2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 分段線性化應力-應變關系Fig. 2 MSMA segment linearized stress-strain relationships for incomplete unloading and incomplete loading

2 MSMA 分段線性化超彈性本構模型

2.1 馬氏體重定向方程

2.2 馬氏體重定向和逆重定向起始面微分方程

在MSMA 在重定向及逆重定向過程中，類比馬氏體重定向誘發的應變為塑性應變，則彈性應變張量增量和塑性應變增量之和為Green-Lagrange應變張量，即：

式中：Λmn為重定向張量，在馬氏體重定向及逆重定向過程中值不同；dξσ為應力擇優取向馬氏體變體的體積百分數增量，則由式(5)、式(6)、式(7)可得：

為簡化模型表達，且考慮應用時磁場方向多平行于晶體的易磁化軸，應力方向垂直于晶體易磁化軸，假定MSMA 具有各向同性的物理性質。因此，在建立MSMA 簡化力學模型時，選用各向同性屈服面作為判斷重定向起始的依據，假設在MSMA 應力誘發馬氏體重定向、逆重定向過程中起始面方程[31]為：

2.3 MSMA 分段線性化多維本構模型

將式(8)、式(12)、式(13)代入式(11)，可得：

由式(7)、式(10)和式(23)可得：

2.4 MSMA 超彈性效應過程描述

上述本構模型可以反映磁場作用下的MSMA超彈性效應：當H≥Hf(2,1)時，MSMA 在外力作用下，磁場擇優取向馬氏體變體開始發生彈性變形，當外力增加到某一值時，開始誘發馬氏體重定向，即磁場擇優取向馬氏體變體在外力作用下逐漸轉變為應力擇優取向馬氏體變體，這個過程可以由式(22)來描述；當卸載后，由于外部磁場的存在，應力擇優取向馬氏體變體在無外力作用時無法穩定存在，這樣應力擇優曲線馬氏體又會自動逐漸轉變為磁場擇優取向馬氏體變體，于是MSMA 又恢復到原來的形狀，這個過程可以由式(33)描述。

為判斷材料使用彈性本構關系還是塑性本構關系，定義加卸載準則如下：

3 重定向及逆重定向臨界應力確定

為研究MSMA 臨界應力和磁場的關系，Couch 等先后采用線性函數和多項式函數[26]對不同環境磁場下MSMA 臨界應力進行預測。本文在上述研究的基礎上，進一步對比分析了MSMA 臨界應力和磁場的變化關系，提出采用Logistic 函數作為臨界應力和磁場的關系函數，上述函數具體形式見表1。

表1 臨界應力-磁場關系函數Table 1 Critical stress magnetic field relation function

利用現有文獻中4 組MSMA 的材性試驗數據(材料參數見表2)，分別對線性函數、多項式函數和Logistic 函數的關鍵參數進行擬合。首先，利用4 組試驗數據同時對上述3 種函數進行擬合(圖3)，隨后，分別采用4 組數據對上述3 種函數進行擬合(圖4～圖7)。采用擬合優度R2作為反映函數與數據擬合效果的參數，其值越接近1，表明擬合效果越好，上述擬合過程得到的R2值見圖3～圖7中數值，其平均值見表3，對比可見：1)對比圖中數據點分布，可見臨界應力與磁場大小呈顯著的S 形分布，因此采用S 形函數進行擬合更為合理；2) 3 種臨界應力-磁場關系函數中，線性函數擬合效果最差，Logistic 函數擬合效果最好，單一材料試驗數據擬合時，平均R2值可達0.993，多項式函數擬合效果略差于Logistic 函數；3)由于不同文獻中的試驗條件和材料略有不同，因此4 組數據同時擬合時的效果要明顯差于各組數據分別擬合的結果，Logistic 函數預測的各臨界應力平均R2值前者為0.945，后者為0.993。上述對比可見，Logistic 函數用于預測臨界應力-磁場關系無論從形式上，還是從精度上都相比其余兩個函數更優，擬合后的Logistic 函數各參數取值見表4。

表2 文獻試驗數據及對應材料參數Table 2 Literature test data and corresponding material parameters

表3 擬合優度R2 平均值Table 3 Average value of goodness of fit R2

表4 臨界應力表達式參數Table 4 Parameters of critical stress expression

圖3 四組試驗數據擬合結果Fig. 3 Fitting results of four groups of test data

圖4 Couch[26]試驗數據擬合結果Fig. 4 The fitting results of Couch[26]

圖5 劉小雙[27]試驗數據擬合結果Fig. 5 The fitting results of Liu[27]

圖6 Straka[28]試驗數據擬合結果Fig. 6 The fitting results of Straka [28]

圖7 Sarawate[29]試驗數據擬合結果Fig. 7 The fitting results of Sarawate[29]

4 模型數值模擬精度對比分析

利用本文第3 節臨界應力-磁場關系函數，結合第2 節建立的MSMA 本構模型，根據表2 所給材料參數，計算不同磁場下MSMA 滯回曲線，并與試驗結果進行對比，如圖8～圖11 所示。由圖可見，本文所建立模型的滯回曲線與試驗所得曲線形一致，馬氏體重定向及逆重定向的開始與結束臨界應力接近，即該理論模型能較好的描述MSMA的應力-應變關系。

圖8 理論模型數值模擬結果與Couch[26]試驗值對比Fig. 8 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Couch[26]

圖9 理論模型數值模擬結果與劉小雙[27]試驗值對比Fig. 9 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Liu[27]

圖10 理論模型數值模擬結果與Straka [28]試驗值對比Fig. 10 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Straka[28]

圖11 理論模型數值模擬結果與Sarawate[29]試驗值對比Fig. 11 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Sarawate[29]

進一步，對比分析了各工況下理論和試驗得到的滯回耗能，如圖12 所示，對比可見，理論模型與試驗結果的滯回耗能較為接近，誤差在6.7%～17.1%，該理論模型能夠一定程度上預測MSMA的耗能能力。

圖12 模型與試驗滯回耗能及誤差Fig. 12 Hysteretic energy consumptions of model and test

在工程應用，滯回曲線和耗能能力是評價MSMA 特性的關鍵，故本文所建立的分段線性化本構模型能夠滿足工程應用的精度要求，且

形式簡單直觀，參數較少，適于模擬工程應用中考慮磁場影響的復雜應力條件下MSMA 超彈性特性。

5 結論

本文基于經典塑性理論框架，建立了考慮磁場影響的MSMA 分段線性化超彈性本構模型，該模型具有物理概念明確、形式簡單、參數少等優點，更適用于工程應用。主要內容和結論如下：

(1)引入應力擇優取向馬氏體變體體積分數作為內變量，基于塑性理論框架，構建了MSMA 分段線性化超彈性本構模型，該模型能夠完成描述不同磁場環境下的MSMA 超彈性效應全過程。

(2)提出了描述馬氏體重定向和逆重定向臨界應力與環境磁場關系的Logistic 關系函數，擬合結果表明該函數的擬合優度可達0.993，大于線性函數和多項式函數的0.897 和0.990，且在形狀上與試驗結果更為吻合。

(3)對滯回曲線形狀和滯回耗能的數值模擬對比表明，所建立的本構模型能夠較好地預測MSMA構件的力-位移關系，且理論滯回耗能與試驗的誤差平均僅為11.9%，滿足工程應用需求。